Álgebra Linear Computacional

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1 Álgebra Linear Computacional Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco. PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia

2 Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais EuclideanosA Eliminação Gaussiana Operações Matriciais Matrizes Diagonais, Triangulares e Simétricas A Função Determinante Cálculo do Determinante Vetores nos Espaços Bi e Tridimensionais Espaços Vetoriais Euclidianos

3 Matrizes Inversíveis A matriz é chamada matriz identidade. Uma matriz nxn A é inversível se existe uma matriz B tal que AB=BA=I. Observação importante Um dos principais problemas em problemas de grande porte é quando por razões que em geral dependem do problema uma matriz deixa de ser invertível.

4 Matrizes Inversíveis Um exemplo. A matriz não tem inversa. De fato nenhuma matriz que tenha uma linha ou coluna de zeros é inversível.

5 Matrizes Inversíveis Exercícios 1. Ex. 11, pg Ex. 12, pg. 55. Pergunta. Para descobrir se uma matriz A nxn tem inversa ou não que tamanho de sistema linear vamos ter que resolver? Faça um exemplo com uma matriz 2x2. Um pequeno desafio: ex.14, pg. 55.

6 Matrizes Inversíveis Matrizes Elementares são aquelas obtidas da matriz identidade por uma das seguintes operações: 1. Troca de duas linhas, 2. Multiplicação de uma linha por uma constante. 3. Somar um mútiplo de uma linha a outra linha. Assim para fazer resolver sistemas de equações lineares basta multiplicar por matrizes elementares à esquerda de modo a chegar o mais próximo possível da matriz identidade. Esse método explica, por exemplo os seguintes fatos equivalentes: 1. Um sistema de n equações e n incógnitas tem solução única se podemos reduzir a matriz dos coeficientes à matriz identidade utilizando matrizes elementares. 2. A matriz dos coeficientes é inversível.

7 Matrizes Inversíveis Um exemplo. Considere a matriz e vamos verificar sua inversíbilidade.

8 Matrizes Inversíveis Com matrizes elementares fazemos assim. Considere a matriz dada e a identidade disposta do seguinte modo E as operações elementares que fizermos com a matriz dada, à esquerda, fazemos também com a matriz identidade, à direita.

9 Temos a seguinte sequência de operações: Matrizes Inversíveis

10 Matrizes Inversíveis

11 Temos do lado direito a inversa de A Matrizes Inversíveis

12 Matrizes Inversíveis Exercício. Resolver o sistema abaixo utilizando matrizes elementares.

13 Matrizes Inversíveis Fato As matrizes elementares são todas inversíveis. É só reverter a operação realizada.

14 Matrizes Inversíveis O que fazemos no exemplo anterior é multiplicar a matriz identidade por I por sucessivas matrizes elementares até obtermos a inversa de A. Refazer o exercício anterior especificando as operações elementares.

15 Permutações e a Função Determinante Permutações e Determinantes: O Enfoque Combinatório Vamos entender a seguinte árvore binária

16 Permutações e a Função Determinante Atribuindo Sinais à Permutações A cada permutação de podemos atribuir um sinal contando o número de inversões da seguinte maneira: 1. Começamos com e olhando para os números seguintes da permutação contamos o número de maiores que ele que vem após ele. 2. Repetimos o processo para subsequentes. Quando a soma do número total das inversões é par atribuimos a permutação sinal + e quando for ímpar o sinal -.

17 Permutações e a Função Determinante Por exemplo a permutação Atribuindo Sinais à Permutações tem = 8 inversões portanto é par. Fato O número de permutações pares de é igual ao número de permutações ímpares.

18 Permutações e a Função Determinante Exercício. Completar o quadro abaixo, dando sinais às permutações

19 Permutações e a Função Determinante Uma permutação é portanto uma função bijetora Normalmente identificamos uma permutação com sua imagem Usamos também a notação e para o seu sinal. Ao conjunto de todas as permutações de {1,2,...n} denotamos por

20 Permutações e a Função Determinante Definição de determinante. Para a matriz o seu determinante, denotado por det(a), é definido como det(a) = σ P n ( 1) sgn(σ) a 1σ(1) a 2σ(2)...a nσ(n)

21 Permutações e a Função Determinante Exemplo 1: Matrizes 2x2. (1,2) tem as seguintes permutações, com seus sinais, +(1,2) e (1,2). Temos então que Exemplo 3: Matrizes 3x3. (1,2,3) tem as permutações, com seus sinais,

22 Permutações e a Função Determinante Daí o determinante da matriz 3x3 é

23 Permutações e a Função Determinante Propriedades de determinantes de matrizes Segue como consequência de que

24 Matriz dos cofatores e a Função Determinante Seja a matriz obtida a partir de A eliminando a linha i e coluna j. é chamada um cofator de A. No caso 2x2 temos

25 Permutações e a Função Determinante De fato podemos escolher qualquer linha ou coluna. Exercício Ex. 9, pg. 96