Introdução ao determinante
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- Estela Amorim Philippi
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1 ao determinante O que é? Quais são suas propriedades? Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)? Para que serve? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 44
2 ao determinante O que é? Quais são suas propriedades? Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)? Para que serve? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 44
3 ao determinante O que é? Quais são suas propriedades? Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)? Para que serve? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 44
4 ao determinante O que é? Quais são suas propriedades? Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)? Para que serve? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 44
5 Área e em R 2 A = u v matriz. P paralelogramo com arestas u e v. v u + v 0 u Definição det A é a área (com sinal) do paralelogramo P. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44
6 Área e em R 2 A = u v matriz. P paralelogramo com arestas u e v. v u + v 0 u Definição det A é a área (com sinal) do paralelogramo P. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44
7 Área e em R 2 A = u v matriz. P paralelogramo com arestas u e v. v u + v 0 u Definição det A é a área (com sinal) do paralelogramo P. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44
8 Volume e em R 3 A = u v w matriz 3 3. P paralelepípedo com arestas u, v e w. w v 0 u Definição det A é o volume (com sinal) do paralelepípedo P. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44
9 Volume e em R 3 A = u v w matriz 3 3. P paralelepípedo com arestas u, v e w. w v 0 u Definição det A é o volume (com sinal) do paralelepípedo P. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44
10 Volume e em R 3 A = u v w matriz 3 3. P paralelepípedo com arestas u, v e w. w v 0 u Definição det A é o volume (com sinal) do paralelepípedo P. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44
11 Matriz Diagonal [ a 0 Considere A =, com a, b > 0. Calcule det A. 0 b Pela definição, det A é a área do retângulo com lados de tamanho a e b. Portanto, det A = ab. Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 44
12 Matriz Diagonal [ a 0 Considere A =, com a, b > 0. Calcule det A. 0 b Pela definição, det A é a área do retângulo com lados de tamanho a e b. Portanto, det A = ab. Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 44
13 Matriz Diagonal [ a 0 Considere A =, com a, b > 0. Calcule det A. 0 b Pela definição, det A é a área do retângulo com lados de tamanho a e b. Portanto, det A = ab. Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 44
14 O que significa det(a) = 0? O que significa det(a) = 0 em R 2? Área do paralelogramo é zero. = O que significa det(a) = 0 em R 3? Volume do paralelepípedo é zero. = Um vetor é múltiplo do outro. Um vetor pertence ao plano gerado pelos outros dois. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 44
15 O que significa det(a) = 0? O que significa det(a) = 0 em R 2? Área do paralelogramo é zero. = O que significa det(a) = 0 em R 3? Volume do paralelepípedo é zero. = Um vetor é múltiplo do outro. Um vetor pertence ao plano gerado pelos outros dois. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 44
16 O que significa det(a) = 0? O que significa det(a) = 0 em R 2? Área do paralelogramo é zero. = O que significa det(a) = 0 em R 3? Volume do paralelepípedo é zero. = Um vetor é múltiplo do outro. Um vetor pertence ao plano gerado pelos outros dois. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 44
17 O que significa det(a) = 0? O que significa det(a) = 0 em R 2? Área do paralelogramo é zero. = O que significa det(a) = 0 em R 3? Volume do paralelepípedo é zero. = Um vetor é múltiplo do outro. Um vetor pertence ao plano gerado pelos outros dois. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 44
18 O que significa det(a) = 0? O que significa det(a) = 0 em R 2? Área do paralelogramo é zero. = O que significa det(a) = 0 em R 3? Volume do paralelepípedo é zero. = Um vetor é múltiplo do outro. Um vetor pertence ao plano gerado pelos outros dois. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 44
19 O que significa det(a) = 0? O que significa det(a) = 0 em R 2? Área do paralelogramo é zero. = O que significa det(a) = 0 em R 3? Volume do paralelepípedo é zero. = Um vetor é múltiplo do outro. Um vetor pertence ao plano gerado pelos outros dois. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 44
20 det(a) = 0 em R 2 : s [ 12 4 det = [ 3 3 det = Por quê? 1 a col = 3 2 a col Por quê? 3 a col = 1 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 44
21 det(a) = 0 em R 2 : s [ 12 4 det = [ 3 3 det = Por quê? 1 a col = 3 2 a col Por quê? 3 a col = 1 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 44
22 det(a) = 0 em R 2 : s [ 12 4 det = [ 3 3 det = Por quê? 1 a col = 3 2 a col Por quê? 3 a col = 1 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 44
23 det(a) = 0 em R 2 : s [ 12 4 det = [ 3 3 det = Por quê? 1 a col = 3 2 a col Por quê? 3 a col = 1 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 44
