Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo específico Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Conteúdo temático Conceitos básicos Método de Euler

4 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Veremos aqui uma breve introdução a alguns métodos numéricos para resolver o problema de integração de uma equação diferencial ordinária (EDO) no caso do problema de valor inicial (PVI), ou seja, dy dx =f (x, y(x)); y(x 0)= y 0 onde x é chamada de variável independente.

5 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Podemos entender este problema informalmente como uma pergunta: Qual é a função que derivada uma vez é igual a uma função dada e num determinado ponto conhecemos o seus valor?

6 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Vejamos um exemplo simples: dy dx = y ; y(0)=1 A pergunta é: Qual a função que derivada uma vez é igual a ela mesma e na origem vale 1? A resposta certamente você sabe: y(x)=e x

7 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Você também já deve saber que geralmente as coisas não são tão simples assim Sejamos mais cuidadosos

8 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Podemos entender que resolver uma EDO com Problema de Valor Inicial (PVI) como: dada a derivada de uma função y(x) e quanto esta função vale em um ponto, então resolvendo esta equação obteremos a função y(x) e esta função será única.

9 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Podemos entender que resolver uma EDO com Problema de Valor Inicial (PVI) como: dada a derivada de uma função y(x) e quanto esta função vale em um ponto, então resolvendo esta equação obteremos a função y(x) e esta função será única. A pergunta é se podemos garantir que sempre há uma solução e esta ser única, nem que seja numa determinada vizinhança. Da matemática sabemos que nem sempre.

10 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Vejamos um exemplo com condição inicial genérica: Integremos diretamente dy dx = 2 y x ; y(x 0)= y 0 dy y =2 dx x dy y =2 dx x ln y=2 ln x+cte

11 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) ou ainda ln y=2 ln x+cte ln y=ln x 2 +cte y=c x 2 Repare que se a condição inicial é dada como y(0)=0, para qualquer valor de C esta condição será satisfeita e teremos um número indefinido de soluções

12 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Se a condição inicial é mudada para nenhuma solução. y(0)= y 0 ; y 0 0 não temos

13 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Se a condição inicial agora é dada por solução única. y(x 0 )= y 0 ; x 0 0 temos

14 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) Partiremos do pressuposto que você já sabe que sua equação tem solução e que a solução é única dentro de um determinada região

15 EDO s Vejamos o que podemos fazer para resolver uma EDO. Partamos do problema de valor inicial dado abaixo e a reescrevamos como dy dx =f (x, y ( x)); y(x 0)= y 0 dy=f (x, y(x))dx

16 EDO s Vamos integrar esta função usando os valores da condição inicial y( x 1 ) x 1 dy= f (x, y ( x))dx y 0 x 0 onde x 1 corresponde ao ponto no qual queremos obter o valor de nossa função que seria y(x 1 ). Integrando obtemos

17 EDO s ou x 1 y(x 1 ) y 0 = x 0 x 1 y(x 1 )= y 0 + x 0 f ( x, y (x))dx f (x, y(x))dx

18 EDO s A questão agora está em como calcularemos a integral genérica que aparece. Possibilidade: Integremos aproximadamente

19 EDO s Partamos de algo muito simples e que sabemos ser bem impreciso: Integração por retângulo Isto significa que o integrando deve variar pouco (em algum sentido...) no intervalo de integração para que este uso da integração por retângulos nos dê valores significativos para a integração

20 EDO s Assim ficaremos com ou, por exemplo, x 1 y(x 1 ) y 0 +f ( x 0, y(x 0 )) x 0 dx y(x 1 ) y 0 +(x 1 x 0 )f (x 0, y 0 )

21 EDO s Definindo y 1 como y 1 = y 0 +(x 1 x 0 ) f (x 0, y 0 ) temos y 1 como aproximação de y(x 1 ).

22 EDO s Tendo obtido uma aproximação de y(x 1 ), podemos tentar obter uma aproximação da mesma função no ponto x 2 vizinho ao ponto de forma que possamos fazer a integração abaixo x 1 x 2 y(x 2 ) y 1 +f (x 1, y 1 ) x 1 dx

23 EDO s Repetindo os cálculos como anteriormente teremos y(x 2 ) y 1 +(x 2 x 1 )f (x 1, y 1 ) e definindo y 2 como y 2 = y 1 +( x 2 x 1 ) f (x 1, y 1 ) temos este valor como aproximação de y(x 2 ).

24 EDO s Se continuarmos fazendo este procedimento, depois de i passos teremos y i+1 = y i +(x i+1 x i )f ( x i, y i ); dado y(x 0 )= y 0 Faremos mais uma arbitrariedade: suporemos que todos os valores de x sejam igualmente espaçados, ou seja, x i+1 x i =h; i

25 Método de Euler Assim nossa fórmula ficará como y i+1 = y i +h f ( x i, y i ); dado y(x 0 )= y 0 x i+1 =x i +h esta fórmula define o Método de Euler criado no século XVIII.

