Aula 16. Integração Numérica

Transcrição

1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Aula 16 Integração Numérica

3 Integração Numérica Cálculo Numérico 3/41

4 Integração Numérica Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Em alguns casos, o valor de f (x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f (x), não é possível calcular: b a f ( x) dx Cálculo Numérico 4/41

5 Integração Numérica Substituição da função f (x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Cálculo Numérico 5/41

6 As fórmulas terão a expressão: b f (x)dx A f (x )+ A f (x ) A f (x ), n n a Integração Numérica x i [a,b],i = 0,1,...,n I n ( f ) = n i= 0 A f i ( x i ) Cálculo Numérico 6/41

7 Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios, = a e x n = b. Regra 1/3 de Simpson. Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os x i têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b. Cálculo Numérico 7/41

8 Fórmulas de Newton-Cotes A ideia de polinômio que aproxime f (x) razoavelmente, é que este polinômio interpole f (x) em pontos de [a, b] igualmente espaçados. Considere a partição do intervalo [a, b] em subintervalos, de comprimento h, [x i, x i+1 ], i = 0, 1,..., n 1. Assim: ( x x = h = b a ) i+1 i n Cálculo Numérico 8/41

9 Fórmulas de Newton-Cotes Desta forma, as fórmulas fórmulas de integração do tipo: de Newton-Cotes são = a, x n = b b f (x)dx = f (x)dx A f (x ) i i a x n sendo os coeficientes A i determinados de acordo com o grau do polinômio aproximador. n i=0 Cálculo Numérico 9/41

10 Fórmulas de Newton-Cotes Diferença entre as fórmulas de Newton-Cotes fechadas (a) e abertas (b). Cálculo Numérico 10/41

11 Utilizando a interpolação polinomial na Forma de Lagrange: REGRA DOS TRAPÉZIOS 1 º Polinômio de Lagrange REGRA 1/3 DE SIMPSON 2 º Polinômio de Lagrange Cálculo Numérico 11/41

12 Regra dos Trapézios Cálculo Numérico 12/41

13 Regra dos Trapézios Usaremos a interpola f (x) em e x 1 : para expressar P 1 (x) que P 1 ( x) = f ( x ) x x f ( x ) x 1 x 1 x 1 Então: b x f ( 1 x # x)dx = P ( 1 x) dx = 1 % f $ a ( ) x x 1 x 1 + f x 1 ( ) x x 1 & ( dx ' Cálculo Numérico 13/41

14 Regra dos Trapézios Resolvendo a integração: ou seja: ( x x ) [ ( ) ( )] 1 0 f x f x I = + T 2 0 h I = + T 2 0 [ f ( x ) f ( x )] 1 1 Cálculo Numérico 14/41

15 Regra dos Trapézios Simples Consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f (x), ou seja, n = 1. Este polinômio terá a forma y = α 0 + α 1 x e trata-se da equação que une dois pontos: a = e b = x 1. f (x) f (x) f (x 1 ) P 1 (x) f ( ) a = b = x 1 x Cálculo Numérico 15/41

16 Regra dos Trapézios Simples Área do trapézio: A = h (T + t) / 2 De acordo com a figura: b a = x 1 = h f (b) = f (x 1 ) = T f (a) = f ( ) = t h - altura do trapézio t - base menor T - base maior f (x) T = f (x 1 ) t = f ( ) f (x) a = b = x 1 h P 1 (x) x Logo, x 1 f (x)dx h 2 f ( )+ f (x 1 ) [ ] Cálculo Numérico 16/41

17 Regra dos Trapézios Simples Aproximação do valor da integral é aceitável. Aproximação não indicada. Cálculo Numérico 17/41

18 Regra dos Trapézios Repetida (Composta) Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. f (x) x 1... x n-1 x n x x 1 Cálculo Numérico 18/41

19 Regra dos Trapézios Repetida (Composta) Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. f (x) x 1... x n-1 x n x x 1 Cálculo Numérico 19/41

20 Regra dos Trapézios Simples Aproximação do valor da integral é aceitável. Aproximação não indicada. Uso da Regra dos Trapézios Repetida (Composta): soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. A amplitude dos sub-intervalos será h = (b - a) / n. A integral no intervalo é dada pela soma das integrais definidas pelos sub-intervalos. Cálculo Numérico 20/41