24 det(a) = 0 em R 3 : s det = det = Por quê? 3 a col = 1 a col Por quê? 3 a col = 1 a col + 2 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 44
25 det(a) = 0 em R 3 : s det = det = Por quê? 3 a col = 1 a col Por quê? 3 a col = 1 a col + 2 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 44
26 det(a) = 0 em R 3 : s det = det = Por quê? 3 a col = 1 a col Por quê? 3 a col = 1 a col + 2 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 44
27 det(a) = 0 em R 3 : s det = det = Por quê? 3 a col = 1 a col Por quê? 3 a col = 1 a col + 2 a col Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 44
28 Sinal do Mantendo fixo u e variando v, como varia o sinal do determinante? vu + v vu + v 0 u determinante positivo vu + v determinante zero 0 u determinante negativo 0 u 0 vu + v u 0 vu + v u 0 u 0 u vu + v 0 u vu + v vu + v Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 44
29 Propriedade (a) (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero: paralelogramo ou paralelepípedo degenerado. [ 2 2 det = det u v u = 0 det u v v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 44
30 Propriedade (a) (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero: paralelogramo ou paralelepípedo degenerado. [ 2 2 det = det u v u = 0 det u v v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 44
31 Propriedade (a) (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero: paralelogramo ou paralelepípedo degenerado. [ 2 2 det = det u v u = 0 det u v v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 44
32 Propriedade (a) (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero: paralelogramo ou paralelepípedo degenerado. [ 2 2 det = det u v u = 0 det u v v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 44
33 Propriedade (a) (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero: paralelogramo ou paralelepípedo degenerado. [ 2 2 det = det u v u = 0 det u v v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 44
34 Propriedade (b 1 ) (b 1 ) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o determinante será multiplicado por k: a altura (ou base) será multiplicada por k. v 3, 5u u 2u 3u 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 44
35 Propriedade (b 1 ) (b 1 ) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o determinante será multiplicado por k: a altura (ou base) será multiplicada por k. v 3, 5u u 2u 3u 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 44
36 Propriedade (b 1 ): [ 5 0 det 0 1 [ 1 0 = 5 det 0 1. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 44
37 Propriedade (b 1 ): [ 5 0 det 0 1 [ 1 0 = 5 det 0 1. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 44
38 Propriedade (b 2 ) (b 2 ) det u + v w = det u u + v w + det v w v u 0 w Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 44
39 Propriedade (b 2 ) (b 2 ) det u + v w = det u u + v w + det v w v u 0 w Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 44
40 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
41 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
42 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
43 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
44 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
45 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
46 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
47 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
48 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
49 Propriedade (b 2 ): [ 2 0 det 8 3 [ 1 0 det 5 3 [ = 6 = det det [ = = = 6 Note ([ que não é verdade [ ) que det(a [ + B) = det(a) + det(b)! det + = det = [ [ det + det = = Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44
50 linearidade Utilize [ a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det. 6 3 [ [ [ [ Como = = +, [ [ det = det = [ [ det + det = = 6. O primeiro determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero pois uma coluna é múltipla da outra. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 44
51 linearidade Utilize [ a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det. 6 3 [ [ [ [ Como = = +, [ [ det = det = [ [ det + det = = 6. O primeiro determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero pois uma coluna é múltipla da outra. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 44
52 linearidade Utilize [ a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det. 6 3 [ [ [ [ Como = = +, [ [ det = det = [ [ det + det = = 6. O primeiro determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero pois uma coluna é múltipla da outra. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 44
53 linearidade Utilize [ a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det. 6 3 [ [ [ [ Como = = +, [ [ det = det = [ [ det + det = = 6. O primeiro determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero pois uma coluna é múltipla da outra. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 44
54 linearidade Utilize [ a linearidade na primeira coluna para calcular 2 0 det. 6 3 [ [ [ [ Como = = +, [ [ det = det = [ [ det + det = = 6. O primeiro determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero pois uma coluna é múltipla da outra. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 44
