Aulas práticas de Álgebra Linear
|
|
- Elias Felgueiras Pereira
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Ficha Matrizes e sistemas de equações lineares Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores o semestre 6/7 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico
2
3 Índice Índice Matrizes e sistemas de equações lineares Sistemas de equações lineares Cálculo matricial Soluções 6
4 Matrizes e sistemas de equações lineares Sendo A uma matriz: Notação Característica de A: car(a) ou car A Traço de A: tr(a) ou tr A Matriz inversa de A: A Matriz transposta de A: A T Operações elementares sobre as linhas de A (sendo α um escalar): a) L i + αl j : indica que se soma à linha i de A a linha j de A multiplicada por α b) αl i : indica que se multiplica a linha i de A por α c) L i L j : indica que se troca a linha i de A com a linha j de A Matrizes elementares de ordem n: a) P ij : matriz que resulta de I trocando a linha i com a linha j (sendo I a matriz identidade de ordem n e i j) b) E ij (α) (com i j): matriz que resulta de I somando à linha i a linha j multiplicada por α c) D i (α) (com α ): matriz que resulta de I multiplicando a linha i por α Observações a) Apresenta-se abaixo um exemplo de várias possibilidades de escrever a solução geral de um sistema de equações lineares (supõe-se que neste exemplo as variáveis são x, y, z e w e que o sistema é indeterminado com grau de indeterminação ):
5 {( z, z w, z, w) : z, w R} {(x, y, z, w) R 4 : x = z y = z w} {(x, y, z, w) : x = t y = t s z = t w = s {( t, t s, t, s) : t, s R} (t, s R)} b) Observe que um sistema de equações lineares não homogéneo é possível se, e só se, a característica da matriz do sistema é igual à característica da matriz aumentada. c) O cálculo do grau de indeterminação de cada sistema deve ser sempre feito (quando aplicável). Identifique também as variáveis independentes (ou livres) e as dependentes. d) Utilize como variáveis dependentes as que correspondem às colunas com pivôs. e) Note que os pivôs de uma matriz em escada de linhas são números diferentes de zero, não necessariamente iguais a. f) Sendo A uma matriz quadrada, relembre que A = I e que com n N. A n = AA }{{... A }, n Sistemas de equações lineares -) Identifique as equações que são lineares nas respectivas variáveis. (a) x x 5x 3 = (b) 5x + xy z = (c) u = πv + 3 w 3z (d) x 5 + 8y 5z = 7 3 -) Utilizando o método de eliminação de Gauss ou de Gauss Jordan, resolva cada 3
6 Matrizes e sistemas de equações lineares um dos seguintes sistemas de equações lineares homogéneo. x +y+3z= { x +x +x 3 +x 4 = (a) x+3y = (b) 5x x +x 3 x 4 = y +z= (c) x + y + 4z = w y 3z = w + 3x + y + z = w + x + 3y z = -3) Escreva as matrizes aumentadas dos sistemas de equações lineares não-homogéneos e resolva-os utilizando o método de eliminação de Gauss ou de Gauss Jordan. x + y + z = 8 x + x + x 3 = (a) x y + 3z = (b) x + 5x + x 3 = 3x 7y + 4z = 8x + x + 4x 3 = (c) v + 3w = 3u + 6v 3w = 6u + 6v + 3w = 5 (d) w + x y = 4 x y = 3 w + 3x y = 7 u + 4v + w + 7x = 7-4) Resolva cada um dos sistemas de equações lineares correspondente à matriz aumentada indicada (a) (b) 8 6-5) Sem efectuar cálculos, determine quais dos seguintes sistemas de equações 4
7 Matrizes e sistemas de equações lineares lineares homogéneos têm solução não-trivial. Justifique. x 3y + 4z w = { a x + a x + a 3 x 3 = (a) 7x + y 8z + 9w = (b) a x + a x + a 3 x 3 = x + 8y + z w = x + 3y z = { 3x x = (c) y 8z = (d) 6x 4x = 4z = -6) Determine um sistema de equações lineares que tenha como solução geral o conjunto indicado. a) {(, 4, 6)} b) {(t, 4, 6) : t R} c) {( z, 4z, z) : z R} d) {(x, y, x + y) : x, y R} -7) Quais das seguintes matrizes 3 3 são matrizes em escada de linhas? E em forma canónica de escada de linhas? Indique a característica de cada matriz. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) + i (k) (l) + i -8) Considere as matrizes reais A e b: [ ] A = 9 9 α b = [ ] α 3 5
8 Matrizes e sistemas de equações lineares a) Determine a característica da matriz A e da matriz aumentada [A b] em função do parâmetro α. b) Use os resultados da aĺınea anterior para determinar a natureza (em função de α) dos sistemas cuja matriz aumentada é [A b], indicando em cada caso a solução geral. -9) Determine a natureza de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares nas incógnitas x, y e z em função dos respectivos parâmetros. (a) αx + βz = αx + αy + 4z = 4 αy + z = β (c) (b) x + y + z = 4 z = (a 4)z = a z = cy + 4z = d 4x + 5y z = -) Considere a matriz A = β, α onde os parâmetros α, β designam números reais. Selecione a afirmação verdadeira: A) Existe um único valor de β para o qual o sistema que corresponde à matriz aumentada β α é impossível. B) A característica da matriz A é 3 qualquer que seja α. C) A característica da matriz A depende de α. D) A característica da matriz A é inferior a 3 para um número infinito de valores de β. 6
