Capítulo 6 - Integração e Diferenciação Numérica

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1 Capítulo 6 - Integração e Diferenciação Numérica Carlos Balsa [email protected] Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Electrotécnica e Mecânica Carlos Balsa Métodos Numéricos 1/ 15

2 Outline Integração Numérica 1 Integração Numérica 2 Primeiras Derivadas Segundas Derivadas Carlos Balsa Métodos Numéricos 2/ 15

3 Integração Numérica Queremos calcular I = b a f (x)dx mas não podemos utilizar as técnicas de primitivação Primitiva de f (x) é difícil ou impossível de calcular f (x) é uma função discreta, apenas conhecida em alguns pontos Técnicas de integração numérica são por vezes a única forma de calcular o valor do integral definido Carlos Balsa Métodos Numéricos 3/ 15

4 Para calcular I = b f (x)dx a Supomos que o intervalo [a b] está subdividido em n subintervalos de amplitude h = (b a)/n, delimitados pelas seguintes abcissas a = x 0 < x 1 < x 2 < < x j 1 < x j < < x n = b, i.e., x j x j 1 = h, j = 1,, n Usando a notação f j = f (x j ), se unirmos os pontos (x j 1, f j 1 ) e (x j, f j ) por um segmento de recta aproximamos a area abaixo da função no intervalo j através da área de um trapézio, i.e, I j A j = h 2 (f j 1 + f j ) Carlos Balsa Métodos Numéricos 4/ 15

5 , continuação Somando a área de todos os trapézios obtemos uma aproximação do integral entre a e b Erro cometido I A 1 + A A n I h 2 (f 0 + f 1 ) + h 2 (f 1 + f 2 ) + + h 2 (f n 1 + f n ) I h 2 (f ( 0 + 2f 1 + 2f 2 + ) + 2f n 1 + f n ) I h 2 f 0 + f n + n 1 2f j. j=1 ε T = h2 (b a) f (ξ), ξ [a, b] 12 Formula pode ser utilizada para estimar o erro em função do numero n = (b a)/h de subintervalos ou, inversamente, para estimar o numero de subintervalos necessários para reduzir o erro abaixo de certa tolerância Carlos Balsa Métodos Numéricos 5/ 15

6 Exemplo 1: Determine, pela regra dos trapézios, um valor aproximado de I = 1 0 e x 2 dx para intervalos de comprimento h = 0.25 e faça uma estimativa do erro cometido Carlos Balsa Métodos Numéricos 6/ 15

7 consiste em aproximar a função por um polinómio do segundo grau que une os pontos (x j 1, f j 1 ), (x j, f j ) e (x j+1, f j+1 ) Integrando o polinómio do segundo grau obtemos I j h 3 (f j 1 + 4f j + f j+1 ) Repetindo o processo para todos os pares de subintervalos entre [a b] I I 2 + I I n I h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) + h 3 (f 2 + 4f 3 + f 4 ) + + h 3 (f n 2 + 4f n 1 + f n ) I h 3 (f ( 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f ) 2f n 2 + 4f n 1 + f n ) I h n/2 n/2 3 f 0 + f n + 4 f 2j f 2j 2 j=1 j=2 Carlos Balsa Métodos Numéricos 7/ 15

8 , continuação Como este método se baseia em agrupar os subintervalos dois a dois, o número total de intervalos n tem de ser par Erro cometido ε s = h4 180 (b a) f (iv) (ξ), ξ [a, b] Tal como no métodos dos trapézios ξ não é conhecido, pelo que deve ser escolhido de forma a majorar o valor absoluto do erro Carlos Balsa Métodos Numéricos 8/ 15

9 Exemplo 2: Determine, pela regra de Simpson, um valor aproximado de I = 1 0 e x 2 dx para intervalos de comprimento h = 0.25 e faça uma estimativa do erro cometido Carlos Balsa Métodos Numéricos 9/ 15

10 Primeiras Derivadas Segundas Derivadas Dada uma função f : IR IRe os passos h e h, para aproximar a primeira e a segunda derivada em x expandimos em séries de Taylor e f (x + h) = f (x) + hf (x) + h2 2 f (x) + h3 6 f (x)... f (x h) = f (x) hf (x) + h2 2 f (x) h3 6 f (x)... Resolvendo em ordem a f (x) na primeira série obtemos a formula da diferença em avanço f f (x + h) f (x) (x) = f (x) h 2 h +... f (x + h) f (x), h de primeira ordem pois o maior termo desprezado é O (h). Carlos Balsa Métodos Numéricos 10/ 15

11 Primeiras Derivadas Segundas Derivadas, continuação Da mesma maneira, a partir da segunda série derivamos a formula da diferença em atraso f f (x) f (x h) (x) = + f (x) h 2 h +... f (x) f (x h), h que também é de primeira ordem pois o maior termo desprezado é igualmente O (h). Carlos Balsa Métodos Numéricos 11/ 15

12 Primeiras Derivadas Segundas Derivadas, continuação Subtraindo a segunda série à primeira obtemos a formula da diferença centrada f f (x + h) f (x h) (x) = f (x) 2h 6 h f (x + h) f (x h), 2h que é de segunda ordem pois o maior termo desprezado é O ( h 2). Carlos Balsa Métodos Numéricos 12/ 15

13 Primeiras Derivadas Segundas Derivadas, continuação Finalmente, adicionando as duas séries obtemos a formula da diferença centrada para a segunda derivada f f (x + h) 2f (x) + f (x h) (x) = h 2 f (x + h) 2f (x) + f (x h) h 2, cuja exactidão é também de segunda ordem. f (iv) (x) 12 h Carlos Balsa Métodos Numéricos 13/ 15

14 Primeiras Derivadas Segundas Derivadas Exemplo 3: Considere f (x) = e x 2 1 Aproxime numericamente a primeira derivada de f (x), em x = 0.5 utilizando h = 0.25, através de 1 Formula da diferença em avanço 2 Formula da diferença em atraso 3 Formula da diferença centrada 2 Aproxime numericamente a segunda derivada de f (x), em x = 0.75 utilizando h = 0.25, e faça uma estimativa do erro cometido Carlos Balsa Métodos Numéricos 14/ 15

15 Primeiras Derivadas Segundas Derivadas Considerações Finais Métodos Disponíveis na NMLibforOctave: Método dos trapézios: I = inte_trapez(fun,a,b,n) Método de Simpson: I = inte_simpson(fun,a,b,n) BIBLIOGRAFIA: Exposição baseada essencialmente no capítulo 6 de A. Santos e C. Balsa. Texto de Apoio à disciplina de Métodos Numéricos, DMat-ESTiG, Carlos Balsa Métodos Numéricos 15/ 15