55 Propriedade (c) (c) o determinante da matriz identidade é 1: área de um quadrado de lado 1 = volume de um cubo de lado 1 = 1. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 44
56 Propriedade (c) (c) o determinante da matriz identidade é 1: área de um quadrado de lado 1 = volume de um cubo de lado 1 = 1. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 44
57 em R n Um fato surpreendente é: Teorema Considere o conjunto M n n, o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma única função det : M n n R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas são iguais o valor é zero; (b) é linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor é 1. Definição O determinante é a função dada pelo teorema acima. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 44
58 em R n Um fato surpreendente é: Teorema Considere o conjunto M n n, o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma única função det : M n n R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas são iguais o valor é zero; (b) é linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor é 1. Definição O determinante é a função dada pelo teorema acima. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 44
59 em R n Um fato surpreendente é: Teorema Considere o conjunto M n n, o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma única função det : M n n R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas são iguais o valor é zero; (b) é linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor é 1. Definição O determinante é a função dada pelo teorema acima. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 44
60 em R n Um fato surpreendente é: Teorema Considere o conjunto M n n, o conjunto das matrizes quadradas n n. Existe uma única função det : M n n R com as seguintes propriedades: (a) se duas colunas são iguais o valor é zero; (b) é linear em cada coluna; (c) na matriz identidade o valor é 1. Definição O determinante é a função dada pelo teorema acima. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 44
61 Comentários Embora completa, a definição acima não apresenta uma fórmula para calcular o determinante. Segundo Klaus Jänich: Se você ainda acha que a informação mais importante acerca de um objeto matemático é uma fórmula para calcular o seu valor, certamente você compartilha o pensamento da maioria das pessoas medianamente educadas, mas com conhecimentos apenas superficiais de matemática. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 44
62 Comentários Embora completa, a definição acima não apresenta uma fórmula para calcular o determinante. Segundo Klaus Jänich: Se você ainda acha que a informação mais importante acerca de um objeto matemático é uma fórmula para calcular o seu valor, certamente você compartilha o pensamento da maioria das pessoas medianamente educadas, mas com conhecimentos apenas superficiais de matemática. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 44
63 Propriedade Equivalente Lema As propriedades abaixo são equivalentes: (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero. (a ) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 44
64 Propriedade Equivalente Lema As propriedades abaixo são equivalentes: (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero. (a ) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 44
65 Propriedade Equivalente Lema As propriedades abaixo são equivalentes: (a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero. (a ) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 44
66 Prova do Lema Prova Vamos provar para matriz 2x2. Suponha (a). Então det u + v (colunas iguais) u + v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 44
67 Prova do Lema Prova Vamos provar para matriz 2x2. Suponha (a). Então det u + v (colunas iguais) u + v = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 44
68 Prova do Lema (continuação) Prova Por (b) (linearidade) 0 = det det det det u u v u + v u + det v + det u v v u + v u + v + det u + v = v u = + Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 44
69 Prova do Lema (continuação) Prova Por (a) novamente det Logo 0 = det det u v u v u u + det = det v u = det v. u v v = 0. Suponha (a ). Tomando u = v, det(u u) = det(u u). Portanto 2 det(u u) = 0. Logo det(u u) = 0. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44
70 Prova do Lema (continuação) Prova Por (a) novamente det Logo 0 = det det u v u v u u + det = det v u = det v. u v v = 0. Suponha (a ). Tomando u = v, det(u u) = det(u u). Portanto 2 det(u u) = 0. Logo det(u u) = 0. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44
71 Prova do Lema (continuação) Prova Por (a) novamente det Logo 0 = det det u v u v u u + det = det v u = det v. u v v = 0. Suponha (a ). Tomando u = v, det(u u) = det(u u). Portanto 2 det(u u) = 0. Logo det(u u) = 0. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44
72 Prova do Lema (continuação) Prova Por (a) novamente det Logo 0 = det det u v u v u u + det = det v u = det v. u v v = 0. Suponha (a ). Tomando u = v, det(u u) = det(u u). Portanto 2 det(u u) = 0. Logo det(u u) = 0. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44