9 Matrizes e sistemas de equações lineares -) Resolva o sistema de equações lineares homogéneo associado à matriz: A = i i i -) Considere o sistema de equações lineares cuja matriz aumentada é onde α é um parâmetro complexo. [ ] 3 i 5i 4 i, 3 i α Qual das seguintes afirmações é verdadeira? A) Qualquer que seja o valor de α C, o sistema de equações é impossível. B) Qualquer que seja o valor de α C, o sistema de equações é possível e tem grau de indeterminação. C) Qualquer que seja o valor de α C, o sistema de equações é possível e tem grau de indeterminação 3. D) Existem valores de α para os quais o sistema de equações é impossível. -3) Considere a matriz real: 3 A = α α 3α Selecione a afirmação verdadeira: A) A característica da matriz A é para α =. B) A característica da matriz A varia com o parâmetro α. C) O sistema de equações lineares homogéneo associado à matriz dos coeficientes A é possível e indeterminado com grau de indeterminação igual a. D) A característica da matriz A T é 3 para α =. 7
10 Matrizes e sistemas de equações lineares Cálculo matricial -4) Determine a matriz A = [a ij ] i,j=,,r que satisfaz as seguintes condições: a) a ij = i + ( ) i+j para todos i e j (com r = 4) b) Para r = 4: a j = j para todo j a ij = a ji para todos i e j a ij = a i+,j+ para i, j =,, 3 c) a ij = a j i, onde a n, a n+,..., a, a, a,..., a n, a n são números complexos e r = n + -5) Sejam A uma matriz 4, B uma matriz 4, C uma matriz, D uma matriz 4 e E uma matriz 4. Determine quais das seguintes expressões matriciais estão bem definidas, e nesses casos indique o tipo da matriz resultante. (a) BA (b) AC + D (c) AE + B (d) AB + B (e) E(A + B) (f) E(AC) (g) E T A (h) (A T + E)D -6) Calcule os seguintes produtos de matrizes. (a) [ 3 ] [ ] [ ] 3 (b) 3 (c) 5 5 (d) [ 3 ] 3 (e) [ ] 3 [ ] 3 (f) 3 3 (g) (h) ) Considere as matrizes: A = 7 B = Calcule: 8
11 Matrizes e sistemas de equações lineares a) A coluna da matriz AB. b) A linha da matriz BA. c) A entrada-(3) da matriz AB. d) A característica da matriz A + B. -8) Considere as matrizes 5 A = 3 u = 7. 3 Mostre que u é combinação linear das colunas de A. -9) Calcule se possível A + B, B + C, A, AB, BA e CB: [ ] 4 π 3 A = B = 3 C = 3 5 -) Considere as matrizes: A = [ ] 3 9 B = C = 4 i 6 5 Se for possível, calcule: (a) A A (b) tr C (c) tr( B) (d) A T + B T (e) B T C T (f) (B C) T (g) CC T (h) tr(c T C) -) Obtenha uma expressão para A n : [ ] a) A = [ ] b) A = 9
12 Matrizes e sistemas de equações lineares -) Sendo A e B matrizes quadradas da mesma ordem, prove que: a) tr(a + B) = tr A + tr B b) tr(αa) = α tr A (para qualquer escalar α) c) tr A = tr A T -3) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = A T e anti-simétrica se A = A T. Complete os dados das seguintes matrizes de modo a obter proposições verdadeiras. 3 a) A matriz é anti-simétrica. [ ] / b) A matriz A = é simétrica e verifica a igualdade AA T = I. -4) Suponha que A é uma matriz invertível. Prove que se A é uma matriz simétrica (respetivamente, anti-simétrica), então A é também uma matriz simétrica (respetivamente, anti-simétrica). -5) Construa uma matriz A simétrica, de característica, e tal que [ 3 4 ] seja uma linha de A. -6) Sendo A e B matrizes reais simétricas, prove que: a) A + B é uma matriz simétrica. b) AB é uma matriz simétrica se e só se A e B comutam. -7) Utilizando o método de eliminação de Gauss Jordan, calcule, sempre que existir, a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes. [ ] [ ] [ ] (a) (b) (c) (d) 3 (e) 4 (f) (g) 7 6 (h) 3 (i)
13 Matrizes e sistemas de equações lineares (Sugestão para verificar a solução: Se uma matriz B é a matriz inversa de uma matriz A, que matriz é BA?) -8) Em cada aĺınea, use a informação dada para calcular a matriz A. [ ] a) A = 3 5 [ ] 3 7 b) (7A) = [ ] 3 c) (5A T ) = 5 [ ] d) (I + A) = 4 5-9) Considere a seguinte matriz A α, dependente do parâmetro real α: α A α = α Qual das seguintes afirmações é verdadeira? A) A α é invertível para qualquer valor de α. B) Existem infinitos valores de α para os quais A α não é invertível. C) Existem exactamente dois valores de α para os quais A α não é invertível. D) Existe exactamente um valor de α para o qual A α não é invertível. -3) Mostre que a matriz a b c d e f g h não é invertível, quaisquer que sejam os valores de a, b, c, d, e, f, g e h.
