10 Estabilidade de Métodos de Passo Simples

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1 MAP Análise Numérica e Equações Diferenciais I 1 o Semestre de 2008 Análise Numérica NÃO REVISADO! 10 Estabilidade de Métodos de Passo Simples Continuamos interessados em estudar Métodos de Discretização para aproximar a solução y(t), t I, do problema ẏ = f(t, y), y(t 0 ) = y 0, (1) num intervalo [a, b] = [t 0, b] I. Como sempre, f : Ω = Ω o R R m R m é de classe pelo menos C 1, e para n N tomamos h = h n = (b a)/n, e t k = t k,n = t k 1 + h, k = 1, 2,..., n. Vários Métodos de Passo Simples explícitos ou implícitos foram vistos no curso, todos da forma w 0 = y 0 w k+1 = w k + hφ(t k, w k, w k+1, h), (2) onde Φ é uma função contínua. Mais geralmente, podemos considerar Métodos de Passo Simples explícitos ou implícitos da forma w 0 = y 0 w k+1 = Aw k + hφ(t k, w k, w k+1, h), (3) onde Φ é uma função contínua e A M m m (R). m Já sabemos que se Se o Método (2) for explícito, consistente de ordem p, e estável, então ele é convergente de ordem p. 1

2 Isso mostra a importância de termos um método estável no sentido apresentado na seção 4. O seguinte resultado fala sobre estabilidade, nesse mesmo sentido, dos métodos explícitos ou implícitos mais geraisde passo simples (3): Teorema 1 Se em (3) (i) Φ = Φ(t, y, z, h) for lipschitziana em y e z (isto é, Φ(t, y, z, h) Φ(t, ỹ, z, h L y ỹ + M z z ), (ii) A j R, j N, então o Método (3) é estável com constante de estabilidade S = R 1 RK n 0 exp ( R(K + L) ), 1 RK n 0 válida para n n 0, onde n 0 é tal que 1 RK n 0 > 0. Prova: Não será apresentada aqui. Observação 1 Note que no caso particular (2) tem-se A = I e a hipótese (ii) está automaticamente satisfeita Exemplos de Métodos de Passo Simples Exemplo 1 Métodos de tipo E (Euler) São casos especiais de (2) em que Φ depende essencialmente de f. Como exemplos citamos, para f : Ω = Ω o R R m R m (a) Φ(t, y, z, h) = f(t, y) (Método de Euler explícito). (b) Φ(t, y, z, h) = f(t, z) (Método de Euler implícito). (c) Φ(t, y, z, h) = f ( t + h 2, y + h 2 f(t, y)) (Método de Euler Modificado). (d) Φ(t, y, z, h) = 1 [f(t, y) + f(t + h, y + hf(t, y))] (Método de Euler Aprimorado). 2 2

3 (e) Φ(t, y, z, h) = f(t, y) + h 2 [f t(t, y) + f y (t, y)f(t, y)] (Método de Taylor de ordem 2). Nos casos (a), (b), (c), (d), se f(t, y) for lipschitiziana em y a condição (i) da proposição anterior estará satisfeita. Que se pode dizer no caso (e)? Exemplo 2 Métodos de tipo Taylor São casos especiais de (2) explícitos em que Φ é da forma abaixo quando f : Ω = Ω o R R R onde Φ(t, y, z, h) = f(t, y) + h f(t, 2! y) + h2 3! f(t, y) + + hp 1 f (p) (t, y) p! f(t, y) = ( t + f ) f(t, y) y = f t (t, y) + f y (t, y)f(t, y), f(t, y) = ( t + f ) 2f(t, y) y = ( t + f ) [ft (t, y) + f y (t, y)f(t, y)] y = f tt (t, y) + 2f ty (t, y)f(t, y) + f yy (t, y)f(t, y) 2 + f t (t, y)f y (t, y) + f y (t, y) 2 f(t, y). f (p) (t, y) = ( t + f ) pf(t, y) y Quais as condições sobre f para que a hipótese (i) da última proposição fique satisfeita? Exercício 1 Como fica o método de Taylor de ordem 2 quando f : Ω = Ω o R R 2 R 2? E quando f : Ω = Ω o R R 3 R 3? Exemplo 3 Métodos de tipo R-K (Runge-Kutta) explícitos São casos especiais de (2) (ver seção anterior). Se f(t, y) é lipschitziana em y a hipótese (i) da última proposição fica satisfeita para esses métodoss? 3

4 11 Métodos de passo múltiplo (p passos) São métodos da forma e w 0 = S n,0 (y 0 ) w 1 = S n,1 (y 0 ). w l 1 = S n,l 1 (y 0 ) (4) w k+l = Ψ(t k+l, w k, w k+1,..., w k+l 1, w k+l, h), k = 0, 1,..., n l, (5) onde Ψ é uma função contínua. (6) é o procedimento inicial do método, usualmente obtido usando um método de passo simples. Quando Ψ(t, x, z, h) = Ψ(t, x 1, x 2,..., x l, z, h) não depende de z o método é explícito, caso contrário, é implícito Métodos (ρ, σ) São métodos de passo múltiplo em que o procedimento (5) é linear em w k, w k+1,..., w k+l, f(t k, w k ), f(t k+1, w k+1 ),..., f(t k+l, w k+l ). Mais explicitamente, são da forma e w 0 = S n,0 (y 0 ) w 1 = S n,1 (y 0 ). w l 1 = S n,l 1 (y 0 ) (6) α l w k+l α 1 w k+1 + α 0 w k (7) = h[β l f(t k+l, w k+l ) β 1 f(t k+1, w k+1 ) + β 0 f(t k, w k )] k = 0, 1,..., n l, onde α l 0 e α 0 + β