21 Regra dos Trapézios Repetida Fórmula: x n f (x)dx h 2 f ()+ f (x 1 ) [ ] + h 2 f (x 1)+ f (x 2 ) [ ] h 2 f (x n 1)+ f (x n ) [ ] Só os termos f ( ) e f (x n ) não se repetem, assim, esta fórmula pode ser simplificada em: x n f (x)dx h { 2 f ()+ 2[ f (x 1 )+ f (x 2 ) f (x n 1 )] + f (x n )} Cálculo Numérico 21/41

22 EXEMPLO 1 Estimar o valor de Regra dos Trapézios Simples - 1 subintervalo I 2,48508 Regra dos Trapézios Repetida - 2 subintervalos I 2,1369 Regra dos Trapézios Repetida 8 subintervalos I 2, ( 2 1 / x ) dx A aproximação para 8 subintervalos é melhor, dado que o. x y = (1 + x²) -1/2 0,0 1, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0,24254 Cálculo Numérico 22/41

23 Erro da Regra dos Trapézios Suponha < x 1 <... < x n, (n + 1) pontos distintos em [, x n ] e que. Então, para cada x em [, x n ], existe um número ξ (x) (geralmente desconhecido) em ], x n [, tal que: f C n+1 R x ( ) = f x ( ) P n x [ a,b] ( ) = f ( n+1 ) ( ξ ( x) ) ( n +1)! ( x x )( 0 x x 1 )!( x x ) n Cálculo Numérico 23/41

24 Erro da Regra dos Trapézios Erro da Regra dos Trapézios simples Da interpolação polinomial, temos que: f ( x) = p ( 1 x) + ( x x )( 0 x x ) f " ( ξ ) x 1 Logo: x 1 f ( x)dx = I T + ( x x ) 0 x x 1 x 1 2 ( ) f " ( ξ ) x, ξ x ], x [ 1 2 dx Cálculo Numérico 24/41

25 Erro da Regra dos Trapézios Então, temos que: x 1 E T = ( x x ) 0 x x 1 ( ) f " ( ξ ) x 2 dx Cálculo Numérico 25/41

26 Regra dos Trapézios Já que (x )(x - x 1 ) não muda de sinal em [, x 1 ], o Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais pode ser aplicado ao termo de erro, para algum c, x 1 : x 1 ( x x ) 0 x x 1 Então: ( ) f " ξ x ( )dx = f " c x 1 ( x x 1 )dx ( ) ( x x ) 0 ] [ E T = f " ( c ) 2 x 1 ( x x )( 0 x x 1 )dx Cálculo Numérico 26/41

27 Regra dos Trapézios E = h3 T 12 f " ( c ), c x, 1 Como não podemos determinar exatamente c, temos: E T h3 12 M 2 onde: M 2 = máx x [a,b] ] [ f "( x) Cálculo Numérico 27/41

28 Regra dos Trapézios O erro para cada um dos trapézios é dado por: E = h3 T 12 f " ( c ), c x, 1 ] [ Logo o erro da Regra dos Trapézios Repetida será a soma: n 1 h 3 E = TR 12 f " ( c ), c x, x i i i i+1 i=0 ] [ Cálculo Numérico 28/41

29 Regra dos Trapézios Como estamos supondo f (x) contínua em [a, b], uma generalização do Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe ξ a, b tal que: Então: ] [ n 1 i=0 f "( c ) i = n f " ξ ( ) E TR = nh3 f "( ξ), ξ ] a, b[ 12 Cálculo Numérico 29/41

30 Regra dos Trapézios Da mesma forma que na Interpolação Polinomial, não podemos calcular exatamente f (ξ), visto que não conhecemos o ponto ξ. Quando possível, calculamos um. E TR nh3 12 M 2 onde: M 2 = máx x [a,b] f " x ( ) e h = b a n Cálculo Numérico 30/41

31 EXEMPLO 2 Seja: I = 1 0 e x dx Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos para Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido. x n f (x)dx h 2 f ()+ 2 f (x 1 )+ f (x 2 ) f (x n 1 ) [ ] + f (x n ) { } [0,1] subdivididos em 10 subintervalos com h = 0,1 I = 1 e x dx 1, Cálculo Numérico 31/41

32 EXEMPLO 2 O erro pela Regra dos Trapézios Repetida é: Portanto: E TR nh3 12 máx x [0,1] e x E TR 0, máx x [0,1] e 1 e x 0, Cálculo Numérico 32/41

33 Regra 1/3 de Simpson Cálculo Numérico 33/41

34 Regra 1/3 de Simpson Novamente podemos usar a para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f (x) por um. Cálculo Numérico 34/41

