Introdução à Álgebra Linear - MTM 112 Prof. Fabiana Fernandes

Transcrição

1 Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Matemática Introdução à Álgebra Linear - MTM 2 Prof. Fabiana Fernandes Lista 02 Sistemas Lineares. Resolva e classique os sistemas a seguir utilizando o método de Gauss. (c) x + y + 2z = 8 x 2y + z = x 7y + 4z = 0 2x + 2y + 2z = 0 2x + 5y + 2z = 8x + y + 4z = 2y + z = x + 6y z = 2 6x + 6y + z = 5 2. Quais das matrizes abaixo estão na forma escalonada reduzida? A = B = (c) C = (d) D = Os sistemas lineares abaixo possuem a mesma matriz dos coecientes A. Resolva-os utilizando o método de Gauss-Jordan. Observe que dois sistemas podem ser resolvidos simultaneamente escalonando a matriz aumentada [A B B 2, em que B e B 2 são as matrizes dos termos independentes. 4. Seja A = x 2y + z = 2x 5y + z = 2 x 7y + 2z = x 2y + z = 2 2x 5y + z = x 7y + 2z = 2. Encontre a solução geral dos sistemas homogêneos a seguir

2 (A + 4I )X = 0. (A 2I )X = Para quais valores de k o sistema { x y = 2x 2y = k não possui solução? 6. Para cada sistema linear, determine os valores de a para os quais o sistema possui solução única, innitas soluções ou nenhuma solução. x + 2y z = 4 x y + 5z = 2 4x + y + (a 2 4)z = a + 2 x + y + z = 2 2x + y + 2z = 5 2x + y + (a 2 )z = a + 7. Encontre condições sobre os termos independentes b is para que os sistemas a seguir sejam possíveis. x 2y + 5z = b 4x 5y + 8z = b 2 x + y z = b x 2y z = b 4x + 5y + 2z = b 2 4x + 7y + 4z = b 8. Seja o sistema linear x + y + 2z = a x + z = b 2x + y + z = c. Mostre que a, b e c devem satisfazer a realação c = a + b para o sistema admita solução. 9. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas do insumo A e grama do insumo B; para cada kg de Y, grama de insumo A e gramas de insumo B e, para cada kg de Z, gramas de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos foram vendidos. 0. Resolva os sistemas lineares pelo método de Gauss-Jordan. x + 2x 2 x 4 + x 5 = 2 x + 2x 2 + x x 4 + x 5 + 2x 6 = x + 2x 2 x 4 + 2x 5 + x 6 = 4 x + 6x 2 + x 9x 4 + 4x 5 + x 6 = 9 2

3 x + x 2 2x + 2x 5 = 0 2x + 6x 2 5x 2x 4 + 4x 5 x 6 = 5x + 0x 4 + 5x 6 = 5 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 = 6. Determine os coecientes do polinômio p(x) = ax + bx 2 + cx + d cujo gráco passa pelos pontos P = (0, 0), P 2 = (, 7), P = (, ) e P 4 = (4, 4). 2. Seja a R e considere a matriz A = 2 a 2 2a 2 a 2 a a + 2 2a + Determine o conjunto solução do sistema AB = X, para todos os valores de a, em que B = [ 4 6 t.. Sabendo que det a b c g h i = 6, calcule os determinantes das matrizes a seguir, justicando os resultados. g h i a b c ; a b c d e f 4g 4h 4i ; (c) (d). a + g b + h c + i g h i ; a b c g 4d h 4e i 4f 4. Calcule o determinante de cada matriz abaixo usando operações elementares para transformá-las matrizes triangulares superiores..