14 Matrizes e sistemas de equações lineares -3) Calcule, se existir, a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes (com α, α, α, α 3, α 4 R). α α α (a) α α 3 (b) α α 3 (c) α α α 4 α 4 α -3) Considere a matriz: A = [ ] Calcule A 3, A 3, A A + I e (A I). Resolva a equação (A + I) XA = A + A T. -33) Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Prove que se e só se A e B comutam. (A + B) = A + AB + B -34) Determine as matrizes A, x e b, que permitem escrever os sistemas de equações lineares do Problema -3 na forma de equação matricial Ax = b. -35) Seja A uma matriz de ordem 3 tal que A 3 = I e seja b uma matriz coluna de tipo 3. Complete de modo a obter proposições verdadeiras: a) A =... b) x =... é solução da equação matricial A x = b c) car(a)... car(a ) -36) Considere o sistema homogéneo Ax =, onde A é k p. Diga quais das afirmações seguintes são verdadeiras.
15 Matrizes e sistemas de equações lineares a) A característica de A e a característica da matriz aumentada do sistema podem ser diferentes. b) Se k = p, então o sistema é necessariamente determinado. c) Se k = p, a solução nula é a única solução do sistema. d) Se k > p, então a característica de A é menor ou igual a p. e) Se k > p e car(a) = p, então o sistema é indeterminado. f) Se k < p e car(a) = k, então o sistema é indeterminado. -37) Quais das seguintes matrizes são matrizes elementares? [ ] [ ] (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 5-38) Calcule os seguintes produtos de matrizes. 3 3 (a) (b) (c) (d) ) Indique qual a operação que se deve realizar com as linhas das seguintes matrizes (e determine a matriz elementar que lhe corresponde) para que estas se transformem na matriz identidade (de ordem apropriada). (a) [ ] 3 (b) 5 (c) (d) 5 3
16 Matrizes e sistemas de equações lineares -4) Considere a matriz: A = 5 a) Determine matrizes elementares E, E e E 3 tais que E 3 E E A = I. b) Escreva A como um produto de três matrizes elementares. c) Escreva A como um produto de três matrizes elementares. -4) Considere a matriz: 7 8 A = Determine uma expressão para A da forma A = E E E 3 R, onde as matrizes E, E e E 3 são matrizes elementares e R é uma matriz em escada de linhas. -4) Mostre que se A é uma matriz que comuta com qualquer outra matriz, então A é igual ao produto da matriz identidade por um escalar (A diz-se uma matriz escalar). Sugestão: Experimente multiplicar A por algumas matrizes com entradas iguais a e. -43) Seja A uma matriz real 3 3 que satisfaz A = E E R, onde R é uma matriz em escada de linhas com característica, e E = D 3 ( ) E = E (3). Considere as afirmações seguintes: I) A matriz A não é invertível. II) Existe uma matriz escalar B tal que AB BA. III) A matriz A T tem uma única coluna de zeros. IV) O sistema de equações lineares A T x = pode ser possível e determinado. 4
17 Matrizes e sistemas de equações lineares A lista completa das afirmações correctas é: A) II e III B) I e III C) I e IV D) I e II e III -44) Seja D uma matriz escalar m m com entradas diagonais iguais a 5. Mostre que a) para toda a matriz A de tipo m n, DA = 5A; b) para toda a matriz B de tipo n m, BD = 5B. 5
18 Soluções -) a) É linear nas variáveis x, x e x 3. b) Não é linear nas variáveis x, y e z. c) É linear nas variáveis u, v, w e z. d) Não é linear nas variáveis x, y e z. -) O conjunto das soluções do sistema é: a) {(,, )} b) {( x 3 3, x 3 3 x 4, x 3, x 4 ) : x 3, x 4 R} A solução poderia igualmente ser escrita como, por exemplo, {( r, r s, r, s) : r, s R}. (Relembre as Observações no início 3 3 desta ficha.) c) {(w, x, y, z) : x = w y = w z = (w R)} -3) (a) (b) Conjunto das soluções: {(3,, )} Conjunto das soluções: {( x 3, x 3, x 3 ) : x 3 R} 6
19 5 L +L L 3 4L L 3+L (*) À matriz (*) corresponde um sistema de equações equivalente ao sistema inicial. Como se trata de uma matriz em escada de linhas, podemos resolver esse sistema de modo sistemático: a equação de baixo (sem contar com a equação trivial = ) só tem uma variável dependente (x ), que podemos calcular em função das variáveis independentes (x 3, neste caso) e substituir na equação imediatamente acima. { x + x + x 3 = 7x + 4x 3 = { x + ( 4x 7 7 3) + x3 = x = 4x { x = x 3 x = x 3 Alternativamente, podemos reduzir a matriz (*) à forma canónica de escada de linhas (método de Gauss Jordan). O sistema que se obtém deste modo é de resolução imediata: 7 4 L 7 L 4/7 /7 L L 3/7 /7 4/7 /7 { x x 3 = 7 x x 3 = 7 { x = x 3 x = x 3 7
