Álgebra linear & notação de Dirac

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1 Álgebra linear & notação de Dirac Química Teórica e Estrutural P.J.S.B. Caridade & U. Miranda 21/10/ /10/2013, Aula 4 Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 1

2 A reter e saber! As observáveis físicas são representadas por operadores. Saber álgebra de operadores. Comutadores: [Â, ˆB] = AB BA. USAR SEMPRE UMA FUNÇÃO. Verificar se um operador é linear: Â[f (x) + g(x)] = Âf (x) + Âg(x) Â[cf (x)] = câf (x) Função própria de um operador Âf (x) = cf (x) c = cte. Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 2

3 Matrizes vs funções Formulação ondulatória: Schrödinger. Formulação matricial: Heinsenberg. Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 3

4 Pausa! Álgebra linear em 3D Um vector em 3D pode ser representado conhecendo as suas componentes a i (i = 1, 3), em relação a um conjunto de vectores unitários mutuamente perpendiculares, e i : a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 O conjunto e i designa-se por base de vectores. Em 3D esta base diz-se completa, pois qualquer vector pode ser escrito através de uma combinação linear dos elementos da base. Não é única! Qualquer conjunto com três vectores unitários mutuamente pode ser utilizado. Para uma base, o vector é especificado completamente pelas três componentes, uma matriz coluna: a = a 1 a 2 a 3 Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 4

5 Álgebra linear em 3D (cont.) Podemos definir produto escalar de dois vectores: 3 x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x i y i x x x 2 Admitindo a definição de vector: x y = ê i ê j a i b j i j Para que sejam iguais { temos: 1 se i = j ê i ê j = δ ij = 0 se i j i=1 δ ij é o Delta de Kronecker. Neste caso diz-se que a base de vectores é Ortonormal: (1) São mutuamente perpendiculares, ortogonais; (2) têm comprimento unitário, normalizados. Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 5

6 Álgebra linear em 3D (cont.) Conhecido um vector a, podemos determinar a componente ao longo de e j através do produto escalar: e j a = i e j e i a i = i δ ij a i = a j a = i e i e i a = 1 a com 1 diáde unitário. Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 6

7 Não vamos aprender nada de novo em termos matemáticos: Apenas notação Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 7

8 Álgebra linear em nd em espaço complexo Consideremos uma base de vectores de dimensão n completa. O vector na notação de Dirac (ket ) é escrito por a = N i a i i Na base { i } o vector vem, na forma matricial: a 1 a 2 a =. a N a matriz adjunta de a é a matriz linha complexa: a = (a 1 a 2... a N ) = a com a o bra. Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 8

9 Álgebra linear em nd em espaço complexo O produto escalar é dado por: n a b a b = a b = a i b i i=1 A condição de ortornormalidade vem dada por: a = i b = j a i i b j j a b = ij a i i j b j i j = δ ij Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 9

10 Álgebra linear em nd em espaço complexo Conhecido o bra ou ket podemos obter as componentes do vector? Partindo de a = N i i a i e multiplicando pelo bra (esquerda) ou ket (direita): j a = i j i a i = i δ ji a i = a j a j = i a i j i = i δ ji a i = a j a = i i a i = i i i a a = i a i i = i a i i 1 = i i i MI Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 10

11 Produto interno e externo Produto interno a b = a T b = ( ) a 1 a 2 a n b 1 b 2. b n = n a i b i i=1 Produto externo a b = ab T a 1 a 1 b 1 a 1 b 2 a1b n a 2 ( ) a 2 b 1 a 2 b 2 a1b n = b1 b 2 b n = a n b 1 a n b 2 a n b n a n ψ ψ é um operador! Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 11

12 Exercício O produto externo φ ψ é um operador, logo pode ser representado por uma matriz. Mostre tal afirmação com os vectores: 2 1 φ = 3i ψ = 0 4 i Determine ( φ ψ )(3 ψ ) Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 12

13 Representação matricial Partindo da expressão  ψ = φ e considerando a base {ξ n }, podemos escrever: ξ =  ψ = ÂÎ ψ =  n ξ n ξ n ψ Multiplicando por ξ m : ξ m φ = n ξ m  ξ n ξ n ψ ξ m φ corresponde à componente φ m : φ m = n A mn ψ n com A mn = ξ m  ξ n Representação matricial do operador. Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 13

14 Representação matricial Considere a base de funções ortonormais { u i } e o operador  que actua da seguinte forma:  u 1 = 2 u 1  u 2 = 3 u 1 i u 3  u 3 = u 2 Escreva a representação matricial do operador. Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 14