73 do Das três propriedades básicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades: 1 trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de outra, a j a j + αa k, k j, o determinante não se altera; 2 determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal; 3 determinante de matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal; 4 determinante é zero se uma coluna é combinação linear das outras. (De fato, se e somente se.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 44
74 do Das três propriedades básicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades: 1 trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de outra, a j a j + αa k, k j, o determinante não se altera; 2 determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal; 3 determinante de matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal; 4 determinante é zero se uma coluna é combinação linear das outras. (De fato, se e somente se.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 44
75 do Das três propriedades básicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades: 1 trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de outra, a j a j + αa k, k j, o determinante não se altera; 2 determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal; 3 determinante de matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal; 4 determinante é zero se uma coluna é combinação linear das outras. (De fato, se e somente se.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 44
76 do Das três propriedades básicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades: 1 trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de outra, a j a j + αa k, k j, o determinante não se altera; 2 determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal; 3 determinante de matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal; 4 determinante é zero se uma coluna é combinação linear das outras. (De fato, se e somente se.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 44
77 do Das três propriedades básicas do determinante podemos deduzir de forma direta as seguintes propriedades: 1 trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de outra, a j a j + αa k, k j, o determinante não se altera; 2 determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal; 3 determinante de matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal; 4 determinante é zero se uma coluna é combinação linear das outras. (De fato, se e somente se.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 44
78 Produto de Matrizes Lema det(ab) = det(a) det(b) Prova Se det(a) 0, defina f A (B) = det(ab)/ det(a). É fácil ver que possui as propriedades da definição (f A (I) = 1, linear nas colunas, zero se colunas são iguais). Logo f A (B) = det(b). Corolário det(a) 0 se, e somente se, A possui inversa. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 44
79 Produto de Matrizes Lema det(ab) = det(a) det(b) Prova Se det(a) 0, defina f A (B) = det(ab)/ det(a). É fácil ver que possui as propriedades da definição (f A (I) = 1, linear nas colunas, zero se colunas são iguais). Logo f A (B) = det(b). Corolário det(a) 0 se, e somente se, A possui inversa. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 44
80 Produto de Matrizes Lema det(ab) = det(a) det(b) Prova Se det(a) 0, defina f A (B) = det(ab)/ det(a). É fácil ver que possui as propriedades da definição (f A (I) = 1, linear nas colunas, zero se colunas são iguais). Logo f A (B) = det(b). Corolário det(a) 0 se, e somente se, A possui inversa. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 44
81 Transposta de Matrizes Lema det(a t ) = det(a). Corolário Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: é linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 44
82 Transposta de Matrizes Lema det(a t ) = det(a). Corolário Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: é linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 44
83 Transposta de Matrizes Lema det(a t ) = det(a). Corolário Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: é linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 44
84 Transposta de Matrizes Lema det(a t ) = det(a). Corolário Todas as propriedades do determinante para colunas podem ser enunciadas como propriedades das linhas. Portanto, o determinante: é linear por linhas; troca de sinal quando se trocam as linhas. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 44
85 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
86 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
87 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
88 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
89 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
90 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
91 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
92 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
93 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
94 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
95 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
96 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
97 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