20 (c) (d) Conjunto das soluções: (não tem soluções) Conjunto das soluções: {( 6 v 3y, v, y, 3 + y, y) : v, y R} -4) a) Conjunto das soluções: {( 45, 4, 6)} b) Conjunto das soluções: {(5 4w, 8w, w, w) : w R} -5) Os sistemas das alíneas a), b) e d). -6) a) b) x = y = 4 z = 6 { y = 4 z = 6 c) { 4x + y = x + z = d) x y + z = -7) a) Sim (é matriz em escada); Sim (é matriz em forma canónica de escada); característica 3. b) Sim; Sim;. c) Sim; Sim;. d) Sim; Sim;. e) Não; Não;. 8
21 f) Sim; Não;. g) Não; Não;. h) Sim; Sim;. i) Não; Não;. j) Não; Não; 3. k) Não; Não;. l) Sim; Não;. -8) a) α = 3 car A = car[a b] = α = 3 car A = car[a b] = α 3 α 3 car A = car[a b] = b) α = 3 possível e indeterminado (G.I. = ) Conjunto das soluções: {(y z, y, z) : y, z R} α = 3 impossível α 3 α 3 possível e indeterminado (G.I. = ) Conjunto das soluções: {(y, y, ) : y R} α+3 α+3-9) a) α α = β possível e determinado β = possível e indeterminado (G.I. = ) β = impossível β β impossível β = possível e indeterminado (G.I. = ) α β α α 4 4 L α β α β α 4 β 3 L α β α β α 4 β β β Esta matriz pode ser ou não uma matriz em escada, dependendo dos valores de α e β. A finalidade da eliminação de Gauss foi obter uma matriz para a qual seja fácil determinar a relação entre os valores dos parâmetros e as operações a efetuar para obter uma matriz em escada. 9
22 Se α teremos pivôs na primeira e segunda linha, e a matriz está em escada, independentemente do valor de β. A natureza do sistema irá depender de ser β = ou β. Para α =, a matriz não está em escada, e é necessário prosseguir com a eliminação de Gauss. A entrada-(3) tem o valor β; se β =, deveríamos tentar trocar de linha de modo a obter um pivô nessa posição; no entanto, é imediato que o sistema é impossível, já que a primeira linha corresponde à equação = ; assim, neste caso não se justifica o trabalho de reduzir a matriz a uma matriz em escada. Quanto ao caso β : β 4 β β β L (4 β)l L 3 (β )L β L /β 4 β β β β 4β 8 β (β ) β b) c c = possível e determinado d = possível e indeterminado (G.I. = ) d impossível c) a = a = 3 possível e indeterminado (G.I. = ) a a 3 impossível -) A) -) Conjunto das soluções: {(, (i )z, z) : z C}
23 i i L 3 i L 3 ( i)l i i i i Uma vez que se trata de uma matriz na forma canónica de escada de linhas, a resolução (nas incógnitas (x, y, z)) é imediata: { x = y = (i )z -) B) -3) C) -4) a) b) c) 4 3 a a a a n a a a a n a a a a n.. a n+ a n+ a n+3 a a n a n+ a n+ a -5) a) Não definida. b) 4 c) Não definida. d) Não definida. e)
24 f) g) Não definida. h) -6) a) [ 5 ] [ ] 5 b) 5 [ ] 5 c) 5 4 d) [ 5 ] e) [ ] [ ] f) g) h) [ ] -7) a) b) [ ] -8) [ 57 c) 8 d) 3 ] [ ] 3 = [ ] [ ] + -9) 4 π [ ] B + C = A = [ ] π + 8 AB = + CB = 3 π As restantes operações não são possíveis π
25 -) a) A A = [ ] b) tr C = 8 c) tr( B) = 4 d) Impossível. e) B T C T = f) (B C) T = g) CC T = [ i 3 3 [ i 3 3 [ h) tr(c T C) = ] ] ] -) a) A n = [ n n] -3) a) -5) A = b) Temos duas expressões, consoante n é par ou ímpar: n par (n = k, com k N ): A n = A k = ( ) k I n ímpar (n = k +, com k N ): A n = A k+ = ( ) k A [ 3 3 [ b) A = ] 3 3 [ ] [ ] 7 4-7) a) [ ] 5 6 b) ] ou A = [ c) A matriz não é invertível. d) ] 3
26 L 3L L 3 L L 3 5L L L L L + 5 L3 5 L 3L e) A matriz não é invertível. f) -8) a) g) 3 3 h) i) A matriz não é invertível. [ 5 ] 3 [ ] 7 b) 7 3 4
27 [ ] 5 c) 5 3 [ ] 9 d) 3 6-9) C) -3) a) b) c) α α α3 α4 (existe se e só se nenhum dos valores de α, α, α 3 e α 4 for nulo) α4 α3 α α (existe se e só se nenhum dos valores de α, α, α 3 e α 4 for nulo) α α α α 3 α α α 4 α 3 α α (existe se e só se α ) [ ] -3) A 3 = [ 6 ] A 3 = [ 6 ] A A + I = (A I) = [ ] X = 3/ / 3/ / 5
28 -34) x 8 (a) A = 3 x = y b = z x (b) A = 5 x = x b = 8 4 x 3 3 u (c) A = x = v b = w 5 u v (d) A = x = w x y 4 b = ) a) A b) Ab c) = 3 = -36) a) Falsa. b) Falsa. c) Falsa. d) Verdadeira. e) Falsa. f) Verdadeira. -37) a) Sim (é matriz elementar). b) Sim. c) Sim. d) Não. e) Sim. 6
29 f) Não. g) Sim. h) Não. -38) a) b) c) d) ) a) Operação: L + 3L Matriz elementar: E (3) = [ 3 ] [ b) Operação: L 5 3 Matriz elementar: D 3 ( ) = ] 5 c) Operação: L L 4 Matriz elementar: P 4 = 5 [ d) Operação: L + 5 L 3 Matriz elementar: E 3 ( 5 ) = [ 5 ] ] -4) a) E = E (5) E = P 3 E 3 = D ( ) b) A = D ( )P 3E (5) ] [ ] [ ] c) A = [ 5-4) E = P E = E 3 ( ) E 3 = E 3 () R = [ ] ) B) 7
ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2
Leia maisLista 1: sistemas de equações lineares; matrizes.
Lista : sistemas de equações lineares; matrizes. Obs. As observações que surgem no fim desta lista de exercícios devem ser lidas antes de resolvê-los. ) Identifique as equações que são lineares nas respectivas
Leia maisAulas práticas de Álgebra Linear
Ficha 2 Determinantes Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores 1 o semestre 2016/17 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto
Leia maisÁlgebra Linear. Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07
Álgebra Linear Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente ō ano/ ō Semestre 2006/07 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES
Leia maisÁlgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07
Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō ano/ ō S 6/7 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES Sistemas de equações lineares. Quais das seguintes equações
Leia maisficha 2 determinantes
Exercícios de Álgebra Linear ficha 2 determinantes Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 Determinantes 2 Sendo
Leia mais1 a LISTA DE EXERCÍCIOS Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Álgebra Linear - 1 o Semestre /2018 Engenharia Aeroespacial
1 a LISTA DE EXERCÍCIOS Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Álgebra Linear - 1 o Semestre - 217/218 Engenharia Aeroespacial Problema 1 Calcule A 2 2B + I, ( ( 2 1 onde A =, B =, e I é a matriz identidade
Leia maisAulas práticas de Álgebra Linear
Ficha 3 Aulas práticas de Álgebra Linear Licenciatura em Engenharia Naval e Oceânica Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 1 o semestre 2018/19 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática,
Leia maisexercícios de álgebra linear 2016
exercícios de álgebra linear 206 maria irene falcão :: maria joana soares Conteúdo Matrizes 2 Sistemas de equações lineares 7 3 Determinantes 3 4 Espaços vetoriais 9 5 Transformações lineares 27 6 Valores
Leia maisMétodos Matemáticos II
Sumário Métodos Matemáticos II Nuno Bastos Licenciatura em Tecnologias e Design Multimédia Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gabinete 4 nbastos@mat.estv.ipv.pt http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/nbastos.
Leia maisAvaliação e programa de Álgebra Linear
Avaliação e programa de Álgebra Linear o Teste ( de Março): Sistemas de equações lineares e matrizes. Espaços lineares. o Teste ( de Maio): Matriz de mudança de base. Transformações lineares. o Teste (
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica
Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]
Leia maisFicha de Trabalho 02 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6).
F I C H A D E R A B A L H O 0 Ficha de rabalho 0 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6). Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema.
