Determinantes. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica Determinantes 1 / 17

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1 Capítulo 2 Determinantes ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 1 / 17

2 Definições ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17

3 Definições Seja A = [a kl ] uma matriz quadrada de ordem n Por A kl designamos a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A por supressão da linha k e da coluna l ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17

4 Definições Seja A = [a kl ] uma matriz quadrada de ordem n Por A kl designamos a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A por supressão da linha k e da coluna l Dado k {1,,n}, o determinante de A é o escalar (1) det(a) = n ( 1) k+l a kl det(a kl ), l=1 com det[a] = a ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17

5 Definições Seja A = [a kl ] uma matriz quadrada de ordem n Por A kl designamos a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A por supressão da linha k e da coluna l Dado k {1,,n}, o determinante de A é o escalar (1) det(a) = n ( 1) k+l a kl det(a kl ), l=1 com det[a] = a det(a kl ) diz-se o menor de a kl ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17

6 Definições Seja A = [a kl ] uma matriz quadrada de ordem n Por A kl designamos a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A por supressão da linha k e da coluna l Dado k {1,,n}, o determinante de A é o escalar (1) det(a) = n ( 1) k+l a kl det(a kl ), l=1 com det[a] = a det(a kl ) diz-se o menor de a kl ( 1) k+l det(a kl ) diz-se o complemento algébrico de a kl ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17

7 Exemplos n = 2 [ a11 a det 12 a 21 a 22 ] = ( 1) 1+1 a 11 a 22 + ( 1) 1+2 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21, (k = 1) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 3 / 17

8 Exemplos n = 2 [ a11 a det 12 a 21 a 22 ] = ( 1) 1+1 a 11 a 22 + ( 1) 1+2 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21, (k = 1) det [ ] = 2 1 ( 1) 3 = 5 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 3 / 17

9 n = 3 det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 k = 2 = ( 1) 2+1 a 21 det [ a12 a 13 a 32 a 33 [ + ( 1) 2+2 a11 a a 22 det 13 a 31 a 33 [ + ( 1) 2+3 a11 a a 23 det 12 a 31 a 32 = ] ] ] + + ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 4 / 17

10 Observações ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 5 / 17

11 Observações 1) Também escrevemos A para determinante de A ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 5 / 17

12 Observações 1) Também escrevemos A para determinante de A 2) A expressão (1) é conhecida como expansão de Laplace segundo a linha k, podendo ser igualmente feita segundo uma coluna qualquer ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 5 / 17

13 Observações 1) Também escrevemos A para determinante de A 2) A expressão (1) é conhecida como expansão de Laplace segundo a linha k, podendo ser igualmente feita segundo uma coluna qualquer 3) O determinante não depende da linha (ou da coluna) previamente fixada ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 5 / 17

14 Propriedades do determinante Sejam A = [a kl ] uma matriz real (ou complexa) de ordem n e α,b 1,,b n R (ou C) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 6 / 17

15 Propriedades do determinante ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 6 / 17 Sejam A = [a kl ] uma matriz real (ou complexa) de ordem n e α,b 1,,b n R (ou C) 1) a 11 a 12 a 1n αa k1 αa k2 αa kn a n1 a n2 a nn = α a 11 a 12 a 1n a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn

16 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 7 / 17 2) a 11 a 12 a 1n a k1 + b 1 a k2 + b 2 a kn + b n a n1 a n2 a nn = a 11 a 12 a 1n a k1 a k2 a kn a n1 a n2 a nn + + a 11 a 12 a 1n b 1 b 2 b n a n1 a n2 a nn

17 3) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 8 / 17

18 3) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha 4) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 8 / 17

19 3) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha 4) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) 5) Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 8 / 17

20 3) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha 4) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) 5) Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0 Os resultados anteriores são válidos para colunas ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 8 / 17

21 3) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha 4) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) 5) Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0 Os resultados anteriores são válidos para colunas 6) O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é igual ao produto das entradas da diagonal principal ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 8 / 17