98 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
99 s Considere A = [u v w z 4 4. det(3a) = det[3u 3v 3w 3z = 3 det[u 3v 3w 3z = 3 2 det[u v 3w 3z = 3 3 det[u v w 3z = 3 4 det[u v w z = 3 4 det(a) 3 det(a)! Considere A = [u v w 3 3. det[v 3u + 2v w = 3 det[v u w + 2 det[v v w = 3 det[u v w = 3 det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44
100 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
101 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
102 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
103 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
104 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
105 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
106 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
107 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
108 s det(p 1 ) =? det(i) = 1 = det(pp 1 ) = det(p) det(p 1 ). Conclusão: det(p 1 ) = 1/ det(p). det(pap 1 ) = det(p) det(a) det(p 1 ) = det(p) det(p 1 ) det(a) = 1 det(a) = det(a). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44
109 Fórmula para : parte 1 [ a c Vamos deduzir fórmula do determinante de b d utilizando somente propriedades básicas. [ [ [ a a 0 Como = +, linearidade na primeira b 0 b coluna implica: [ [ [ a c a c 0 c det = det + det. b d 0 d b d Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 44
110 Fórmula para : parte 1 [ a c Vamos deduzir fórmula do determinante de b d utilizando somente propriedades básicas. [ [ [ a a 0 Como = +, linearidade na primeira b 0 b coluna implica: [ [ [ a c a c 0 c det = det + det. b d 0 d b d Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 44
111 Fórmula para : parte 1 [ a c Vamos deduzir fórmula do determinante de b d utilizando somente propriedades básicas. [ [ [ a a 0 Como = +, linearidade na primeira b 0 b coluna implica: [ [ [ a c a c 0 c det = det + det. b d 0 d b d Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 44
112 Fórmula para : parte 2 [ a c det b d [ c Como d [ a c = det 0 d = [ c 0 + [ 0 d coluna implica: [ [ a c a c det = det 0 d 0 0 [ [ 0 c 0 c det = det b d b 0 [ 0 c + det b d., linearidade na segunda [ a 0 + det 0 d + det [ 0 0 b d. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 44
113 Fórmula para : parte 2 [ a c det b d [ c Como d [ a c = det 0 d = [ c 0 + [ 0 d coluna implica: [ [ a c a c det = det 0 d 0 0 [ [ 0 c 0 c det = det b d b 0 [ 0 c + det b d., linearidade na segunda [ a 0 + det 0 d + det [ 0 0 b d. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 44
114 Fórmula para : parte 2 [ a c det b d [ c Como d [ a c = det 0 d = [ c 0 + [ 0 d coluna implica: [ [ a c a c det = det 0 d 0 0 [ [ 0 c 0 c det = det b d b 0 [ 0 c + det b d., linearidade na segunda [ a 0 + det 0 d + det [ 0 0 b d. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 44
115 Fórmula para : parte 2 [ a c det b d [ c Como d [ a c = det 0 d = [ c 0 + [ 0 d coluna implica: [ [ a c a c det = det 0 d 0 0 [ [ 0 c 0 c det = det b d b 0 [ 0 c + det b d., linearidade na segunda [ a 0 + det 0 d + det [ 0 0 b d. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 44
116 Fórmula para : parte 3 Portanto, obtemos: colocando [ constantes em evidência: a c det = [ b d [ [ a c 1 c 1 1 det + a det + ac det + [ [ 0 0 a det + ad det + [ 0 d [ c 0 1 det + bc det + [ b 0 [ det bd det b d 1 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44
117 Fórmula para : parte 3 Portanto, obtemos: colocando [ constantes em evidência: a c det = [ b d [ [ a c 1 c 1 1 det + a det + ac det + [ [ 0 0 a det + ad det + [ 0 d [ c 0 1 det + bc det + [ b 0 [ det bd det b d 1 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44
118 Fórmula para : parte 3 Portanto, obtemos: colocando [ constantes em evidência: a c det = [ b d [ [ a c 1 c 1 1 det + a det + ac det + [ [ 0 0 a det + ad det + [ 0 d [ c 0 1 det + bc det + [ b 0 [ det bd det b d 1 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44
119 Fórmula para : parte 3 Portanto, obtemos: colocando [ constantes em evidência: a c det = [ b d [ [ a c 1 c 1 1 det + a det + ac det + [ [ 0 0 a det + ad det + [ 0 d [ c 0 1 det + bc det + [ b 0 [ det bd det b d 1 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44
120 Fórmula para : parte 3 Portanto, obtemos: colocando [ constantes em evidência: a c det = [ b d [ [ a c 1 c 1 1 det + a det + ac det + [ [ 0 0 a det + ad det + [ 0 d [ c 0 1 det + bc det + [ b 0 [ det bd det b d 1 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44
121 Fórmula para : parte 3 Portanto, obtemos: colocando [ constantes em evidência: a c det = [ b d [ [ a c 1 c 1 1 det + a det + ac det + [ [ 0 0 a det + ad det + [ 0 d [ c 0 1 det + bc det + [ b 0 [ det bd det b d 1 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44
122 Fórmula para : parte 3 Portanto, obtemos: colocando [ constantes em evidência: a c det = [ b d [ [ a c 1 c 1 1 det + a det + ac det + [ [ 0 0 a det + ad det + [ 0 d [ c 0 1 det + bc det + [ b 0 [ det bd det b d 1 1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44
123 Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ ad det +ad 1 [ bc det bc det [ bd det +bd [ bc 1 (colunas iguais) (identidade) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44
