Tensores (Parte 1) 15 de abril de Primeira aula sobre tensores para a disciplina de CVT 2019Q1

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1 Tensores (Parte 1) 15 de abril de 2019 Primeira aula sobre tensores para a disciplina de CVT 2019Q1 Introdução Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores introduzindo esse novo conceito que chamamos de tensores. Lembramos que Escalar: É definido por um número (ou função, em caso de um campo escalar). É especificado, portanto, por uma única componente. Vetor: É uma lista de número cujo número de componentes é igual a dimensão do espaço em que o vetor é definido. Possui uma interpretação geométrica como um segmento de reta orientada que liga dois pontos no espaço. O comprimento de um vetor é invariante sobre rotações (sejam elas no vetor ou no sistema de coordenadas), porém suas componentes são modificadas nesse processo. Na Física os tensores são de suma importância visto que são construídos para serem invariantes por transformações de coordenadas, isso significa que as equações assumem a mesma forma em qualquer sistema de coordenadas tornando-se independentes dessas. Do ponto de vista físico isso é natural, visto que um sistema físico qualquer não pode depender explicitamente de um sistema de coordenadas em particular no que diz respeito á manifestação de fenômenos. Transformações de vetores Considere a rotação do sistema de um vetor em um sistema de coordenadas arbitrário. De forma geral a equação que descreve esse procedimento é A i = j a ij A j, (1) sendo a ij as componentes da matriz cujos elementos são senos e cossenos dos ângulos entre os eixos {x i } do novo sistema de coordenadas e {x i} do antigo. 1

2 Considere agora o vetor posição na forma diferencial, d r, e seja x i x i (x j). Aplicando a regra da cadeia na diferenciação temos dx i = j i dx j. (2) A consistência entre as equações (1) e (2) exige que no limite de transformações infinitesimais a ij = i, (3) assim, qualquer vetor deve se transformar de acordo com 1 A i = j i Aj. (4) Um vetor que se transforma de acordo com (4)é chamado de vetor contravariante. Considere agora o gradiente de um campo escalar, ϕ, em três dimensões ϕ = ˆx ϕ + ŷ ϕ y + ẑ ϕ z = i ˆx i ϕ i. (5) Esse se transforma como ϕ i = j ϕ, (6) i pois como mencionamos anteriormente um campo escalar satisfaz ϕ (x, y, z ) = ϕ = ϕ = ϕ (x, y, z). Observe que (6) é diferente de (4), a um vetor que se transforma como (6) damos o nome de vetor covariante: A i = j i A j. (7) Apenas em coordenadas cartesianas {x, y, z} que i = j, (8) i em geral essa identidade não é válida. É justamente por isso que em coordenadas cartesianas não notamos a diferença entre o gradiente de um campo escalar e um vetor. feito. 1 Note que mudamos o posicionamento de índices, logo adiante ficará claro porque isso foi 2

3 Um pouco sobre a notação Observe que os chamados contravetores, c.f. (4) são denotados com um índice sobrescrito (superior): A i, enquanto que covetores são identificados por um índice subscrito (em baixo): A i. Essa notação é bastante comum, e será utilizada ao longo de todas as aulas. Observe também que é considerado como índice i inferior, é comum encontrar em alguns livros a notação simplificada por i / i. Tensores de segunda ordem O primeiro passo para a generalização de vetores (que agora incluem tanto contravetores como covetores) é definir o que chamamos de tensor de segunda ordem a partir das propriedades de transformação dos vetores. Tensores de segunda ordem (e por consequência os também de ordem mais alta que 2) podem ser contravariantes, mistos ou covariantes, dependendo de como os índices aparem nas expressões. A regra de transformação são A ij = k,l B i j = k,l C ij = k,l i j k l Akl i l k j Bk l (9) k l i j C kl onde a primeira equação é para um tensor contravariante, a segunda é um tensor misto e a última trata-se de um tensor covariante. Tensores de ordem dois, em particular, podem ser representados por matrizes quadradas n n, sendo n a dimensão do espaço. No entanto é importante notar que nem toda matriz é um tensor, pois matrizes não precisam necessariamente satisfazer as propriedades de transformação descritas acima. Sobre a ordem dos tensores Quando se fala em ordem de um tensor estamos falando simplesmente da quantidade de índices livres que esse tensor possui, assim um escalar é um tensor de ordem zero, um vetor é um tensor de ordem um e, em se tratando de ordens mais altas, chamamos apenas de tensor e especificamos a ordem se necessário (muitas vezes a ordem do tensor é evidente uma vez que a expressão é apresentada). Resumo (do que vimos até aqui) Tensores são definidos a partir da sua lei de transformação, c.f. eqs (4),(7),(9). Essas relações especificam como as componentes se apresentam quando repre- 3