Leia maisRevisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01
Revisão: Matrizes e Sistemas lineares Parte 01 Definição de matrizes; Tipos de matrizes; Operações com matrizes; Propriedades; Exemplos e exercícios. 1 Matrizes Definição: 2 Matrizes 3 Tipos de matrizes
Leia maisNotas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009
Notas para o Curso de Álgebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 2 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 11 Matrizes 6 12 Sistemas Lineares 11 121 Eliminação Gaussiana 12 122 Resolução
Leia maisMatemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares
Matemática I Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Objectivos Matrizes especiais e propriedades do produto de matrizes Matriz em escada de linhas Resolução de sistemas de equações lineares
Leia maisApontamentos I. Álgebra Linear aulas teóricas. Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Apontamentos I Álgebra Linear aulas teóricas Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores 1 o semestre 2016/17 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice
Leia maisSistemas de equações lineares
Matemática II - / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a
Leia mais1.3 Matrizes inversas ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0
1.3 Matrizes inversas Definição: Seja A uma matriz de ordem k n, a matriz B de ordem n k é uma inversa à direita de A, se AB = I. A Matriz C de ordem n k é uma inversa à esquerda de A, se CA = I. Exemplo
Leia maisSepare em grupos de folhas diferentes as resoluções dos grupos I e II das resoluções dos grupos III e IV GRUPO I (50 PONTOS)
Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UCP MATEMÁTICA I FREQUÊNCIA 1 - versão A Duração: 15 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos. Qualquer dúvida ou questão
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
IST - o Semestre de / MEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA - Método de Eliminação de Gauss Sistemas de equações lineares Uma equação linear nas variáveis (ou incógnitas) x ; ; x n ; é uma equação do
Leia maisMatrizes e sistemas de equações algébricas lineares
Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)
Leia maisALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE /
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - /. Se possível dê exemplos de (a) Uma equação não linear. (b) Uma equação linear com termo independente igual ao seu número de aluno e tenha dois coe cientes
Leia maisapontamentos Álgebra Linear aulas teóricas Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica, 1 o semestre 2012/13
apontamentos Álgebra Linear aulas teóricas Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica, 1 o semestre 2012/13 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice 1 1 Matrizes,
Leia maisParte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Matrizes: Uma matriz de tipo m n é uma tabela com mn elementos, denominados entradas, e formada por m linhas e n colunas. A matriz identidade de ordem 2, por exemplo,
Leia maisMatemática- 2008/ Se possível, dê exemplos de: (no caso de não ser possível explique porquê)
Matemática- 00/09. Se possível, dê exemplos de (no caso de não ser possível explique porquê) (a) Uma matriz do tipo ; cujos elementos principais sejam 0. (b) Uma matriz do tipo ; cujo elemento na posição
Leia maisSistemas de Equações lineares
LEIC FEUP /4 Sistemas- Sistemas de Equações lineares SEL- Dado o sistema coeficientes + + + +, resolva-o invertendo a matriz dos SEL- SEL- Considere o seguinte sistema de equações lineares: + + + a + a
Leia maisLista de Exercícios 05 Álgebra Matricial
Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial - 016.1 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y + 3 3 w (a) 3.X = (b) = 6 9 4 0 6 z. Uma rede de postos de combustíveis
Leia maisAlgumas Aplicações de Álgebra Linear. Análise de Redes (Network) Fluxo de Trânsito. Circuitos Eléctricos. Equilíbrio de Equações Químicas
Algumas Aplicações de Álgebra Linear Análise de Redes (Network) Fluxo de Trânsito Circuitos Eléctricos Equilíbrio de Equações Químicas Interpolação Polinomial Estudo de Modelos Económicos Compressão de
Leia maisSistemas Lineares. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2
Sistemas Lineares Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 O que é uma equação linear? O que é uma equação linear? Ex: 1)
Leia maisNome: Nr Turma GRUPO II (80 PONTOS) . 1 2
Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UCP MATEMÁTICA I MINI-TESTE 1 - versão A Duração: 90 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos. Qualquer dúvida ou questão
Leia mais3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido)
Álgebra Linear Cursos: Engenharia Civil, Engenharia de Minas, Engenharia do Território 1 ō ano/1 ō Semestre 21/211 3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) 1. Indique a característica
Leia maisVetores e Geometria Analítica
Vetores e Geometria Analítica ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2016 AVISO O propósito fundamental destes slides é servir como um guia para as aulas. Portanto eles não devem ser
Leia mais(x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ); e α (x, y) = (x α, y α ), α R.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2457 Álgebra Linear para Engenharia I Terceira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Considere as retas
Leia maisLista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares) b) B 4 2, tal que b ij =
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT Geometria Analítica e Álgebra Linear (MA71B) Profa. Dra. Nara Bobko Lista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares)
Leia maisSistemas de Equações Lineares e Matrizes
Sistemas de Equações Lineares e Matrizes. Quais das seguintes equações são lineares em x, y, z: (a) 2x + 2y 5z = x + xy z = 2 (c) x + y 2 + z = 2 2. A parábola y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (x,
Leia maisMA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas
Leia maisficha 4 valores próprios e vectores próprios
Exercícios de Álgebra Linear ficha 4 valores próprios e vectores próprios Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12
Leia maisÁlgebra Linear 1 o Teste
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 1 o Semestre 2008-2009 6/Janeiro/2008 Prova de Recuperação Álgebra Linear 1 o Teste MEMec, MEAer Nome: Número: Curso: Sala: A prova que vai realizar
Leia maisSistemas de equações lineares
ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a n x n = b
Leia maisαx + 2y + (α + 1)z + 2αw = β 1. [40 pontos] Discuta o sistema em função dos parâmetros α, β e γ.