124 Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ ad det +ad 1 [ bc det bc det [ bd det +bd [ bc 1 (colunas iguais) (identidade) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44
125 Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ ad det +ad 1 [ bc det bc det [ bd det +bd [ bc 1 (colunas iguais) (identidade) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44
126 Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ ad det +ad 1 [ bc det bc 1 [ bd det +bd (colunas iguais) (identidade) (troca colunas) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44
127 Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ ad det +ad 1 [ bc det bc 1 [ bd det +bd (colunas iguais) (identidade) (identidade) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44
128 Fórmula para : parte 4 Portanto, [ obtemos: a c det = b [ d 1 1 ac det ac 0 [ ad det +ad 1 [ bc det bc 1 [ bd det +bd (colunas iguais) (identidade) (identidade) (colunas iguais) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 44
129 Fórmula para : Fim! Finalmente, [ a c det = ac 0 + ad 1 bc 1 + bd 0 = ad bc b d Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 44
130 Regra de Sarrus Podemos repetir o que foi feito para matriz para matriz 3 3. Obtemos a fórmula conhecida, que pode ser recordada através da Regra de Sarrus: [ a11 a 12 a 21 a 22 + Observação (regra se Sarrus) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a A regra de Sarrus NÃO generaliza para dimensão maior que 3: Não existe procedimento semelhante a este para matrizes 4 4. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 44
131 Regra de Sarrus Podemos repetir o que foi feito para matriz para matriz 3 3. Obtemos a fórmula conhecida, que pode ser recordada através da Regra de Sarrus: [ a11 a 12 a 21 a 22 + Observação (regra se Sarrus) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a A regra de Sarrus NÃO generaliza para dimensão maior que 3: Não existe procedimento semelhante a este para matrizes 4 4. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 44
132 Regra de Sarrus Podemos repetir o que foi feito para matriz para matriz 3 3. Obtemos a fórmula conhecida, que pode ser recordada através da Regra de Sarrus: [ a11 a 12 a 21 a 22 + Observação (regra se Sarrus) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a A regra de Sarrus NÃO generaliza para dimensão maior que 3: Não existe procedimento semelhante a este para matrizes 4 4. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 44
133 Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
134 Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
135 Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
136 Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
137 Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
138 Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
139 Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
140 Como calcular de forma eficiente? Existem diversas formas de cálculo do determinante. A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos numéricos, é: Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma diagonal superior (ou inferior); Levar em conta a cada operação elementar o efeito sobre o determinante: troca de linhas = determinante troca de sinal; multiplicar linha por constante = determinante é multiplicado pela constante; substituir linha por combinação linear dela com outra linha = determinante não se altera. Calcular determinante da matriz resultante pelo produto dos elementos da diagonal; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44
141 de cálculo de modo eficiente Considere a matriz A = Troque l 1 com l 3 : det A = det Coloque 3 em evidência em l 1 : det A = 3 det Faça l 2 l 2 2l 1 : det A = 3 det Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
142 de cálculo de modo eficiente Considere a matriz A = Troque l 1 com l 3 : det A = det Coloque 3 em evidência em l 1 : det A = 3 det Faça l 2 l 2 2l 1 : det A = 3 det Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
143 de cálculo de modo eficiente Considere a matriz A = Troque l 1 com l 3 : det A = det Coloque 3 em evidência em l 1 : det A = 3 det Faça l 2 l 2 2l 1 : det A = 3 det Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
144 de cálculo de modo eficiente Considere a matriz A = Troque l 1 com l 3 : det A = det Coloque 3 em evidência em l 1 : det A = 3 det Faça l 2 l 2 2l 1 : det A = 3 det Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
145 de cálculo de modo eficiente Considere a matriz A = Troque l 1 com l 3 : det A = det Coloque 3 em evidência em l 1 : det A = 3 det Faça l 2 l 2 2l 1 : det A = 3 det Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
146 de cálculo de modo eficiente Considere a matriz A = Troque l 1 com l 3 : det A = det Coloque 3 em evidência em l 1 : det A = 3 det Faça l 2 l 2 2l 1 : det A = 3 det Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
147 de cálculo de modo eficiente Considere a matriz A = Troque l 1 com l 3 : det A = det Coloque 3 em evidência em l 1 : det A = 3 det Faça l 2 l 2 2l 1 : det A = 3 det Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44
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