4 Seja A uma matriz 4 4. Suponha que a matriz B foi obtida a partir A através da aplicação das seguintes operações elementares: Multiplicação da linha L por 2. Troca da linha L 2 pela linha L. Substituição da linha L 4 por L 4 + 2L. Sabendo que det A =, calcule det B. 2 Se C = , calcule det(bc B t ) Calcule o determinante das matrizes a seguir e, se possível, utilize operações elementares sobre linhas para encontrar suas inversas. A = B = Sabendo que A = [ 2. e B = (c) C = (d) D = [ , calcule AB. 8. Na Lista 0, você mostrou que a matriz A é invertível. Agora, calcule sua inversa. A = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ A = k k k k.., k R. 9. Suponha que A seja uma matriz e que X = 2 seja solução do sistema homogêneo AX = 0. A matriz A é singular ou não? Justique. λ Considere a matriz A = 0. λ Determine λ para que A não seja invertível. 4

5 O sistema AX = B possui solução única quando λ = 0? (c) Substitua λ = 0 na matriz A, encontre A e resolva o sistema AX = B, em que B =. 2. Sejam [ A = 4 [, P = 2 2 e D = [ 0 0. Verique que A = PDP e determine A k para k N. 22. Para cada matriz A abaixo, determine os valores de λ para os quais existe X = x y 0 tal que AX = λx ou, equivalentemente, determine os z valores de λ para os quais o sistema homogêneo (A λi)x = 0 admite solução não trivial. A = A = (c) A = (d) A = Para as matrizes do exercício anterior e os valores de λ encontrados, determine a solução de AX = λx ou, equivalentemente, encontre a solução geral do sistema homogêneo (A λi)x = Sejam X e X 2 soluções do sistema homogêneo AX = 0. Mostre que αx + βx 2 também é solução para quaisquer escalares α e β reais. Sejam X e X 2 soluções do sistema AX = B. Mostre que, se, para quaisquer escalares α e β, αx + βx 2 é solução, então B = 0. (c) Mostre que se X é uma solução do sistema AX = B e Y é uma solução do sistema homogêneo associado AX = 0, então X + Y é também solução do sistema AX = B. 5

6 RESPOSTAS. S = {(,, 2)} S = {( +α, 4α, α ) ; α R } 7 7 (c) S = 2. A e C.. S = { (9 α, 4 α, α); α R } S = 4. S = { ( α, 0, α); α R } 5. k 6 S = { (5α, 6α, α); α R } 6. SPD: a ±4 SPI: a = 4 SI: a = 4 SPD: a ± 9. A é singular. SPI: não admite SI: a = ± 20. λ = Sim. 7. b b 2 b = 0 b, b 2, b R (c) X = Vide abaixo kg de X, 00 kg de Y, 200 kg de Z. 0. Vide abaixo.. a =, b = 6, c = 2 e d = Se a {( e a 5, então )} S = 4a a 5, 4 a 5, 4 a 5,. a 5 Se a =, então S = { (2 α,,, α) α R }. Se a = 5, então S = (c) 72 (d) 8 5. det B = 2 det C = det A = 7 det B = 9 [ 7. AB = ,2,,2 0 /7 /9 / cos θ sen θ 0 sen θ cos θ (c) det C = (d) det D = k k k k k 2 0 k k 4 k k 2 k (c) -,,2, (d),2 2. λ = : { (0, α, α); α R } λ = 2 : { ( α, α, 4α); α R } λ = : { (0, 0, α); α R } λ = : { ( α, α, 0); α R } λ = 2 : { (α, 0, β); α, β R } (c) λ = : { ( α, α, 0, 0); α R } λ = : { (α, 0, 0, 0); α R } λ = 2 : { ( 29α, 7α, 9α, α); α R } λ = : { (9α, α, 4α, 0); α R } (d) λ = : { (α, α, α, 0); α R } λ = 2 : { (α, 0, 0, 0); α R } 0. S = { ( 2α + β + γ, α, 2γ, β, 2 γ, γ); α, β, γ R } S = {( α 4β 2γ, α, 2β, β, γ, ) } ; α, β, γ R [ [ 2. A k = 2 k + ( ) k ( ) k k 4 4 [ ( ) k k 2 [ k + ( ) k 6