CF372 Mecânica Quântica I Segunda Lista de Exercícios - Capítulo II. q exp( q 2 ) ( 2 π. 2 (2q 2 1) exp( q 2 )

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1 CF372 Mecânica Quântica I Segunda Lista de Exercícios - Capítulo II 1) Dadas as funções ψ 1 (q) e ψ 2 (q), definidas no intervalo < q < + : ψ 1 (q) = ( 2 π ) 1/2 q exp( q 2 ) Calcule: a) (ψ 1, ψ 2 ); b) ψ 2 (q) = (ψ 1, ψ 1 ); c) (ψ 2, ψ 2 ) ( ) 1/2 1 2 (2q 2 1) exp( q 2 ) π 2) Obtenha as componentes de ψ(x) na base v p (x), onde ψ(x) = exp ( α x ) dica: ψ(x) é uma função par. Para calcular a integral, escreva v p (x) em termos de seno e coseno e analise a paridade do integrando 3) Prove as seguintes relações: a) [A, B] + [B, A] = 0 b) [A, A] = 0 c) [A, B + C] = [A, B] + [A, C] d) [A + B, C] = [A, C] + [B, C] e) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] f) [AB, C] = [A, C]B + A[B, C] g) [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0 h) [AB, CD] = AC{D, B} + A{C, B}D C{D, A}B + {C, A}DB onde: [X, Y ] = XY Y X é o comutador de X e Y e {X, Y } = XY + Y X é o anticomutador de X e Y 4) ϕ n são autoestados de um operador Hermitiano H (H é, por exemplo, o Hamiltoniano de um sistema físico arbitrário). Assuma que os estados ϕ n formam uma base discreta ortonormal. O operador U(m, n) é definido por: 1

2 U(m, n) = ϕ m ϕ n a) Calcule o adjunto de U(m, n), U (m, n) b) Calcule o comutador [H, U(m, n)] c) Prove a relação: U(m, n)u (p, q) = δ nq U(m, p) d) Calcule T r {U(m, n)}, o traço do operador U(m, n) (dica: olhe o complemento B II ) e) Seja A um operador, com elementos de matriz A mn = ϕ m A ϕ n. Prove a relação: A = A mn U(m, n) m,n f) Mostre que A pq = T r { AU (p, q) } 5) Suponha que u n e u m são autokets de algum operador Hermitiano A. Sob quais condições podemos concluir que u n + u m também é um autoket de A? Justifique sua resposta 6) Sejam A e B duas observáveis. Suponha que os autokets simultâneos de A e B { a n, b p } formam um conjunto completo ortonormal de kets de base. Podemos concluir que [A, B] = 0? Se sua resposta for sim, prove a afirmativa. Se sua resposta for não, dê um contra exemplo 7) Dois operadores Hermitianos anti-comutam: {A, B} = AB + BA = 0. um autoket simultâneo de A e B? Prove ou ilustre sua afirmação É possível haver 8) Em um espaço vetorial bidimensional, considere o operador cuja matriz, em uma base ortonormal { 1, 2 } é escrita como: σ y = ( 0 i i 0 ) 2

3 a) σ y é Hermitiana? Calcule seus autovalores e autovetores (dando as expansões normalizadas em termos da base { 1, 2 }) b) Calcule as matrizes que representam os projetores sobre estes autovetores. Verifique então que elas satisfazem as relações de ortogonalidade e fechamento 9) O operador Hamiltoniano para um sistema de dois estados é dado por: H = a ( ) onde a é um número com dimensão de energia. Encontre os autovalores de energia e os autokets (como combinações lineares de 1 e 2 ) 10) O espaço de estado de um certo sistema físico é tridimensional. Seja { u 1, u 2, u 3 } uma base ortonormal deste espaço. Os kets ψ 0 e ψ 1 são definidos por: a) Estes kets estão normalizados? ψ 0 = 1 2 u 1 + i 2 u u 3 ψ 1 = 1 u 1 + i u b) Calcule as matrizes ρ 0 e ρ 1 que representam, na base { u 1, u 2, u 3 }, os operadores de projeção sobre o estado ψ 0 e sobre o estado ψ 1. Verifique que estas matrizes são Hermitianas 11) Considere o Hamiltoniano H de uma partícula em um problema unidimensional, definido por: H = P 2 2m + V (X) onde X e P são os operadores que satisfazem a relação [X, P ] = i h. Os autovetores de H são denotados por ϕ n : H ϕ n = E n ϕ n, onde n é um índice discreto. a) Mostre que: 3

4 ϕ n P ϕ n = α ϕ n X ϕ n onde α é um coeficiente que depende da diferença entre E n e E n. Calcule α (dica: considere o comutador [X, H]) b) Do ítem anterior deduza, usando a relação de fechamento, a equação n (E n E n ) 2 ϕ n X ϕ n 2 = h 2 m ϕ n P 2 ϕ 2 n 12) Seja H o operador Hamiltoniano de um sistema físico. ϕ n são autovetores de H com autovalores E n : H ϕ n = E n ϕ n a) Para um operador arbitrário A, prove a relação ϕ n [A, H] ϕ n = 0 b) Considere um problema unidimensional, onde o sistema físico é uma partícula de massa m e energia potencial V (X). Neste caso, H é escrito como H = P 2 2m + V (X) α) Em termos de P, X e V (X), ache os comutadores: [H, P ], [H, X] e [H, XP ] β) Mostre que o elemento de matriz ϕ n P ϕ n (valor médio do momento no estado ϕ n ) é zero γ) Estabeleça uma relação entre E k = ϕ n P 2 2m ϕ n (valor médio da energia cinética no estado ϕ n ) e ϕ n X dv dx ϕ n. Como o valor médio da energia potencial no estado ϕ n é ϕ n V (X) ϕ n, como ele está relacionado com o valor médio da energia cinética quando V (X) = V 0 X λ (λ = 2, 4, 6,...)? 13) Usando a relação x p = (2π h) 1 2 e ipx h encontre as expressões x XP ψ e x P X ψ em termos de ψ(x) ( x ψ ). Estes resultados podem ser encontrados diretamente usando o 4

5 fato de que na representação { x }, P atua como h i d? dx 14) Estude os exercícios 11) e 12) que estão resolvidos no livro, complemento K I, nas páginas 206, 207, 208 e ) Se A, B e C são operadores Hermitianos, transforme as seguintes expressões de maneira a eliminar as adagas a) (ABC), b) (A n ), c) (AB + BA), d) (AB BA), e) (i[a, B]), f) (A + B) 16) Dada a matriz calcule A = a) A matriz cofator de A, b) O determinante de A, c) A matriz inversa de A, A 1, d) A matriz U que diagonaliza A. U é unitária? 17) Leia os ítens 5 e 6 do capítulo 1 do livro The Principles of Quantum Mechanics de P.A.M. Dirac 5