Álgebra Linear e Geometria Analítica. 7ª aula

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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula

2 ESPAÇOS VECTORIAIS

3 O que é preciso para ter um espaço pç vectorial? Um conjunto não vazio V Uma operação de adição definida nesse conjunto Um produto de um número real por um elemento desse conjunto As boas propriedades idd destas operações

4 O que são as boas propriedades? idd Fechado para a soma u, v V, u v V Fechado para o produto por um escalar α R, u V, V αu V

5 O que são as boas propriedades? p Propriedades da soma Comutativa: u, v V, u v = v u Associativa: u, v, w V, (u v) w = u (v w) Elemento Neutro: u V, u = u Simétricos: u V, u ( u) =

6 O que são as boas propriedades? Propriedades d da soma e do produto por um escalar: Distributiva: u, v V, α R,α(u v )= αu αv Distributiva: ib i u V,, α,, β R,(α β β) u = αu βuβ Associativa u V, V α, β R,(α ( β) u = α (βu) ) Elemento neutro u V, u = u

7 Exemplos Vectores no plano com as operações soma e produto por um número real

8 Exemplos Conjunto das matrizes m n com as operações soma e produto por um número real. Conjunto das matrizes linha com as operações soma e produto por um número real Conjunto das matrizes coluna com as operações soma e produto por um número real

9 Exemplos n { ( L ) } R = x, x, x : x, j =, L n, R =, n j ( x,, ) (,,, ) x, L x y y L y = n n ( x y, x y,, ) α L x n y n ( x x, L, ) = ( α, α,, α ), L x x x x n n

10 Casos particulares importantes: R = { ( x, y ) : x, y R } ( x, y ) ( t, w ) = ( x t, y w ) α ( x, y) = ( αx, αy)

11 Casos particulares importantes: R = { ( x, y, z ) : x, y, z R } ( x, y, z ) ( t, w, v ) = ( x t, y w, z v ) ( x, y z) = ( αx αy αz) α,,,

12 Propriedades dos espaços vectoriais O vector nulo é único O simétrico de cada vector de V é único Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo Zero multiplicado l por qualquer vector dá o vector nulo Se o produto de um número real por um vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo.

13 Combinações Lineares: α, α, L, α k R u, u, L, u α u k V α u L α u k k = u u diz se combinação linear de u, u,, u k

14 Exemplo: (,, ) (,, ) ( 5 )(,, ) (,, 5 ) = (,, 5) é combinação linear de {(,,), (,,),(,,)} com coeficientes, e 5 respectivamente

15 Exemplo: (,, 5) será combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}?

16 Exemplo: (,, 5) será combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}? (,, 5) = α(,,) β(,,) γ(,,)

17 Exemplo: (,, 5) será combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}? (,, 5) = α(,,) β(,,) γ(,,) α β γ = α β = α γ = 5

18 Exemplo: (,, 5) será combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}? (,, 5) = α(,,) β(,,) γ(,,) α β γ = α β = α γ = 5 5

19

20 7 7 = α 7 = 7 β α = γ

21 α = β = 7 γ = (,, 5) = α(,,) β(,,) γ(,,) (,, 5) = () (,,) 7() 7(,,) () (,,)

22 Exemplo: (,, 5) será combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}? (,, 5) = α(,,) β(,,) γ(,,)

23 Exemplo: (,, 5) será combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}? (,, 5) = α(,,) β(,,) γ(,,) α β = α β = α β γ = 5

24 Exemplo: (,, 5) será combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}? (,, 5) = α(,,) β(,,) γ(,,) α β = α β = α β γ = 5 Sistema impossível

25 Exemplo: Então (,, 5) não pode ser combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}

26 Exemplo: Quais serão os vectores es (x, y, z) ) que podem ser combinação linear de {() {(,,), (,,),(,,)}? ()()}?

27 Exemplo: (x, y, z) ) = α(,,) β(,,) γ(,,)

28 Exemplo: (x, y, z) ) = α(,,) β(,,) γ(,,) α β = x α β = y α = β γ z

29 = x β α = x β β α = y β α = z γ β α x x y z

30 = x β α = z y γ β α β α = z γ β α y x y x x z y x z x y x z x x z x z x y x y

31 Quais serão os vectores es (x, y, z) ) que podem ser combinação linear de {() {(,,), (,,), () (,,)}? ()}? Resposta: vectores da forma (x, x, z)

32 Questão: (,, ) pode ser combinação linear de {(,,), (,,),(,,)}? SIM (,, ) = (,,) (,,) (,,)

33 Propriedade: O vector nulo uode qualquer que espaço vectorial pode ser escrito como combinação linear de qualquer conjunto de vectores. (O sistema homogéneo tem sempre solução)

34 Questão: (,, ) pode ser combinação linear de {(,,), (,,),(,,)} sem que os coeficientes sejam todos nulos? SIM (,, ) = (,,) (,,) (,,)

35 Vectores linearmente independentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v, v,, v k } diz se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

36 Vectores linearmente independentes Um conjunto de vectores de V {v, v,, v k } é linearmente independente se α v α v L α kv = k α = α = L = α = k

37 Vectores linearmente dependentes Definição: Um conjunto de vectores de V {v, v,, v k } diz se linearmente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.

38 Vectores linearmente dependentes Um conjunto de vectores de V {v, v,, v k } diz se linearmente dependente se α v α v L α v = j : α k k j

39 Vectores linearmente independentes Para que o conjunto de vectores de V {v, v,, v k } seja linearmente independente é necessário que o sistema α v = α v L α k v k seja determinado, d isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.

40 Um conjunto de vectores não pode ser independente se: Contiver o vector nulo; Tiver dois vectores iguais; Tiver um vector múltiplo de outro; Se um dos vectores for combinação linear de outros.