Católica Lisbon School of Business and Economics UCP MATEMÁTICA I MINI-TESTE 1 - versão A Duração: 90 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos. Qualquer dúvida ou questão
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Electrotécnica Ano: 1 o Semestre: 1 o Ano Lectivo: 007/008 Ficha
Leia maisCM005 Algebra Linear Lista 1
CM005 Algebra Linear Lista Alberto Ramos. Para cada um dos sistemas de equações lineares, use o método de Gauss para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma escada. Indique
Leia maisTESTE FINAL DE ÁLGEBRA LINEAR 18 de Janeiro de 2017 Instituto Superior Técnico - Engenharia Aeroespacial
TESTE FINAL DE ÁLGEBRA LINEAR 18 de Janeiro de 2017 Instituto Superior Técnico - Engenharia Aeroespacial Nome: Número: O que vai fazer? Só T1+T2 Só T3 T1+T2 e T3 Problema a b c d lalala Problema a b c
Leia maisfolha prática 1 matrizes e sistemas de equações lineares página 1/8 (a) A + B; (b) B 2A; (c) AD; (d) DA; (e) ACD; (f) 1 5
folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página /8 Universidade de Aveiro Departamento de Matemática Matrizes Calcule 3 5 3 3 4 9 5 3 + 5 7 3 8 3 4 4 T Considere as matrizes A =, B = 3 4, C
Leia maisI Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple
1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0
Leia maisMatemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes
Matemática II - 00/0 - Matrizes Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma função A : f; ; :::; mg f; ; :::; ng R: (i; j) A (i; j)
Leia maisInterbits SuperPro Web
1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a)
Leia maisALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Matrizes 1. Matrizes
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma aplicação A : f1; ; :::;
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL
PESQUISA OPERACIONAL Uma breve introdução. Prof. Cleber Almeida de Oliveira Apostila para auxiliar os estudos da disciplina de Pesquisa Operacional por meio da compilação de diversas fontes. Esta apostila
Leia maisMétodo de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos
Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 14 de agosto
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 4 Espaços Vetoriais Reais Definição de espaço vetorial real [4 01] O conjunto
Leia maisRenato Martins Assunção
Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear
Leia maisMAT Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de ā Lista de Exercícios
MAT 2458 - Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de 2014 1 ā Lista de Exercícios 1. Verifique se V = {(x, y) x, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação
Leia mais3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 3.1. Conceito Elementar de Matriz. Definição 1 Sejam m e n dois números naturais.
3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 3.1. Conceito Elementar de Matriz Definição 1 Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz real m n é um conjunto de mn números reais distribuídos por m linhas
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 21 de
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 18 de
Leia mais5. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial F(R) das funções de R em R:
MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR I 3 a Lista de Exercícios 1 o semestre de 2018 1. Verique se V = {(x, y) : x, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar dadas por:
Leia mais1 2 A, B 0 1. e C. 0 1
I. Questões de escolha múltipla. Em cada questão de escolha múltipla apenas uma das afirmações a), b), c), d) é verdadeira. Indique-a marcando no quadrado respetivo. 1. No espaço vetorial R 4 considere
Leia maisSistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos
Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas equações Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero Não alteram
Leia maisMatemática I. Licenciatura em Economia. 1 Álgebra Linear. 1 o semestre 2012/13. Vectores e Matrizes Sejam 3 A = Determinar as matrizes:
Matemática I 1 o semestre 1/1 Licenciatura em Economia Exercícios com soluções 1 Álgebra Linear Vectores e Matrizes 1.1. Sejam 1 A = 5, B = 1 1 1 Determinar as matrizes: 1 4 5, C = a) A + B; b) A B; c)
Leia maisESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais)
Álgebra Linear- 1 o Semestre 2018/19 Cursos: LEIC A Lista 3 (Espaços Lineares) ESPAÇOS LINEARES (ou vetoriais) Notações: Seja A uma matriz e S um conjunto de vetores Núcleo de A: N(A) Espaço das colunas
Leia maisInstituto Universitário de Lisboa
Instituto Universitário de Lisboa Departamento de Matemática Exercícios extra de Álgebra Linear Ano Lectivo 204/205 . Sejam A = 0 2 0 0 2 e B = 0 0 0 0. (a) Calcule, se possível, as matrizes AB, BA e B
Leia mais1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0
Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A
Leia maisUm sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:
Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma: A.x = b onde: A matriz de coeficientes de ordem x vetor
Leia maisUniversidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM112 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 81, 82 e 84 Lista 1 - Tiago de Oliveira
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM2 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 8, 82 e 84 Lista - Tiago de Oliveira Reveja a teoria e os exercícios feitos em sala. 2 3 2 0. Sejam
Leia maisx 1 + b a 2 a 2 : declive da recta ;
- O que é a Álgebra Linear? 1 - É a Álgebra das Linhas (rectas). Equação geral das rectas no plano cartesiano R 2 : a 1 x 1 + a 2 = b Se a 2 0, = a 1 a 2 x 1 + b a 2 : m = a 1 : declive da recta ; a 2
Leia maisb) 4x 1 6x 2 = 1 Questão 2: Considere as seguintes matrizes: 3y 6 y z condições, calcule x, y e z.