5 Note que o procedimento (7) é caracterizado pela matriz ( ) α0 α M = 1 α l β 0 β 1 β l Exemplo 4 Método de Adams-Bashfort M = ( 0 1 ) 1 1/2 3/2 0 O método é explícito, de l = 2 passos, e tem ordem p = 2. Exemplo 5 Método de Milne-Simpson, M = ( ) 1/3 4/3 1/3 O método é implícito, de l = 2 passos, e tem ordem p = 3. Temos dois polinômios característicos associados aos Métodos (ρ, σ), ρ(λ) = α l λ l + α l 1 λ l α 1 λ + α 0 (primeiro polinômio característico) σ(λ) = β l λ l + β l 1 λ l β 1 λ + β 0 (segundo polinômio característico) Veremos que estes polinômios estão relacionados com a consistência e a estabilidade do método Apresentação do Método (ρ, σ) como método de passo simples Note que chamando v k = w k w k+1. w k+l 2 w k+l 1 5

6 podemos reescrever o Método (ρ, σ) na forma onde A M l l é dada por v k+1 = Av k + hφ(t k, v k, v k+1, h) (8) α 0 α l α 1 α l α 2 α l α l 1 α l e 0 Φ(t k, v k, v k+1, h) = 0. 0 β l f(t k+l, w k+l ) β 1 f(t k+1, w k+1 ) + β 0 f(t k, w k )] Sendo assim, podemos aplicar os resultados sobre métodos de passo simples para estudar a estabilidade, consistência e convergência deste método. Lema: O polinômio característico da matriz (8) é ρ(λ) = α l λ l + α l 1 λ l α 1 λ + α 0. Lema: Se todos os autovalores de C M l l têm módulo 1 e os autovalores que têm módulo = 1 são simples, então C j S, j N. Desses lemas e do teorema 1 segue imediatamente o resultado abaixo. Proposição 1 Se f(t, y) é lipschitziana na variável y e todas as raízes de ρ(λ) = α l λ l + α l 1 λ l α 1 λ + α 0 têm módulo 1 e as raízes que têm módulo = 1 são simples, então o Método (ρ, σ) é estável. 6

7 11.3 Zero-estabilidade dos Métodos (ρ, σ) Quando o Método (ρ, σ) é aplicado a um problema em que f = 0, o que se tem é uma equação de recorreeência linear de ordem p, a saber, α l y k+l α 1 y k+1 + α 0 y k = 0, k = 0, 1,..., n l, (9) onde α l 0 e α 0 0. o polinômio ρ(r) = α l r l α 1 r + α 0 é denominado no contexto de Equações de Recorrência Lineares, de polinômio Caracter ıstico de (9), e a solução geral de (9) pode ser obtida da seguinte forma: Se r 1, r 2,..., r s são (todas) as raízes distintas de ρ(r) com multiplicidades algébricas m 1, m 2,..., m s respectivamente, então a solução geral de (9) é dada por y k = (a 10 + a 11 k + + a 1,m1 1k m 1 1 )r k 1 + +(a 20 + a 21 k + + a 2,m2 1k m 2 1 )r k 2 + (10) + (a s0 + a s1 k + + a s,ms 1k ms 1 )r k s, onde os a ij são constantes arbitrárias que são determinadas pelas condições iniciais y 0, y 1,..., y l 1. Claramente, nesse caso todas as soluções são limitadas se e somente se todas as raízes de ρ(r) têm módulo 1 e as raízes de módulo = 1 são simples. Isso motiva a seguinte definição: Definição 1 O método (ρ, σ) definido em (7) é zero-estável se todas as raízes do primeiro polinômio característico ρ(r) têm módulo 1 e as raízes de módulo = 1 forem simples. A importância dessa definição é que pode-se provar diretamente, como fizemos no caso de métodos de passo simples explícitos, o seguinte resultado: Teorema 2 Seja f lipschitziana na variável y. Então o método (ρ, σ) definido em (7) é convergente se e somente se for zero-estável e consistente. 7

8 11.4 Consistência dos métodos (ρ, σ) Vale também o seguinte resultado sobre consistência: Proposição 2 Suponha que f é de classe C p. Se (i) S n,j (y 0 ) y 0 = O(h p ), j = 0, 1,..., l 1, (ii) l j=0 α j = 0, (iii) 1 i lj=0 j i α j = l j=0 j i 1 β j, j = 1,..., p então o Método (ρ, σ) é consistente de ordem p. Prova: Idéia dada em sala. 8