CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 22 07/2014 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Objetivo: Resolver Equações Diferenciais Ordinárias utilizando métodos numéricos Cálculo Numérico 3/58

4 Pêndulo Oscilante O movimento de um pêndulo oscilante, sob certas hipóteses simplificadoras é descrito pela equação diferencial de segunda ordem: d 2 θ dt + g 2 L senθ = 0 onde: L é o comprimento do pêndulo; g é a constante gravitacional (g 9,8 m/s 2 ); θ é o ângulo que o pêndulo faz com a vertical. Cálculo Numérico 4/58

5 Pêndulo Oscilante O movimento de um pêndulo oscilante, sob certas hipóteses simplificadoras é descrito pela equação diferencial de segunda ordem: d 2 θ dt 2 + g L senθ = 0 Problema de Valor Inicial (PVI): θ ( t 0 ) =θ 0 θ '( t 0 ) =θ 0 ' Cálculo Numérico 5/58

6 Pêndulo Oscilante Para valores pequenos de θ, a aproximação θ = senθ pode ser utilizada para simplificar o problema, para um problema linear, que pode ser resolvido analiticamente: Com condições iniciais: d 2 θ dt 2 + g L θ = 0 θ ( t ) 0 =θ 0, θ '( t ) 0 =θ ' 0 Cálculo Numérico 6/58

7 Pêndulo Oscilante Para valores maiores de θ, a solução se torna mais complexa e fogem do contexto de um curso básico de EDO. Neste caso, é aconselhável a aplicação de um método numérico. O valor da função e suas derivadas são especificados no mesmo ponto; O valor da função e suas derivadas são dados em pontos distintos. Cálculo Numérico 7/58

8 Métodos de Passo Simples Cálculo Numérico 8/58

9 São resolvidas equações diferenciais ordinárias do tipo: dy dx = f x, y ( ) y i+1 = y i +φ i h : onde: y i+1 é o novo valor; φ ι é a inclinação; y i é o antigo valor; h é o tamanho do passo. Cálculo Numérico 9/58

10 A estimativa da inclinação ϕ é usada para extrapolar de um valor antigo y i para um valor novo y i+1 em uma distância h. Cálculo Numérico 10/58

11 Método de Euler Cálculo Numérico 11/58

12 Método de Euler A abordagem mais simples de estimativa da inclinação é usar a equação diferencial para obter uma estimativa na forma da primeira derivada em x i. y i+1 = y i +φ i h φ i = f ( x i, y ) i Cálculo Numérico 12/58

13 Exemplo 1 Use o método de Euler para integrar numericamente a equação: dy dx = 2x3 +12x 2 20x +8, 5 de x = 0 a x = 4 com um tamanho de passo de 0,5. A condição inicial em x = 0 é y = 1. Lembre-se de que a solução exata é dada por: y = 0, 5x 4 + 4x 3 10x 2 +8, 5x +1 Cálculo Numérico 13/58

14 Resultados do Exemplo 1 Global = ε t = y true y Euler y true Cálculo Numérico 14/58

15 Comparação da solução verdadeira com a solução numérica usando o método de Euler para o exemplo. Observe Apesar dos cálculos capturarem a tendência geral dos dados, o erro é considerável. Cálculo Numérico 15/58

16 Erro para o Método de Euler O erro pode ser reduzido diminuindo-se o tamanho do passo. Cálculo Numérico 16/58

17 Exercício 1 Repita os cálculos do Exemplo 1, mas use um tamanho de passo de 0,25. Cálculo Numérico 17/58

18 Método de Heun Cálculo Numérico 18/58

19 Método de Heun Neste método, determinamos intervalo, uma no ponto inicial e outra no ponto final. para o A inclinação utilizada será a média das duas inclinações. Cálculo Numérico 19/58

20 Método de Heun Preditor Cálculo Numérico 20/58

21 Método de Heun A será: que é uma previsão intermediária. ( k y ) = y + f ( x, y )h i+1 i i i Esta equação será usada para estimar a do intervalo: ( ) ( k) = f x, y i+1 i+1 k y' i+1 ( ) Cálculo Numérico 21/58

22 Método de Heun Corretor Cálculo Numérico 22/58

23 Método de Heun Combinando as duas inclinações, temos uma no intervalo: y ' = y' ( k) + y' i i+1 2 E assim, teremos: ( ) ( k) + f x, y i+1 i+1 = f x i, y i 2 ( ) y k+1 ( ) i+1 = y i + y 'h Cálculo Numérico 23/58

24 Etapas do Método de Heun Inclinação no início do intervalo: Equação preditora: Inclinação na extremidade final: y i ' = f ( x i, y ) i ( k y ) i+1 = y i + y' i h k y' i+1 ( ) ( ) ( k) = f x i+1, y i+1 Inclinação média: y ' = y ' i '( k) + y i+1 2 Equação corretora: ( k+1 y ) i+1 = y i + y 'h Cálculo Numérico 24/58

