RELEMBRANDO... CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA:

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1 RELEMBRANDO... CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA: determinantes Se o determinante da matriz é diferente de zero existe a inversa, logo: det M 0 M -1 1 =. M det M Quem é M? É a matriz adjunta, que é a matriz transposta da matriz dos cofatores. Como calcular a matriz dos cofatores, indicada por M : Matriz dos Cofatores Seja M uma matriz quadrada, obtemos a matriz M, substituindo cada elemento de M por seu cofator. Exemplo: M = [ a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a ] Encontrando a matriz dos cofatores: M = [ A 11 A 1 A 1 A 1 A A ] A 1 A A Determinante Determinante Determinante a a a 1 a a 1 a A11 = (-1) A1 = (-1) a a A1 = (-1) a 1 a 4 a 1 a Determinante Determinante Determinante a 1 a 1 a 11 a 1 a 11 a 1 A1 = (-1) A = (-1) a a 4 A = (-1) a 1 a 5 a 1 a Determinante Determinante Determinante

2 a 1 a 1 a 11 a 1 a 11 a 1 A1 = (-1) 4 A = (-1) a a 5 A = (-1) a 1 a 6 a 1 a Matriz Adjunta: M É a matriz transposta da matriz dos cofatores. Matriz transposta: trocamos as linhas pelas colunas. Matriz Inversa: M 1 det M 0 M 1 = 1 det M. M MATRIZES INVERTÍVEIS: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz invertível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I n (matriz unidade de ordem n / matriz ônica do R n ). Se A não é invertível dizemos que A é singular. Sejam as matrizes: A = [ a 11 a 1 a 1 a ], B = [ a 11 a 1 a 1 a ] e I n = [ 1 0 A. B = I n e B. A = I n

3 a 11 a 1 [ a 1 ]. [ a a 11 a 1 a 1 a ] = [ 1 0 a 11. a 11 + a 1. a 1 a 11. a 1 + a 1. a [T 1 ] = [ a 1. a 11 + a. a 1 a 1. a 1 + a. a Logo, 1) a 11. a 11 + a 1. a 1 = 1 ) a 11. a 1 + a 1. a = 0 ) a 1. a 11 + a. a 1 = 0 4) a 1. a 1 + a. a = 1 ] = [ 1 0 Exemplo: 1) Seja A = [ 4 A. B = I n ] encontre A-1. Logo, B é a matriz inversa. [ 4 c ]. [a b d ] = [1 0 [ a + 4b c + 4d a + b c + d ] = [1 0

4 a + 4b = 1 { c + 4d = 0 a + b = 0 c + d = 1 Logo, a = b =- c= -4 d= [T 1 ] = [ 4 ] Quando é uma matriz x podemos fazer: Primeiro temos que verificar se o determinante é diferente de zero, para que tenha inversa. Trocamos de posição os elementos da diagonal principal. Trocamos de sinal os elementos da diagonal secundária. Depois de feitas essas alterações, dividimos todos os elementos pelo determinante. A matriz obtida é a matriz inversa. Obtenção da matriz inversa por escalonamento: a 11 a 1 a 1 Seja M = [ a 1 a a ] a matriz dada. a 1 a a Para obter a matriz inversa por escalonamento devemos: a 11 a 1 a [ a 1 a a 0 1 0] a 1 a a 0 0 1

5 1 0 0??? [ 0 1 0???] 0 0 1??? n. TRANSFORMAÇÕES INVERTÍVEIS Para que uma transformação linear seja invertível, é necessário e suficiente que ela seja um isomorfismo (bijetora). Teorema: Se T : V W é um isomorfismo, A uma base de V e B uma base de W, então a matriz da transformação linear que: 1 B A T T 1 A B T : 1 W V é tal Corolário: Seja de V e B uma base de W. T : V W uma transformação linear e A uma base Então T é invertível se e só se det 0 A B T. Exercícios:

6 1. Seja T : uma transformação linear dada por 4 A T, ache as regras de T e de T -1. T (x, y) = ( x + 4 y, x + y) T -1 (x, y) = ( x - 4 y, - x + y). Seja T : uma transformação linear dada por 1 A T, ache as regras de T e de T T (x, y) = (x y, x + y) T -1 x+ y (x, y) = (, x + y ). Considere a transformação linear T: R R, tal que [T] = [ 1 1 1] na base ônica. Encontre a [T] e [T] R: T (x, y, z) = (- x + y, x + y + z, y + z) T -1 (x, y, z) = ( y z, x + y z, x y + z) 4. Verifique matricialmente se o operador linear F L (R ) dado por F(x, y, z) = (x y, y, y + z) é invertível. Se for, ache a inversa e a regra da transformação. T -1 (x, y, z) =(x + y, y, y + z) Exercícios resolvidos:

7 1. Seja T : uma transformação linear dada por 4 A T, ache as regras de T e de T -1. a) Regra de T: T (x, y) = α T (v 1 ) + β T (v ) Como A = {(1, 0), (0, 1)} e á base ônica do R (x, y) = α (1, 0) + β (0, 1) x = α y = β T (x, y) = α T (v 1 ) + β T (v ) T (x, y) = x (, ) + y (4, ) T (x, y) = ( x + 4 y, x + y) b) Regra de 1 T : Primeiro temos que achar a matriz inversa. [T 1 ] = [ 4 1 ] 1º determinante: det T = 9 8 = 1 º encontrando a matriz cofator: A 11 = (-1). = 1. = A 1 = (-1). = - 1. = -

8 A 1 = (-1). 4 = = - 4 A = (-1) 4. = 1. = Matriz cofator: M = [ 4 ] Matriz adjunta: M = (M ) t = [ 4 ] Encontrando a matriz inversa: M 1 = 1 det M. M M 1 = 1 1. [ 4 ] = [ 4 ] Encontrando a transformação: T -1 (x, y) = α T(v 1 ) + β T (v ) (x, y) = α (1, 0) + β (0, 1) x = α y = β T (x, y) = α T (v 1 ) + β T (v ) T (x, y) = x (, - ) + y (- 4, ) T -1 (x, y) = ( x - 4 y, - x + y). Seja T : uma transformação linear dada por 1 A T, ache as regras de T e de T

9 a) 1º verificar se det 0 det = b) Achar a T (x, y) Como estamos na base ônica: α = x e β = y T (x, y) = x (, 1) + y (-1, 1) T (x, y) = (x y, x + y) c) Achar a T -1 (x, y) Primeiro temos que achar a matriz inversa: A. A -1 = I n Logo, A -1 é a matriz inversa. [ 1 c ]. [a 1 1 b d ] = [1 0 a b c d [ a + b c + d ] = [1 0 a b = 1 { a + b = 0 c d = 0 c + d = 1 Logo, a = 1 b = 1 c = 1 d = [T 1 ] = [ ] T -1 (x, y) = x ( 1, 1 ) + y (1, )

10 T -1 x+ y (x, y) = (, x + y ). Considere a transformação linear T: R R, tal que [T] = [ 1 1 1] na base ônica. Encontre a [T] e [T] a) [T] T (x, y, z) = α T(v 1 ) + β T (v ) + δ T (v ) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e á base ônica do R (x, y, z) = α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + δ (0, 0, 1) x = α y = β z = δ T (x, y, z) = α T (v 1 ) + β T (v ) + δ T (v ) T (x, y, z) = x (-1, 1, 0) + y (1, 1, 1) + z (0, 1, 1) T (x, y, z) = (- x + y, x + y + z, y + z) b) [T] 1 a. Encontrando a inversa: determinante: det = [ 1 1 1] = = 1 Encontrando a matriz dos cofatores: M A11 = (-1) A1 = (-1) A1 = (-1)

11 A1 = (-1) A = (-1) A = (-1) A1 = (-1) A = (-1) A = (-1) M = [ ] 1 1 Matriz Adjunta: M é a transposta da matriz cofator M = [ ] 1 1 Matriz Inversa: M 1 M 1 = 1 det M. M [T] 1 = [ 1 1 1] 1 1 T (x, y, z) = α T(v 1 ) + β T (v ) + δ T (v ) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e á base ônica do R (x, y, z) = α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + δ (0, 0, 1) x = α y = β z = δ T (x, y, z) = α T (v 1 ) + β T (v ) + δ T (v ) T (x, y, z) = x (0, 1, 1) + y (1, 1, 1) + z ( 1, 1, )

12 T (x, y, z) = ( y z, x + y z, x y + z) 4. Verifique matricialmente se o operador linear F L (R ) dado por F(x, y, z) = (x y, y, y + z) é invertível. Se for, ache a inversa e a regra da transformação. A matriz F em relação a base ônica do R é: Portanto, M = [ 0 0] F(x, y, z) = (x y, y, y + z) F(1, 0, 0) = (1 0, (0), 0 + 0) = (1, 0, 0) F(0, 1, 0) = (0 1, (1), 1 + 0) = ( 1,, 1) F(0, 0,1) = (0 0, (0), 0 + 1) = (0, 0, 1) Para obter a matriz inversa por escalonamento devemos: [ ] L = L L [ ] [ ] L1 = L + L1 [ ] [ ] L1 = L1 L = L { L = L [ ]

13 Portanto, F 1 (1, 0, 0) = (1, 0, 0) F 1 (0, 1, 0) = ( 1, 1, 1 ) F 1 (0, 0, 1) = (0, 0, 1) Assim, F 1 (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y ( 1, 1, 1 ) + z (0, 0, 1) F 1 (x, y, z) = (x + y, y, y + z) Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice- Hall, LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 197. NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 010. VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba