Fração, Potenciação, Radiciação, Matrizes e Sistemas Lineares - Ozias Jr.

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1 Conjuntos Números naturais, N: {0,1,2,3,..} Números inteiros, Z: {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Números racionais, Q: {..., -3, , -2, 0, 1,888..., 3,...} Números irracionais: I: {, 3, 5, π, e 1, } Números complexos, C: {..., 9, 4, i 2,...} A, b, c e d R Frações Soma de Frações (Na soma de frações tira-se o MMC, divide-se o número encontrado pelo denominador a + b = ad+bd b d bd a b = ad bd b d bd e multiplica-se pelo numerador). Multiplicação de Frações (Na multiplicação de frações, multiplica-se o de cima (numerador) com o de cima (numerador) e o de baixo (denominador) com de baixo (denominador)). ( a b ) (b d ) = ab bd

2 a b c d Ou Divisão de Frações (Na divisão de frações, conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda. Também pode-se multiplicar cruzado, ou multiplica-se os números de fora (Numerador) (Denominador) e depois os números de dentro = ( a b ) (d c ) = ad bc (Denominador)(Numerador). a b c d = ad bc Ou a b c d = ad bc Potenciação a m a n = a m+n = = 2 5 a m = am n an = 24 2 = 2 2 (a m ) n = a m n (2 2 ) 2 = = 2 4 m a n = a n 3 m 2 = 2 1 3

3 a n = 1 a n 2 1 = 1 2 ( a b ) n = ( b a ) n ( 2 3 ) 1 = ( 3 2 ) (a b) n = a n b n (2 3) 2 = = 4 9 = 36 ( a b )n = an b n ; com b 0 ( 2 3 ) 2 = = 4 9 Exemplos 2 0 = 1 (Todo número elevado a zero é igual a um, menos o zero) ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8 (O sinal de negativo está incluso na multiplicação) 2 2 = (2 2) = 4 (O sinal de negativo não está incluso na multiplicação) 2 3 = (2 2 2) = 8 (O sinal de negativo não está incluso na multiplicação) 2 1 = 2 (Todo número elevado a um é igual a ele mesmo) ( 2) 2 = ( 2) ( 2) = 4 (O sinal de negativo está incluso na multiplicação) (2) 2 = ((2) (2)) = 4 (O sinal de negativo não está incluso na multiplicação) (2) 3 = ((2) (2) (2)) = 8 (O sinal de negativo não está incluso na multiplicação)

4 Radiciação n a p = a p 3 n 2 2 = n a b n = a n b 2 3 = 2 3 = 6 n a b n = a n b 2 3 = 2 3 n ( b) m = (bn) 1 m = b 1 n m = b m n ( 5) 2 = ( ) = = = 5 n m b m n = b = 2 6 = 2 Soma de Raízes 1º = ( ) 3 = 3 3 2º = (4 2) 2 + (3 6) 5 = = = 2 9 Divisão de Raízes 4 3 = = = = x 4 = x x 3 4 x x 3 x = x x 4 = x x x 3 4 = x x x x 4 x = x x x = x x x x = x x x x = x x x = x x 2 x = x

5 Matrizes a b c [ d e f ] ; é uma matriz 3x3, ou seja, com três linhas g h i (representada pelo indice i ou m ) e três colunas (representada pelo indice j ou n). É chamada de matriz quadrada. a [ c e b d]; é uma matriz 3x2, ou seja, com três linhas f (representada pelo indice i ou m) e duas colunas (representada pelo indice j ou n). a b c d [ ]; é uma matriz 2x4, ou seja, com duas linhas e f g h (representada pelo indice i ou m) e quatro colunas (representada pelo indice j ou n). Soma de Matrizes [ ] + [ ] = [ ] = [ ] ( 3) 2 4 [ ] [ ] = [ 0 ( 1) ] ( 7) = [ ] Obs: Só é possível a soma de matrizes quando as mesmas são iguais, por exemplo, uma matriz 2x2 soma-se somente com outra matriz 2x2, uma matriz 3x1 soma-se somente com outra matriz 3x1, e etc.

6 Multiplicação de Matrizes Teorema de Laplace [ ] [ ] = [ ] = [ ] 1 1 [ 2 2 ] [ ] = ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) 1 = [ ( 5) ] ( 5) = [ ] Obs: Para saber qual vai ser a quantidade de linhas e colunas que resultara na multiplicação de duas matrizes, por exemplo, na multiplicação de uma matriz 3x2 por uma matriz 2x3, pega-se o primeiro número (que representa a quantidade de linhas) da primeira matriz (3) e pega-se o segundo número (que representa a quantidade de colunas) da segunda matriz (3). Logo, resultará em uma matriz 3x3. Matriz Transposta A = [ a b c d ] ; a c At = [ b d ] a a b c B = [ d e f ]; Bt = [ b c d e] f 1 C = [ ]; C t 3 = [ ] D = [ 4 5 6]; D t = [ 2 5 8]

7 Obs: Para transformar uma matriz qualquer em uma matriz transposta, trocase as linhas por colunas e vice-versa. Determinante de uma Matriz (Só é possível encontrar o determinante de matrizes quadradas, por exemplo uma matriz a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 A = [ ] a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 2x2, 3x3, 4x4 e assim por diante). (Uma matriz também pode ser representada com as letras a e seguidas por dois números, o primeiro número representa a linha (i) e o segundo representa a coluna (j). Por exemplo, a11 quer dizer, 1ª linha e 1ª coluna, já o a21 quer dizer 2ª linha e 1ª coluna. É de extrema importância saber disso, pois será necessário esse entendimento para compreender como funciona o teorema de Laplace). Encontrando o determinante de uma matriz 2x2: A = [ ] DetA = 1 2 = (1)(4) ((2)(3)) = 4 6 = B = [ ] DetB = 5 6 = (5)( 2) ((6)( 7)) = 10 ( 42) = = 32 (Multiplica-se os números da diagonal principal e subtrai-se com a multiplicação dos números da diagonal secundaria ).

8 Encontrando o determinante de uma matriz 3x3: A = [ 1 2 9] DetA = = ((1)(2)(5)) + (( 2)( 9)(0)) ((3)( 1)(8)) (( 2)( 1)(5)) ((1)( 9)(8)) ((3)(2)(0)) = (10) ( 72) (0) = = B = [ 1 0 1] DetB = = ((1)(0)(0)) + ((2)(1)(0)) + ((3)(1)(1)) ((2)(1)(0)) ((1)(1)(1)) ((3)(0)(0)) = = 2 (Copia-se as duas primeiras colunas e depois multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se com a multiplicação da diagonal secundaria). Encontrando o determinante de uma matriz 4x4: (Para encontrar o determinante de uma matriz 4x4 ou superior a isso, usamos o Teorema de Laplace ou a Regra de Chió). Teorema de Laplace (No teorema de Laplace, escolhe-se a coluna ou linha com mais zeros ou uns possíveis e acha-se o determinante das matrizes 3x3. No final substitui-se os valores de cada determinante na formula (I), onde os mesmos serão multiplicados por cada número da linha ou coluna escolhida) a11 a12 a13 a a21 a22 a23 a24 A =[ ]; A = [ ] a31 a32 a33 a a41 a42 a43 a44

9 Usaremos essa formula (I): DetC = (0)*A21 + (1)*A22 + (1)*A23 + (0)*A D 22 =[ ] A 22 = ( 1) 2+2 *D = ( 1) = (( 1)( 1)( 1)( 1)) (((1)(1)(1)) ((3)(1)(2)) + ((2)(1)(1)) ((3)(1)(1)) ((1)(1)(1)) ((2)(1)(2))) = (1) ( ) = 9 8 = D 23 =[ ] A 23 = ( 1) 2+3 *D = ( 1) = (( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)) (((1)(0)(1)) + ((2)(1)(2)) + ((2)(1)(1)) ((2)(1)(1)) ((1)(1)(1)) ((2)(0)(2))) = ( 1) ( ) = ( 1) (6 3) = ( 1) (3) = 3 Substituindo esses dois valores na formula (I), temos; DetC = (0)*A 21 + (1)*(1) + (1)*(-3) + (0)*A 24 DetC = DetC = -2

10 Regra de Chió (Na regra de Chió escolhe-se uma linha e uma coluna. Entretanto, o primeiro elemento/número ou pivô, tem que ser igual a um (1). Caso o primeiro elemento não seja igual a um (1), pode-se escalonar a matriz, para A =[ ]; se obter o número um na primeira posição) (2)(0) 1 (3)(0) 0 (2)(0) DetA = = 0 (2)(1) 1 (3)(1) 1 (2)(1) = (2)(2) 1 (3)(2) 1 (2)(2) = ((1)( 2)( 3)) + ((1)( 1)( 3)) ((0)( 2)( 5)) ((1)( 2)( 3)) ((1)( 1)( 5)) ((0)( 2)( 3)) = (6) (5) 0 = 9 11 = 2 Matriz Inversa (Antes de encontrar a matriz inversa de uma matriz qualquer, você deve primeiro encontrar o determinante da mesma. Se o determinante for igual a A = [ ] zero, a matriz não é invertível, ou seja, não tem inversa). Inversa de uma Matriz 2x2 DetA = 1 2 = (1) (8) (2) (4) = 8 8 = 0, logo não é invertível. 4 8

11 B = [ ] DetB = 7 2 = (7) ( 5) (2) (3) = 35 6 = 41 é diferente 3 5 de zero, logo a matriz B é invertível. Para encontrar a matriz inversa (B -1 ) de B, basta trocar a posição dos números da diagonal principal, trocar os sinais dos números da diagonal secundaria e dividir tudo pelo determinante. Isso só funciona com matrizes 2x2. B -1 = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] Inversa de uma Matriz 3x C = [ 2 3 1] DetC = = ((1)(3)(1)) + ((1)(1)(4)) + ((1)(2)(9)) ((1)(2)(1)) ((1)(1)(9)) ((1)(3)(4)) = = = 2 é diferente de zero, logo a matriz é invertível. Para encontrar a matriz inversa (C -1 ) de C, será usada essa formula: A*A -1 = I, essa formula quer dizer que se multiplicarmos uma matriz qualquer por sua inversa, obteremos a matriz identidade.

12 C*C -1 = I a b c [ 2 3 1] [ d e f] = [ 0 1 0] g h i Fazendo a multiplicação das matrizes, vamos obter o seguinte sistema: a + d + g b + e + h c + f + i [ 2a + 3d + g 2b + 3e + h 2c + 3f + i] = [ 0 1 0] 4a + 9d + g 4b + 9e + h 4c + 9f + i Sistema (1); a + d + g = 1 2a + 3d + g = 0 4a + 9d + g = 0 Sistema (2); b + e + h = 0 2b + 3e + h = 1 4b + 9e + h = 0 Sistema (3); c + f + i = 0 2c + 3f + i = 0 4c + 9f + i = 1 Para encontramos os valores de a, b, c, d, e, f, g, h e i, vamos precisar escalonar os sistemas, de modo que a última linha sobre somente uma variável. E a equação se tornará triangular superior.

13 Começando pelo 1º Sistema, temos; L = (linha). a + d + g = 1 2a + 3d + g = 0 4a + 9d + g = 0 Temos que zerar o 2a, logo L2 = 2(L1) L2. 2a + 2d + 2g = 2 2a 3d g = 0 0 d + g = 2 a + d + g = 1 0 d + g = 2 4a + 9d + g = 0 Temos que zerar o 4a, logo L3 = 4(L1) L3. 4a + 4d + 4g = 4 4a 9d g = 0 0 5d + 3g = 4 a + d + g = 1 0 d + g = 2 0 5d + 3g = 4 Temos que zerar o 5d, logo L3 = 5(L2) + L3. 5d 5g = 10 5d + 3g = g = 6 O sistema ficou assim, depois de escalonado; a + d + g = 1 (I) 0 d + g = 2 (II) g = 6 (III) Como ficou apenas uma variável na última linha (L3), podemos resolver mais facilmente o sistema.

14 (III) 2g = 6 (II) d + g = 2 g = 6 2 ( 1) d + 3 = 2 d = 2 3 g = 3 d = 1 ( 1) d = 1 Logo g = 3, d = 1 e a = 3 (I) a + d + g = 1 a = 1 a = 1 4 a = 3 Resolvendo o 2º Sistema, temos; b + e + h = 0 2b + 3e + h = 1 4b + 9e + h = 0 Temos que zerar o 2b, logo L2 = 2(L1) L2. 2b + 2e + 2h = 0 2b 3e h = 1 0 e + h = 1 b + e + h = 0 0 e + h = 1 4b + 9e + h = 0 Temos que zerar o 4b, logo L3 = 4(L1) L3. 4b + 4e + 4h = 0 4b 9e h = 0 0 5e + 3h = 0 b + e + h = 0 0 e + h = 1 0 5e + 3h = 0 Temos que zerar o 5e, logo L3 = 5(L2) + L3. 5e 5h = 5 5e + 3h = 0 0 2h = 5

