2 a. Lista de Exercícios

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1 Última atualização 16/09/007 FACULDADE Engenharia: Disciplina: Álgebra Linear Professor(a): Data / / Aluno(a): Turma a Lista de Exercícios A álgebra de vetores e a álgebra de matrizes são similares em muitos aspectos Em particular, podemos fazer a adição de vetores e de matrizes, e podemos multiplicar ambos por um escalar As propriedades resultantes dessas duas operações são idênticas nos dois ambientes, revelando-nos uma estrutura comum desses conjuntos em relação a essas operações Esse fato não só vale para esses dois conjuntos com essas operações, mas para muitos outros Sendo assim, o estudo dos espaços vetoriais mostrase muito importante, visto que possibilita conhecer de forma geral todos esses conjuntos que apresentam essa mesma estrutura

2 Questão1 Dados os espaços vetoriais V abaixo verifique, em cada caso, se W é subespaço vetorial de V sobre R a) V R a1) ( ) {,, W x y V y x a) ( ) {,, 1 W x y V y x + a) ( ) a4) ( ) {,, {,, W x y V y x W x y V y x b) V R b1) {( x, y,z) V, x + y + z 1 W b) W {( x, y,z) V, x y + z b) W {( x, y,z) V, xz 0 b4) W ( x, y, z) V, y 0 c) V M ( R ) c1) W V, x + w 0 c) W V, z xw t W A V; A A c) c4) W { A V; A A Questão Escreva, se possível, cada vetor v como combinação linear dos elementos do conjunto S, sendo: a) 1 v 1 S e b) v (, 7) e S {( 1, 0),(, 9) c) v ( 0, 0, ) e S {(, 0, 0),( 01,, 0) d) v ( 4, 5, 1) e S {( 111,, ), ( 1,, 0),(,,-1) e) v e S Questão Considere os vetores v ( 1,,1), w ( 1,,1) R a) Escreva uma combinação linear de v e w b) Determine o conjunto de todas as combinações lineares de v e w, ou seja, o subespaço gerado por v e w u 1, 0,1 v, w c) Verifique se o vetor ( ) [ ] 1 0 Questão4 Considere os vetores v1 0, v 1 1 0, v 0 1 M ( R ) 7 a) Escreva u como combinação linear de v1, v e v Esta combinação linear é única? 4 b) Escreva u como combinação linear de v1 e v Esta combinação linear é única? c) Verifique se 0 w 0 pode ser escrito como uma combinação linear de v1, v e v

3 Questão5 Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: {,,, 0 e 0 W x y z x + z x y a) ( ) a c b d R b) ( ), +c0 e 0 {,,, 0 W x y z R x + y z c) W M ( R ) a d d) ( ) W M R, x + y z e w-y 0 Questão6 Determine k de modo que o conjunto ( 1,0, ), ( 1,1, ), ( 1,, ) k k k k R seja LI Questão7 Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD: a) {( 1, 1,),( 5,,4 ), ( 4,17, ) b) {( 1,,,1),(,, 7,1),( 1,4,1,5 ),( 0,,5,5 ) c) d) Questão8 Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo: i) são LI ii) geram os espaços V considerados iii) são bases dos espaços V considerados { 1,1, 1,1, 1, V R a) ( 1,1, 1 ), (,,1 ), ( 1,1,1 ) V R b) ( ) ( ) ( ) ,, V M c),,, V M ( ) d) ( ) x R R Questão9 Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: b) W 7 14 a) W [( 1,0,0 ), ( 0,5, ),( 1,0, ), ( 0,5,0 )] W, z y 0 c) M ( R)

4 Questão10 Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes subespaços: [ ] a) W ( 1 0) ( 0 1) ( 1 1) c) W ,,,,,,,, em ,, em ( ) [ ] R b) W ( 1 ) ( 4 4),,,,, em M R d) W (, ), ( 1,1) R em R Questão11 Nos casos abaixo, determine as equações lineares homogêneas que caracterizam U W e uma base para U W a) U W [(,,0 ),( 0,0, )] [( 4,0, 4),( 0,5,0 )] b) {(,, ) R, 0 ( 0,,0 ), ( 1,, ), ( 7,1,1 ), ( 1,, ) U x y z x W c) U W [( 1,0, ), ( 0,1,1 ), ( 1,1, )] [( 0, 1,1 ), ( 0,1, 1 ) ] d) U, W Questão1 Sejam os vetores u (, 1,4 ), v ( 1,1, ) t ( 4, 5,8 ) e de a) Encontre uma base para S [ u, v, t] c) O vetor (1,0,-) pertence a S? d) Seja Y [( 0,7,0) ] R ; b) Escreva as equações que caracterizam S; Determine Y S Questão1 Diga quais dos seguintes vetores abaixo pertencem a W [(, 1, 0, ), (, 1, 5, ), ( 1, 0,, 1 )] a) (,, 7, ) b) ( 0, 0, 0, 0 ) c) ( 1, 1, 1,1 ) Questão14 Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo a) Dois vetores são LD se, e somente se, um deles é múltiplo do outro ( ) b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores LD é LD ( ) c) Um subconjunto de um conjunto LI pode ser LD ( ) d) Se w1 [ w, w ], então { w1, w, w é LD ( ) e) Se [ w1, w ] [ w1, w, w ], então { w1 w, w { w, w, w é LI, então [ w, w ] [ w, w, w ] f) Se 1, é LD ( ) ( ) 1 1 4

5 Questão15 Dê, se possível, exemplos de conjuntos pedidos abaixo Caso seja impossível, justifique sua resposta a) Um conjunto LI com vetores de R b) Um conjunto LI com vetores que geram o R c) Um conjunto LI de R que contenha o conjunto {(1,,), (0,0,0) d) Uma base de R contendo os vetores {(,4,-6), (-1,1,-) M R de dimensão e) Um subespaço vetorial de ( ) f) Uma base do R que contenha o conjunto (,, ),(,,) Questão16 Considere os seguintes subespaços de M ( R ) : a b W1 tais que a + d 0 e b + c 0 c d e a b W tais que a + c 0 e b + d 0 c d Determine: a) o subespaço W1 W ; b) uma base para cada subespaço W1, W, W1 W ; c) dim( W 1 + W ) 4 Questão17 Sejam U e W subespaços vetoriais de R Sabendo que U W [(1, 1,,0),(,1, 1,0),(1,,1,0)], dim( U + W ) e {(1,,1,0),(0,1,1,0) é uma base de U, determine a dimensão de W 5 Questão18 Se U e W são subespaços vetoriais de R, tais que 5 W x, y,z,t,u R ;y + 4z 6t 0 e z 0, dim ( U W ) 0 e dim ( U + W ) 5, determine a dimensão de U {( ) 5

6 Q1 a1) sim a) não a) não a4) não b1) não b) sim b) não b4) não c1) sim c) não c) sim c4) não Q a) b) (, 7) (, ) + (, ) c) não é possível d) ( 4 5, 1) 1111 (,, ) 1( 1,, 0) + (,, 1) Q b) [ ] ( ) 1 v, v x, y, z R, x + y + z 0 c) sim Q4 a) ( ) ( ) Q5, e) não é possível α α + α α R b) 10 + ( 7) c) Não é possível a) (, 1, ) b) ( 1 0) ( 0 1) Q6 k 0 e k 1,,,,, c) Q7 a) LI b) LD c) LD d) LI , d) 0 0 Q8 a) i) LD ii) não iii) não c) i) LD ii) não iii) não b) i) LD ii) sim iii) não d) i) LI ii) não iii) não Q9 a) B {( 1,0,0 ), ( 0,1,0 ), ( 0,0,1 ), dim( W ) b) B, dim( W ) Q10 c) B ( W) ,,, dim a) ( ) {,,, 0 W x y z x + y z c) ( ) 1 0 R b) ( ) {,, R, 0 W x y z x + z W M R, x + y z 0 e w 0 d) W ( x, y) R, x + y 0 U W x, y,z, x + y 0 e x + z 0 B 1, 1, 1 Q11 a) ( ) R {( ) U W b) U W ( x, y,z) R, x0 e z0 B {( 0,1,0 ) c) ( ) { 0 U W x, y,z, x, z y Respostas U W R B {( 0,1,1 ) U W 1 d) U W M ( ); x w 0, y w 0, z w 0 z w R 1 1 BU W 1 1 6

7 Q1 a) B {( 1,1, ), ( 0,1,0 ) b) S ( x, y,z) Q1 Somente (a) e (b) { R, x z 0 Q14 a) V b) V c) F d) V e) V f) F Q15 a) Impossível, poisr admite, no máximo, dois vetores LI b) Impossível, pois dois vetores LI somente geram um plano no c) Impossível, pois este conjunto é LD (possui o vetor nulo) d) Possível, pois os vetores são LI M R 4 e) Possível, pois dim ( ) f) Impossível, pois o conjunto é LD Álgebra Linear Espaço Vetorial c) não d) Y S Y, pois Y S R α α 1 1 Q16 a) W 1 W α R α α b) Uma base de W 1 :, uma base de W : c) dim(w 1 W ) e uma base de W 1 W : Q17 17 dimw Q18 dimu 7