35 Regra 1/3 de Simpson P 2 ( )( x x 2 ) ( )( x 2 ) f ( x ) + ( x x )( x 2 ) 0 ( x 1 )( x 1 x 2 ) f ( x 1) ( + x ) ( x x 1 ) ( x 2 )( x 2 x 1 ) f ( x 2) x 2 ( ) I S = P 2 ( x) ( )( x x 2 )dx ( x) = x x 1 x 1 = f x x 2h 2 1 x 2 ( ) f x 1 x x h 2 0 ( ) x 2 ( ) x x 2 + f x x 2 2 2h 2 x ( )dx ( ) x x 1 ( )dx x Cálculo Numérico 0 35/41

36 Regra 1/3 de Simpson As integrais podem ser resolvidas usando a mudança de variáveis: x = zh. Assim: dx = h dz; x = + zh; x x 1 = (z 1) h; x x 2 = (z 2) h. Fazendo esta mudança e resolvendo as integrais, obtemos a : x 2 f (x)dx I = h [ S 3 f ()+ 4 f (x )+ f (x )] 1 2 Cálculo Numérico 36/41

37 Regra 1/3 de Simpson Repetida Da mesma forma que a Regra dos Trapézios Repetida, aplicaremos a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo [a, b] = [, x n ]. Então vamos supor subintervalos igualmente espaçados. Cálculo Numérico 37/41

38 Regra 1/3 de Simpson Repetida Para cada teremos: x 2 k f (x)dx I S = h 3 f (x 2k 2 )+ 4 f (x 2k 1 )+ f (x 2k ) [ ] x 2 k 2 com k = 1,..., n/2, sendo n um. Cálculo Numérico 38/41

39 Regra 1/3 de Simpson Repetida Assim, a integral obtida pela regra de aproximação de Simpson Repetida será dada por: x n { f (x)dx} I SR = h {[ f ( )+ f (x n )] f (x 1 )+ f (x 3 )+!+ f (x n 1 ) x n f (x)dx I SR = h % ' 3 ' f &' [ ] + +2[ f (x 2 )+ f (x 4 )+!+ f (x n 2 )]} n 2 1 ( ) + 4 f ( x ) 2 j 1 + f x n ( ) + 2 f x 2 j j=1 n 2 j=1 ( ) Cálculo Numérico 39/41 ( * * )*

40 Regra 1/3 de Simpson Supondo f (iv) (x) contínua em [, x 2 ]: O será: E S = h5 90 f ( iv ) ( ξ), ξ ], x [ 2 Cálculo Numérico 40/41

41 Regra 1/3 de Simpson e o E SR = n 2 h 5 90 f iv ( ) ( ξ), ξ ], x [ n Calcularemos um para o erro: E SR M 4 = máx x [,x n ] ( f iv ) nh5 180 M 4 onde: ( x) e h = b a n Cálculo Numérico 41/41

42 EXEMPLO 3 Seja I = 1 0 e x dx Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com n = 10. Estime o erro cometido. x n f (x)dx I SR = h % ' 3 ' f &' n 2 1 ( ) + 4 f ( x ) 2 j 1 + f x n ( ) + 2 f x 2 j [0,1] subdivididos em 10 subintervalos com h = 0,1 j=1 n 2 j=1 ( ) ( * * )* I = 1 e x dx 1, Cálculo Numérico 42/41

43 Exemplo 3 Estimativa do erro cometido: ( E SR = 5 0,1 ) 5 90 eξ, ξ ]0,1[ Portanto: E SR 5, máx x [0,1] e x 1, e 1 Cálculo Numérico 43/41

44 Comparação Exemplo 2 e 3 Vamos comparar os resultados obtidos pela Regra dos Trapézios e pela Regra 1/3 de Simpson. Regra dos Trapézios Repetida (n = 10): 1 e x dx 1, E TR 2, Regra 1/3 de Simpson Repetida (n = 10): 1 e x dx 1, E 1, SR 0 Cálculo Numérico 44/41

45 Exemplo 4 Considerando a integral dos exemplos 2 e 3. a) Para quantas subdivisões do intervalo de integração (n) teríamos erro inferior a 10-3 usando a Regra dos Trapézios? b) E para a Regra 1/3 de Simpson? Cálculo Numérico 45/41

46 Exemplo 4 a) Precisaremos de no mínimo 16 subdivisões do intervalo de integração. b) Precisaremos de no mínimo 2 subdivisões do intervalo de integração. Cálculo Numérico 46/41

47 Referências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, xiii, 721 p. ISBN RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. xvi, 406 p. ISBN CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Cálculo Numérico 47/41