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas
Leia maisÁlgebra Linear - Prof. a Cecilia Chirenti. Lista 3 - Matrizes
Álgebra Linear - Prof. a Cecilia Chirenti Lista 3 - Matrizes. Sejam A = C = 0 3 4 3 0 5 4 0 0 3 4 0 3, B = 3, D = 3,. Encontre: a A+B, A+C, 3A 4B. b AB, AC, AD, BC, BD, CD c A t, A t C, D t A t, B t A,
Leia maisÁlgebra matricial exercícios 1-13; sebenta, páginas π
Matemática II 017/18 - Gestão - ESTG/IPBragança Constrói o teu próprio caderno de apontamentos. Resolve todos os exercícios. Cria a tua folha de soluções. Dene os conceitos indicados na última página desta
Leia maisPode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Então P(A) = P(A
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Considere o sistema linear de m equações e n incógnitas: O sistema S pode
Leia mais1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny
1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear - 213 - Prof. Vyacheslav Futorny 1 a parte: Resolução de sistemas de equações lineares, matrizes inversíveis 1. Para cada um dos seguintes sistemas de equações
Leia maisDepartamento de Matemática
Departamento de Matemática ALGA e Álgebra Linear Folhas Práticas - /6 EAmb/EC/EGI/EM Determinantes (*) Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes A = + i, B = i, C = 6 i, D = 6 i i E = 6, F
Leia maisÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 Sistemas de Equações Lineares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares 3 Forma
Leia maisficha 6 espaços lineares com produto interno
Exercícios de Álgebra Linear ficha espaços lineares com produto interno Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico o semestre 011/1 Notação
Leia maisÁlgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho
Álgebra Linear - a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho - Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede: M N O 7 P Q R 8 4 T S a b a Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?
Leia maisSistemas lineares e matrizes, C = e C =
1. Considere as matrizes ( 2 1 A 4 0 1 MATEMÁTICA I (M 195 (BIOLOGIA, BIOQUÍMICA E ARQUITETURA PAISAGISTA 2014/2015, B Sistemas lineares e matrizes ( 4 1 2 5 1 Verifique se está definida e, caso esteja,
Leia maisMA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas
Leia mais= o A MATRIZ IDENTIDADE. a(i, :) = (aii, ai2,, ai.) i = 1,, m
Matrizes e Sistemas de Equações 9 para toda matriz A n X n. Vamos discutir, também, a existência e o cálculo de inversas multiplicativas. A MATRIZ IDENTIDADE Uma matriz muito importante é a matriz / n
Leia maisESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final 2012/2013
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final 0/0 A) B) C) D) [,0]. Considere as seguintes a rmações: I. ~x
Leia maisÁLGEBRA LINEAR AULA 2
ÁLGEBRA LINEAR AULA 2 Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 Sistemas de 1 2 3 4 5 6 7 2 / 14 matrizes Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução
Leia maisUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR: MARCELO SILVA 1. Introdução No ensino fundamental você estudou
Leia maisAgenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação
Agenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação Sistemas Lineares Sistemas lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares. Um
Leia maisLista 2 - Resolução. 1. Verifique se os produtos abaixo estão bem definidos e, em caso afirmativo, calcule-os.
GAN00140 Álgebra Linear 018.1 Prof a. Ana Maria Luz F. do Amaral Lista - Resolução 1. Verifique se os produtos abaixo estão bem definidos e, em caso afirmativo, calcule-os. 1 a) b) 1 3 0 0 1 /. 1 1/ 1
Leia maisn. 1 Matrizes Cayley (1858) As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo:
n. Matrizes Foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes, definindo a ideia de operarmos as matrizes como na Álgebra. Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes.
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica. 7ª aula
Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula ESPAÇOS VECTORIAIS O que é preciso para ter um espaço pç vectorial? Um conjunto não vazio V Uma operação de adição definida nesse conjunto Um produto de um
Leia maisficha 5 transformações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 5 transformações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 5 Notação
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR. Prefácio 3. Parte 1. Sistemas de equações lineares 4. Parte 2. Matrizes 10. Parte 3.
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR PEDRO MATIAS Conteúdo Prefácio 3 Parte 1. Sistemas de equações lineares 4 Parte 2. Matrizes 10 Parte 3. Determinantes 16 Parte 4. Geometria analítica 18 Parte 5. Espaços lineares
Leia maisMAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018
MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I a Lista de Exercícios - o semestre de 8 Exercícios -8: os espaços V e V 3. Exercícios 9-7: dependência, independência linear, bases. Exercícios 8-48: sistemas lineares.
Leia maisÁlgebra Linear I Ano lectivo 2015/16 Docente: António Araújo e-fólio A (20 a 30 de novembro) Para a resolução do e-fólio, aconselha-se que:
21002 - Álgebra Linear I Ano lectivo 2015/16 Docente: António Araújo e-fólio A (20 a 30 de novembro) Para a resolução do e-fólio, aconselha-se que: Verifique se o ficheiro que recebeu está correcto. O
Leia maisNotas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações
Leia maisUFSC Matrizes. Prof. BAIANO
UFSC Matrizes Prof. BAIANO Matrizes Classifique como Verdadeiro ou Falso ( F ) Uma matriz é dita retangular, quando o número de linhas é igual ao número de colunas. ( F ) A matriz identidade é aquela em
Leia mais(Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Resumo das Aulas Teóricas de 2 o Semestre 2004/2005 (Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto Álgebra Linear Conteúdo Sistemas
Leia mais1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos
FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 NOTAS DE AULA Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos (i) Matrizes Reais Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais : a 11 a 12 a 13 a 1m a 21
Leia maisSistema de Equaçõs Lineares
Summary Sistema de Equaçõs Lineares Hector L. Carrion ECT-UFRN Agosto, 2010 Summary Equações Lineares 1 Sistema de Eq. Lineares 2 Eliminação Gaussiana-Jordan 3 retangular 4 5 Regra de Cramer Summary Equações
Leia mais