15 O sistema ficou assim, depois de escalonado; b + e + h = 0 (I) 0 e + h = 1 (II) h = 5 (III) (III) 2h = 5 (II) e + h = 1 (I) b + c + h = 0 h = 5 2 ( 1) e 5 2 = 1 b = 0 h = 5 2 e = b = e = 3 2 b = 8 2 e = 3 2 b = 4 Logo h = 5 2, e = 3 2 e b = 4 Resolvendo o 2º Sistema, temos; c + f + i = 0 2c + 3f + i = 0 4c + 9f + i = 1 Temos que zerar 2c, logo L2 = 2(L1) L2. 2c + 2f + 2i = 0 2c 3f i = 0 0 f + i = 0 c + f + i = 0 0 f + i = 0 4c + 9f + i = 1 Temos que zerar 4c, logo L3 = 4(L2) L3. 4c + 4f + 4i = 0 4c 9f i = 1 0 5f + 3i = 1

16 c + f + i = 0 0 f + i = 0 0 5f + 3i = 1 Temos que zerar 5f, logo L3 = 5(L2) + L3. 5f 5i = 0 5f + 3i = 1 0 2i = 1 O sistema ficou assim, depois do escalonamento; c + f + i = 0 (I) 0 f + i = 0 (II) i = 1 (III) (III) 2i = 1 (II) f + i = 0 (I) c + f + i = 0 i = 1 2 ( 1) f = 0 c = 0 i = 1 2 f = 1 2 ( 1) c = f = 1 2 c = 2 2 c = 1 Logo i = 1, f = 1 e c = Portanto a matriz inversa (C -1 ) de C é; C -1 = [ ]

17 Sistema Linear (Um sistema linear pode ser resolvido isolando uma das variáveis e substituindo-a nas outras equações, ou pode também ser resolvido usandose escalonamento). A) x 4y = 0 (I) 3x + 2y = 5 (II) Isola-se a primeira a variável x da equação (I). (I) x 4y = 0 x = 4y ( 1) x = 4y (III) Após isolar o x, substitua-o na e equação (II). (II) 3x + 2y = 5 3( 4y) + 2y = 5 12y + 2y = 5 10y = 5 Em seguida substitua o valor de y na equação (III). y = 5 10 ( 1) y = 1 2 (III) x = 4y x = 4 ( 1 2 ) Portanto x = 2 e y = 1 2. Para saber se os valore estão corretos, substitua-os na equação (I) e (II). x = 4 2 x = 2

18 (I) x 4y = ( 1 2 ) = = = 0 0 = 0 é verdadeiro (II) 3x + 2y = 5 3(2) + 2 ( 1 2 ) = = = 5 5 = 5 é verdadeiro B) x + y z = 0 (I) x y 2z = 1 (II) x + 2y + z = 4 (III) Usaremos o método de escalonamento para resolver esse sistema. Temos que zerar o x da equação (II), logo L2 = L1 L2. x + y z = y + z = 1 x + 2y + z = 4 Agora temos que zerar o x da equação (III), logo L3 = L1 L3. x + y z = y + z = 1 0 y 2z = 4 Vamos zerar o y da equação (III), logo L3 = 2(L3) L2. x + y z = 0 (I) 0 + 2y + z = 1 (II) z = 9 (III) Obtemos um sistema triangular superior, onde a última variável (z) está isolada.

19 (III) 3z = 9 z = 9 3 ( 1) z = 3 (II) 2y + z = 1 2y + 3 = 1 2y = 1 3 2y = 4 (I) x + y z = 0 x 2 (3) = 0 x 5 = 0 x = 5 y = 4 2 y = 2 Portanto x = 5, y = 2 e z = 3 Para saber se os valores estão corretos, substitua-os nas equações originais (I), (II) e (III). (I) x + y z = (3) = = 0 0 = 0 é verdadeiro (II) x y 2y = 1 5 ( 2) 2(3) = = = 1 1 = 1 é verdadeiro (III) x + 2y + z = ( 2) + 3 = = 4 4 = 4 é verdadeiro 1 1 Esse documento foi feito para ajudar ou tirar dúvidas sobre os respectivos assuntos abordados, fique a critério do leitor/estudante corrigir erros ou acrescentar mais exemplos ou assuntos. Feito por Ozias Jr.