41 EXEMPLO: Será {(,,,), (,,,5), (,7,, 7), (, 8,, )} linearmente independente? a b d = a(,,,) b(,,,5) c c(,7,, 7) d(, 8,, ) = (,,,)

42 EXEMPLO: EXEMPLO: Será {(,,,), (,,,5), (,7,, 7), (, 8,, )} linearmente independente? linearmente independente? a(,,,) b(,,,5) c(,7,, 7) d(, 8,, ) () = (,,,) d b = = 8 7 d c b a d c b a = 7 5 d b d c b a = 7 5 d c b a

43 = d c b a = 8 7 d b d c b a = 8 7 A = = 7 5 d c b a d c b a 7 5 car(a) = sistema indeterminado car(a) = sistema indeterminado j t d d t conjunto dependente

44 Subespaço Vectorial Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço pç vectorial de V se e só se u, v F, u v F α R, u F, α u F ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

45 Exemplo de subespaço vectorial { ( x z) R } y x y e x z F =,, : = =

46 Exemplo de subespaço vectorial { ( x z) R } y x y e x z F =,, : = = F é o conjunto das soluções do sistema x y = x z =

47 Exemplo de subespaço vectorial { ( x z) R } y x y e x z F =,, : = = F é o conjunto das soluções do sistema F é o núcleo da matriz x y = x z =

48 Expansão linear e geradores Considere se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v, v,, v k } vectores de um espaço vectorial V. W é um subespaço vectorial il. W é o menor subespaço vectorial de V que contém {v, v,, v k }

49 Expansão linear e geradores W { } α v α v α, α R = L j kv k W é a expansão linear de {v, v,, v k } ou subespaço vectorial gerado pelos vectores {v, v,, v k } W = <v, v,, v k >,,, k {v, v,,v k } é um conjunto de geradores de W

50 Exemplos (,, ), (,, ), (,, ) R =

51 Exemplos (,, ), (,, ), (,, ) R = (,,, ), (,,, ) = { α (,,, ) α (,,, ) : α, α R } { (,,, α, α ): α, α R } = ( x, x, x, x ) { R : x = x = }, =

52 Bases e dimensão A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama se base desse espaço. Umespaço tem várias bases Todas as bases têm o mesmo número de elementos A esse número de elementos chama se dimensão do espaço

53 Bases e dimensão Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores independentes com mais do que n elementos Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço pç com menos do que n elementos

54 Exemplo: {( ) } x y z R x y e x z F =,, : = = { (,, ) } F = x x x : x R F = (,, )

55 Exemplo: {( ) } x y z R x y e x z F =,, : = = { (,, ) } F = x x x : x R F = (,, ) ou F = ( 5,5, ) ou L dimf =

56 Como saber se um vector pertence a um subespaço?. Encontra se uma base para o subespaço. Verifica se se o vector pode ser combinação linear dos elementos da base.

57 Exemplo: F = (,,, ), ( 5,6,7,8 ) Será que (,, 7, ) é um elemento de F? Será que (,, 7, 7 ) é uma combinação linear de (,,,) e (5,6,7,8)? (,, 7, )= a(,,,) a() b(5,6,7,8) b(5678)

58 (,, 7, 7 )= a() a(,,,) b(5,6,7,8) b(5678)

59 (,, 7, 7 )= a() a(,,,) b(5,6,7,8) b(5678)

60 (,, 7, 7 )= a() a(,,,) b(5,6,7,8) b(5678) a 5b = a b 6 = a b 7 = 7 a 8b =

61 (,, 7, 7 )= a(,,,) a() b(5,6,7,8) b(5678) a 5b = a b 6 = a b 7 = 7 a 8b =

62

63 = 7 b a = b

64 O mesmo exemplo, outra abordagem: F = (,,, ), ( 5,6,7,8 ) Será que (,, 7, ) é um elemento de F? Isto é, será que (,, 7, ) é uma combinação linear de (,,,) ()e (5,6,7,8)? (5678)?

65 O mesmo exemplo, outra abordagem: F = (,,, ), ( 5,6,7,8 ) Será que (,, 7, ) é um elemento de F? Isto é, será que (,, 7, ) é uma combinação linear de (,,,) ()e (5,6,7,8)? (5678)? Se tal se verificar a característica da matriz que tem estes vectores nas suas linhas terá que ser.

66 O mesmo exemplo outra abordagem: O mesmo exemplo, outra abordagem:

67 O mesmo exemplo outra abordagem: O mesmo exemplo, outra abordagem: ) ( 8 = A car

68 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores? F = (,,, ), ( 5,6,7,8 )

69 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores? w z y x Agora determinar condições sobre x, y, z e w últi li h d ti d para que a última linha da matriz em escada seja nula j

70 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores? w z y x w z y x 8 w y x z y x 8 w y x z y x

71 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores? w z y x w y x z y x 8 = z y x = y x z = w y x = y x w

72 Como a última linha ficou nula pode se concluir que é combinação linear das anteriores. (Só não se sabe quais são os coeficientes da combinação linear, para o saber é preciso resolver o sistema como se fez antes)

73 Os coeficientes da combinação linear de um vector em relação a uma base chamam se coordenadas do vector

74 Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores? F = (,,,,, ), ( 5,6,7,8,, ) (x, y, z, w) = a(,,, ) b(5, 6, 7, 8) x = a 5 b y = a 6 b z = a 7 b w = a 8 b

75 Encontrar condições para o sistema ser possível: = = b a y b a x 6 5 y x 6 5 x 5 = = b a z b a y 7 6 z y 7 6 y x z x y = b a w 8 w 8 y x w = y x z = = y x w y x z y