4 sentadas em diferentes sistemas de coordenadas, estabelecendo um processo para transformar de um sistema para outro. Tensores são sistemas de componentes organizadas por índices que se transformam de acordo com regras específicas sob um conjunto de transformações. Adição e subtração A álgebra de adição e subtração é relativamente simples, basta que sejam respeitados a quantidade e posicionamento dos índices, assim A ij + B ij = C ij, (10) é uma equação tensorial válida. Por outro lado expressões como não fazem sentido. A ij + B ij ou A i + B ijk Convenção de soma implícita Quando escrevemos equações tensoriais e trabalhamos com a álgebra dos índices rapidamente percebemos que a quantidade de somatórias tende a poluir muito as equações, por isso introduzimos a convenção de soma implícita (também chamada de convenção de Einstein para somatórias). Assim, assumimos que quando índices aparecem repetidos nas equações já está implícito que há uma soma sobre todos os valores (de 1 até n) desse índice. Por exemplo, a segunda equação em (9) é escrita como B i j = i k l j Bk l. (11) Além disso as somas de índices são efetuadas apenas entre um índice superior e outro inferior. Quando usam-se apenas índices superiores (ou inferiores) está implícito que o sistema de coordenadas em questão é cartesiano, justamente pelo fato de não haver diferenciação entre quantidades covariantes e contravariantes nesse sistema em particular. Exemplo: Delta de Kronecker é um tensor Como exemplo do que vimos até agora vamos mostrar que o chamado delta de Kronecker, δj i, é um tensor de ordem dois. Para isso devemos mostrar que ele satisfaz a regra de transformação dos tensores. Veja: δ i j = i k l j δk l, (12) 4

5 pela definição da delta o lado direito dessa equação é i l k j δk l = i. (13) j Agora note que como as coordenadas são independentes entre si temos { i j = = 0 se i j = 1 se i = j que é precisamente o que caracteriza as componentes da delta. Assim vemos que (12) é satisfeita e portanto a delta de Kronecker é de fato um tensor. Além disso perceba que nesse caso particular temos δ i j = δi j, o que significa que todas as componentes da delta de Kronecker são idênticas em qualquer sistema de coordenadas adotado, esse tipo de tensor é chamado de tensor isotrópico. É o único tensor de segunda ordem que tem essa propriedade. Não existem vetores isotrópicos e, mais adiante veremos casos de tensores de ordens mais altas que também são isotrópicos. Simetria e Anti-simetria A ordem em que índices aparecem é bastante importante e, de fato, não há nenhuma relação entre o posicionamento dos índices a priori. Alguns tensores têm relações entre os índices, são T ij = T ji (Simétrico) T ij = T ji (Anti-simétrico) (14) Tensores de segunda ordem podem ser decompostos nas suas partes simétrica e anti-simétrica através da seguinte expressão Contração T ij = 1 2 ( T ij + T ji) ( T ij T ji). (15) É possível formar um escalar a partir de dois vetores, u e v, através duma operação chamada produto escalar u v = u i v i = u i v i R. (16) Para tensores há um procedimento semelhante chamado contração. Esse tensor reduz a ordem do tensor original em dois, assim a contração entre índices de um tensor de ordem dois é um tensor de ordem zero (escalar): A i i = A A A n n, (17) 5

6 para um tensor de ordem n. Note que a contração de índices é independente do sistema de coordenadas, assim B i i = i k l i Bk l = δ l kb k l = B k k, (18) onde usamos (13) e a sua equivalência com a delta como mostrado no exemplo anterior. Da mesma forma isso pode ser mostrado para tensores de ordem mais alta e, um procedimento semelhante nos permite mostrar que o produto escalar entre dois vetores é invariante por transformações de coordenadas, pois o produto escalar nada mais é do que uma contração entre dois tensores de ordem 1. Produto direto Podemos combinar duas ou mais componentes de tensores para formar tensores de ordem mais alta, sendo a ordem do tensor resultante dado pela soma das ordens dos tensores envolvidos no produto, por exemplo A i B j = T ij A i B j = T i j (19) T ij A k = C ij k e assim por diante. Podemos verificar explicitamente que esse produto forma, de fato, um novo tensor. Considere, por exemplo, a segunda equação (19) E assim por diante. Regra do quociente A ib j = k j i l A k B }{{} l = k j i l T k l = T k l. (20) Tk l Essa regra é a inversa do produto direto. Sabemos que não é definida a divisão entre vetores ou, de maneira mais geral, tensores. No entanto considere as relações K i A i = B K ij A j = B i K ij A jk = B ik (21) K ijkl A ij = B kl K ij A k = B ijk Aqui estamos usando sistemas cartesianos, por isso os índices aparecem apenas subscritos. Nessas expressões suponha que A e B são quantidades conhecidas, 6

7 enquanto que K é uma quantidade desconhecida e objetivo é determinar se K em cada caso é um tensor de ordem indicada. A regra do quociente diz o seguinte: Se a equação em questão for válida em todos os sistemas de coordenada cartesianos (rotacionados) então K é um tensor da ordem indicada. Vamos provar a regra do quociente usando como caso típico a segunda equação dentre as relações (21) (é um bom exercício verificar a regra do quociente para as demais relações!). Considere tal equação num sistema transformado (com linha) K ija j = B i = a ik B k, (22) onde usamos a propriedade de transformação vetorial de B e estamos denotando as transformações como a ij. Uma vez que (22) é válida para todos os sistemas de coordenadas cartesianos podemos escrever a ik B k = a ik (K kl A l ). (23) Agora transformamos A de volta para o sistema com linha da equação (22) K ija j = a ik K kl a lj A j, (24) ou seja ( K ij a ik K kl a lj ) A j = 0. (25) Tendo em vista que A j é arbitrário, e essa expressão deve ser válida para qualquer sistema cartesiano temos K ij = a ik a lj K kl, (26) que é exatamente a regra de transformação para um tensor cartesiano. Assim mostramos que a regra do quociente está verificada para a segunda equação do conjunto (21). 7