22 3) O determinante de A não se altera quando adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha 4) Se B é uma matriz que se obtém de A por troca de duas linhas, então det(b) = det(a) 5) Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0 Os resultados anteriores são válidos para colunas 6) O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é igual ao produto das entradas da diagonal principal 7) det(i n ) = 1 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 8 / 17

23 Teorema Sejam A, B matrizes de ordem n Então: 1 det(ab) = det(a) det(b) 2 det(a T ) = det(a) 3 Se A é invertível, então det(a 1 ) = 1 det(a) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 9 / 17

24 Teorema Sejam A, B matrizes de ordem n Então: 1 det(ab) = det(a) det(b) 2 det(a T ) = det(a) 3 Se A é invertível, então det(a 1 ) = 1 det(a) Teorema Seja A uma matriz quadrada Então det(a) = ( 1) l det(u) com l o n o de trocas de linhas efectuadas durante a eliminação de Gauss ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 9 / 17

25 Corolário Uma matriz quadrada A é não singular se e só se det(a) 0 A é invertível se e só se deta 0 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 10 / 17

26 Corolário Uma matriz quadrada A é não singular se e só se det(a) 0 A é invertível se e só se deta 0 Corolário Sendo A uma matriz quadrada, Ax = 0 é determinado se e só se deta 0 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 10 / 17

27 Aplicações do determinante ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 11 / 17

28 Aplicações do determinante Determinação da inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n A matriz adjunta de A, adj A, é a matriz de ordem n que se obtém da transposta de A substituindo cada elemento pelo seu complemento algébrico ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 11 / 17

29 Aplicações do determinante Determinação da inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n A matriz adjunta de A, adj A, é a matriz de ordem n que se obtém da transposta de A substituindo cada elemento pelo seu complemento algébrico Teorema Se é A é invertível, então A 1 = 1 det(a) adja ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 11 / 17

30 Exemplo A = [ ], ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 12 / 17

31 Exemplo A = [ ], A T = [ ], ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 12 / 17

32 Exemplo A = [ ], A T = [ ], adj A = [ ] ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 12 / 17

33 Exemplo A = [ ], A T = [ ], adj A = [ ] A 1 = [ ] ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 12 / 17

34 Resolução de sistemas possíveis e determinados ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 13 / 17

35 Resolução de sistemas possíveis e determinados Seja A uma matriz invertível de ordem n Considera o sistema Ax = b Então o vector x, em que cada componente x l é igual ao produto do determinante da inversa de A pelo determinante da matriz que se obtém de A substituindo a coluna l pelo vector dos termos independentes b, é solução do sistema ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 13 / 17

36 Resolução de sistemas possíveis e determinados Seja A uma matriz invertível de ordem n Considera o sistema Ax = b Então o vector x, em que cada componente x l é igual ao produto do determinante da inversa de A pelo determinante da matriz que se obtém de A substituindo a coluna l pelo vector dos termos independentes b, é solução do sistema Este método designa-se por regra de Cramer ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 13 / 17

37 Resolução de sistemas possíveis e determinados Seja A uma matriz invertível de ordem n Considera o sistema Ax = b Então o vector x, em que cada componente x l é igual ao produto do determinante da inversa de A pelo determinante da matriz que se obtém de A substituindo a coluna l pelo vector dos termos independentes b, é solução do sistema Este método designa-se por regra de Cramer Exemplo Consideremos o sistema Ax = b onde [ ] 1 2 A =, b = 2 3 [ 0 1 ] ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 13 / 17

38 Atendendo a que det(a) = 1, temos, pela regra de Cramer, x 1 = = 2 e x 2 = = 1 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 14 / 17

39 Exemplo de aplicação à Engenharia Electrotécnica ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 15 / 17

40 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 16 / 17

41 Exemplo de aplicação à Engenharia Electrotécnica ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 17 / 17