Métodos de Runge-Kutta

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1 Solução numérica de Equações Diferenciais Ordinárias: Métodos de Runge-Kutta Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 31 de outubro de 2013 Baseado nos livros: Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires; e Cálculo Numérico, de S. Arenales e A. Darezzo. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

2 Métodos de Runge-Kutta Considere o Problema de Valor Inicial bem-posto y (t) = f (t, y), a t b, y(a) = α. Dentre os métodos numéricos para resolver este tipo de problema, os mais utilizados por sua precisão e simplicidade são os Métodos de Runge-Kutta. Estes métodos possuem a precisão dos Métodos de Taylor, mas não exigem que sejam calculadas derivadas de ordem superior. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

3 Métodos de Runge-Kutta O método geral de Runge-Kutta de R-estágios é definido por com ω i+1 = ω i + hφ R (t i, ω i, h), φ R (t i, ω i, h) = c 1 k 1 + c 2 k c R k R, c 1 + c c R = 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

4 Métodos de Runge-Kutta As funções k j são dadas por k 1 = f (t i, ω i ), k 2 = f (t i + ha 2, ω i + h(b 21 k 1 )), a 2 = b 21, k 3 = f (t i + ha 3, ω i + h(b 31 k 1 + b 32 k 2 )), a 3 = b 31 + b 32, k 4 = f (t i + ha 4, ω i + h(b 41 k 1 + b 42 k 2 + b 43 k 3 )), a 4 = b 41 + b 42 + b 43,. k R = f (t i +ha R, ω i +h(b R1 k b R,R 1 k R 1 )), a R = b R b R,R 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

5 Métodos de Runge-Kutta Note que a aproximação ω i+1 é calculada a partir de ω i e uma média de valores de f (t, y) em vários pontos. Os valores de c r, a r e b rs são escolhidos de modo que o Método de Runge-Kutta tenha a mesma ordem do erro de um Método de Taylor. Isso é o que define a ordem do Método de Runge-Kutta. Note que o Método de Runge-Kutta de Primeira Ordem coincide com o Método de Euler e o Método de Taylor de Primeira Ordem. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

6 Métodos de Runge-Kutta de Segunda Ordem O Método de Runge-Kutta de 2-estágios é definido por com ω i+1 = ω i + h(c 1 k 1 + c 2 k 2 ), c 1 + c 2 = 1, k 1 = f (t i, ω i ), k 2 = f (t i + ha 2, ω i + h(a 2 k 1 )). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

7 Métodos de Runge-Kutta de Segunda Ordem Para determinar os valores de c 1, c 2 e a 2, podemos desenvolver a função k 2 pelo polinômio de Taylor, em torno do ponto (t i, ω i ) até segunda ordem, de modo a expressar o método da seguinte forma ω i+1 = ω i + (...)h + (...)h 2 + O(h 3 ) e, então, igualar os coeficientes de h e h 2 com os coeficientes deles no Método de Taylor de segunda ordem. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

8 Métodos de Runge-Kutta de Segunda Ordem Fazendo estas contas, obtemos o seguinte sistema não-linear { c1 + c 2 = 1, c 2 a 2 = 0.5. Este sistema possui infinitas soluções. Cada uma delas gera um Método de Runge-Kutta de Segunda Ordem diferente. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

9 Métodos de Runge-Kutta de Segunda Ordem: Método do Ponto Médio Tomando c 1 = 0, c 2 = 1 e a 2 = 1 2, temos o Método do Ponto Médio: ω 0 = α, ω i+1 = ω i + hf ( t i + h 2, ω i + h ) 2 f (t i, ω i ), para i = 0, 1,..., N 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

10 Métodos de Runge-Kutta de Segunda Ordem: Método de Euler Modificado Tomando c 1 = 1 2, c 2 = 1 2 e a 2 = 1, temos o Método de Euler Modificado: ω 0 = α, ω i+1 = ω i + h 2 [f (t i, ω i ) + f (t i+1, ω i + hf (t i, ω i )], para i = 0, 1,..., N 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

11 Métodos de Runge-Kutta de Segunda Ordem: Método de Heun Tomando c 1 = 1 4, c 2 = 3 4 e a 2 = 2 3, temos o Método de Heun: ω i+1 = ω i + h 4 ω 0 = α, [ ( f (t i, ω i ) + 3f t i h, ω i + 2 )] 3 hf (t i, ω i ), para i = 0, 1,..., N 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

12 Exemplo Considere o seguinte Problema de Valor Inicial y = y t 2 + 1, 0 t 2, y(0) = 0.5. Utilize os Métodos de Ponto Médio (PM), de Euler Modificado (EM) e de Heun (H), com N = 10, para aproximar a solução deste problema. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

13 Exemplo Aplicando os métodos pedidos ao problema, obtemos os valores fornecidos na tabela a seguir: t i y i = y(t i ) ω i (PM) ω i y i ω i (EM) ω i y i ω i (H) ω i y i Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

14 Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem Usando o mesmo procedimento usado para calcular os Métodos de Runge-Kutta de Segunda Ordem, podemos definir os parâmetros c 1, c 2, c 3, c 4, a 2, a 3, a 4, b 21, b 31, b 32, b 41, b 42 e b 43 do Método Runge-Kutta de 4-estágios para definir um Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem. Fazendo estas contas, chegamos a um sistema não-linear com solução única, dada por c 1 = 1 6, c 2 = 2 6, c 3 = 2 6, c 4 = 1 6, a 2 = b 21 = 1 2, a 3 = 1 2, b 31 = 0, b 32 = 1 2, a 4 = 1, b 41 = 0, b 42 = 0, b 43 = 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

15 Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem ω 0 = α, ω i+1 = ω i (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), k 1 = hf (t i, ω i ), k 2 = hf (t i + h 2, ω i k 1), k 3 = hf (t i + h 2, ω i k 2), para i = 0, 1,..., N 1. k 4 = hf (t i+1, ω i + k 3 ), Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

16 Exemplo Considere o seguinte Problema de Valor Inicial y = y t 2 + 1, 0 t 2, y(0) = 0.5. Utilize o Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem, com N = 10, para aproximar a solução deste problema. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17

17 Exemplo Aplicando o Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem, obtemos os valores fornecidos na tabela a seguir: t i y i = y(t i ) ω i ω i y i Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 31 de outubro de / 17