25 Método de Heun Por ser um método iterativo, temos que estabelecer um : ε = y ( k+1 ) ( k) y i+1 i+1 t ( ) k+1 y i+1 100% Cálculo Numérico 25/58

26 Exemplo 3 Use o método de Heun para integrar y = 4e 0,8x 0,5y de x = 0 a x = 4 com tamanho de passo 1. A condição inicial em x = 0 é y = 2. Cálculo Numérico 26/58

27 Resultados Exemplo 3 Cálculo Numérico 27/58

28 Comparação da solução verdadeira com soluções numéricas usando os métodos de Euler e de Heun para a integração de: y = -2x x 2-20x + 8,5. Cálculo Numérico 28/58

29 Método do Ponto Médio Cálculo Numérico 29/58

30 Método do Ponto Médio Cálculo Numérico 30/58

31 Método do Ponto Médio x i+1/2 Cálculo Numérico 31/58

32 Etapas do Método do Ponto Médio y no ponto médio do intervalo: y i+1 2 = y i + f ( x i, y ) h i 2 Inclinação no ponto médio: y' i+1 2 = f ( x i+1 2, y ) i+1 2 Cálculo de y i+1 : y i+1 = y i + f ( x i+1 2, y i+1 2 )h Cálculo Numérico 32/58

33 Métodos de Runge-Kutta Cálculo Numérico 33/58

34 Métodos de Runge-Kutta A forma geral dos métodos de Runge-Kutta é: y i+1 = y i +φ x i, y i, h ( )h 1 ( ) φ x i, y i, h ( ) Em que é chamada, que representa a inclinação em um intervalo. De forma geral, φ será: φ = a 1 k 1 + a 2 k 2 +!+ a n k n Cálculo Numérico 34/58

35 Métodos de Runge-Kutta Em que os a s são constantes e os k s são: k 1 = f ( x i, y ) i k 2 = f x i + p 1 h, y i + q 11 k 1 h ( ) com p s e q s constantes. φ = a 1 k 1 + a 2 k 2 +!+ a n k n k 3 = f x i + p 2 h, y i + q 21 k 1 h + q 22 k 2 h ( )! k n = f ( x i + p n 1 h, y i + q n 1,1 k 1 h + q n 1,2 k 2 h +!+ q n 1,n 1 k n 1 h) Cálculo Numérico 35/58

36 Métodos de Runge-Kutta O que diferencia cada método de Runge-Kutta é da função incremento. Escolhido o valor de n, iguala-se a equação (1) a termos da expansão em Série de Taylor e acham-se os a s, p s e q s. O método de Runge-Kutta de. (n = 1) é o Cálculo Numérico 36/58

37 Métodos de R-K de Segunda Ordem O método de Runge-Kutta de (n = 2) será: y i+1 = y i + ( a 1 k 1 + a 2 k 2 )h onde: k = f ( x, y ) 1 i i k = f ( x + p h, y + q k h) 2 i 1 i 11 1 Cálculo Numérico 37/58

38 Métodos de R-K de Segunda Ordem Para determinar as constantes a 1, a 2, p 1 e q 11 temos que igualar: y i+1 = y i + ( a 1 k 1 + a 2 k 2 )h À Série de Taylor de segundo grau para y i+1 em termos de y i e f (x i, y i ): ( ) y = y + f ( x, y )h + f ' x i, y i i+1 i i i 2! h 2 Cálculo Numérico 38/58

39 Métodos de R-K de Segunda Ordem Comparando a forma geral do método de Runge-Kutta de segunda ordem com uma expansão em série de Taylor, vemos que: 3 equações 4 incógnitas a 1 + a 2 =1 a 2 p 1 = 1 2 a 2 q 11 = 1 2 Solução NÃO é única Existe uma família de Métodos de Runge Kutta de segunda ordem Cálculo Numérico 39/58

40 Métodos de R-K de Segunda Ordem Comparando a forma geral do método de Runge-Kutta de segunda ordem com uma expansão em série de Taylor, vemos que: 3 equações 4 incógnitas a 1 + a 2 =1 a 2 p 1 = 1 2 a 2 q 11 = 1 2 Variação de a 2 a 1 =1 a 2 p 1 = q 11 = 1 2a2 Cálculo Numérico 40/58

41 Métodos de R-K de Segunda Ordem Método de Heun com um único corretor (a 2 = ½); que é o método de Heun sem iterações. em que: k 1 = f ( x i, y ) i! y i+1 = y i + # 1 2 k k 2 " $ &h % k 2 = f x i + h, y i + k 1 h ( ) Cálculo Numérico 41/58

42 Métodos de R-K de Segunda Ordem Método do Ponto Médio (a 2 = 1). em que: k 1 = f ( x i, y ) i y i+1 = y i + k 2 h k = f xi + h, yi + k1h 2 2 Cálculo Numérico 42/58

43 Métodos de R-K de Segunda Ordem Método de Ralston (a 2 = 2/3). Este valor de a 2 fornece um limitante mínimo para o erro de truncamento. em que: k 1 = f ( x i, y ) i! y i+1 = y i k k $ # 2 &h " %! k 2 = f x i h, y + 3 i 4 k h $ # 1 & " % Cálculo Numérico 43/58

44 Exemplo 4 Use o método do ponto médio e o método de Ralston para integrar numericamente a equação: f (x,y) = -2x x 2 20x + 8,5 de x = 0 a x = 4 usando um tamanho de passo de 0,5. A condição inicial em x = 0 é y = 1. Cálculo Numérico 44/58

45 Exemplo 4 Comparação da solução verdadeira com soluções numéricas usando três métodos de RK de 2 a ordem e o método de Euler. y' = 2x 3 +12x 2 20x +8, 5 Cálculo Numérico 45/58

46 Métodos de R-K de Quarta Ordem São os métodos de Runge-Kutta. Assim como os de segunda e terceira ordem, existe um número de versões. O método de RK de é parecido com a abordagem de Heun, no fato que são desenvolvidas para se chegar a uma inclinação média melhorada no intervalo. Cálculo Numérico 46/58

47 Métodos de R-K de Quarta Ordem Inclinações Estimadas: Cálculo Numérico 47/58

48 Método de R-K de 4 a Ordem Clássico em que: k 1 = f x i, y i y i+1 = y i + h ( 6 k + 2k + 2k + k ) ( ) k 2 = f # x i h, y i k 1h! " $ & %! k 3 = f x i h, y i k $ # 2h& " % k 4 = f x i + h, y i + k 3 h ( ) Cálculo Numérico 48/58

49 Exemplo 6 Use o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico para integrar: y' x, y ( ) = 4e 0,8x 0, 5y de x = 0 a 0,5, utilizando um tamanho de passo h = 0,5 e uma condição inicial de y = 2 em x = 0. Cálculo Numérico 49/58

50 Exercício 2 Cálculo Numérico 50/58

51 Sistemas de Equações Cálculo Numérico 51/58

52 Sistemas de Equações É muito comum termos que resolver problemas envolvendo um sistema de equações diferenciais ordinárias ao invés de uma única equação. Para resolvê-los, qualquer um dos métodos apresentados aqui pode ser aplicado. Em cada caso, o procedimento para resolver o sistema de EDOs envolve simplesmente a aplicação da técnica de passo único em todas as equações para cada passo, antes de prosseguir para o próximo passo. Cálculo Numérico 52/58

53 Exemplo 1 Resolva o seguinte conjunto de equações diferenciais usando o método de Euler, supondo que, em x = 0, y 1 = 4 e y 2 = 6. Integre até x = 2 com um tamanho de passo de 0,5. dy 1 dx = 0, 5y 1 e dy 2 dx = 4 0,3y 2 0,1y 1 Cálculo Numérico 53/58

54 Método de Euler A abordagem mais simples de estimativa da inclinação é usar a equação diferencial para obter uma estimativa na forma da primeira derivada em x i. y i+1 = y i +φh φ = f ( x i, y ) i Cálculo Numérico 54/58

55 Exemplo 1 Resultados para todos os passos, até x = 2,0. Cálculo Numérico 55/58

56 Sistemas de Equações É preciso tomar cuidado na determinação das inclinações, quando aplicar os métodos de RK de ordem superior, ou seja, primeiro desenvolvemos inclinações para todas as variáveis no valor inicial. Essas inclinações (um conjunto de k i s) são, então, usadas para fazer previsões da variável independente no ponto médio do intervalo. Cálculo Numérico 56/58

57 Exemplo 2 Resolva o sistema de equações do exemplo anterior usando o método de R-K de quarta ordem, supondo que, em x = 0, y 1 = 4 e y 2 = 6. Integre até x = 2 com um tamanho de passo de 0,5. dy 1 dx = 0, 5y 1 e dy 2 dx = 4 0,3y 2 0,1y 1 Cálculo Numérico 57/58

58 Método de R-K de 4 a Ordem Clássico em que: k 1 = f x i, y i y i+1 = y i + h ( 6 k + 2k + 2k + k ) ( ) k 2 = f # x i h, y i k 1h! " $ & %! k 3 = f x i h, y i k $ # 2h& " % k 4 = f x i + h, y i + k 3 h ( ) Cálculo Numérico 58/58

59 Exemplo 2 Resultado para todos os passos, até x = 2,0. Cálculo Numérico 59/58