26 EDO s Com este método conseguiremos obter valores da função y(x) nos pontos x i y i aproximados

27 EDO s Mas veremos que ele não é tão ruim como aparenta ser por supor que a função seja constante (ou varie pouco em algum sentido ) dentro do intervalo de integração

28 EDO s Um exercício Use o Método de Euler para calcular o valor aproximado de y(1) do problema dado abaixo usando h=1,1/2,1/ 4 dy = y cos( x); y(0)=1 dx

29 EDO s Um exercício Comparando com o problema com nosso problema específico teremos que dy dx =f (x, y); y(x )= y 0 0 dy = y cos(x); y (0)=1 dx x 0 =0 ; y 0 =1 ; f (x, y)= y cos(x)

30 EDO s Um exercício x 0 =0; y 0 =1 ;f (x, y)= y cos(x) e sendo o Método de Euler dado por y i+1 = y i +h f ( x i, y i ) x i+1 =x i +h no nosso caso terá a forma y i+1 = y i +h y i sen(x i );dado y(0)=1 x i+1 =x i +h

31 EDO s Um exercício y i+1 = y i +h y i cos(x i );dado y(0)=1 h = 1 Teremos y 1 = y 0 +1 y 0 cos(x 0 )=1+1 1 cos(0)=2 e como y 1 é uma aproximação de y(x 1 ) e sendo x 1 =x 0 +h=0+1=1 então y(1) 2 e este é o nosso resultado para h = 1

32 EDO s Um exercício y i+1 = y i +h y i cos(x i );dado y(0)=1 h = 1/2 Teremos y 1 = y y 0cos(x 0 )= cos(0)=1,5 e como y 1 é uma aproximação de y(x 1 ) e sendo x 1 =x 0 +h= =1 2 então y ( 1 ). 2 1,5

33 EDO s Um exercício y i+1 = y i +h y i cos(x i );dado y(0)=1 h = 1/2 Teremos y 2 = y y 1cos( x 1 )=1, ,5 cos(1/2)=2, e como y 2 é uma aproximação de y(x 2 ) e sendo x 2 =x 1 +h= =1 então y(1) 2,

34 EDO s Um exercício h = 1/4 Teremos y i+1 = y i +h y i cos(x i );dado y(0)=1 y 1 = y y 0 cos( x 0 )= cos(0)=1,25 e como y 1 é uma aproximação de y(x 1 ) e sendo x 1 =x 0 +h= = 1 4 então y ( 1 ). 4 1,25

35 EDO s Um exercício h = 1/4 Teremos y i+1 = y i +h y i cos(x i );dado y(0)=1 y 2 = y y 1cos(x 1 )=1, ,25 cos(1/4)=1, e como y 2 é uma aproximação de y(x 2 ) e sendo x 2 =x 1 +h= =1 2 então y ( 1 ). 2 1,552785

36 EDO s Um exercício h = 1/4 Teremos y i+1 = y i +h y i cos(x i );dado y(0)=1 y 3 = y y 2cos(x 2 )=1, , cos(1/2)=1, e como y 3 é uma aproximação de y(x 3 ) e sendo x 3 =x 2 +h= = 3 4 então y ( 3 ). 4 1,893459

37 EDO s Um exercício h = 1/4 Teremos y i+1 = y i +h y i cos(x i );dado y(0)=1 y 4 = y y 3 cos(x 3 )=1, , cos(3/4)=2, e como y 4 é uma aproximação de y(x 4 ) e sendo x 4 =x 3 +h= =1 então y(1) 2,

38 EDO s Um exercício No momento temos três estimativas para diferentes de h: y(1), para valores y(1) 2(h=1); y(1) 2, ( h= 1 2 ) ; y (1) 2, ( h= 1 4 ) Comparemos com a solução exata y(x)=e sin( x) y(1)=e sin (1) =2,319776

39 EDO s Observe que quando diminuimos h os resultados se aproximam do resultado exato. O método de Euler mostra que é eficaz, embora não muito preciso mesmo com valores de h relativamente grandes.

40 EDO s Podemos entender um pouco mais do funcionamento do Método de Euler observando a evolução do método comparado com a solução exata.

41 EDO s Para ilustrar, apresentaremos uma figura que corresponde a alguns passos do Método de Euler para o problema dy = y ; y (0)=1 dx com h = 0,7. Este valor para h foi escolhido para evidenciar o que ocorre quando aplicamos o método e não para obter um resultado numeriamente preciso.

42 EDO s Observe que o método usa a reta tangente a cada ponto, para estimar o próximo ponto da função solução da equação diferencial. (x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )