INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 7 ISOMORFISMO

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1 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR CAPÍULO 7 ISOMORFISMO A pergunta inicial que se faz neste capítulo e que o motiva é: dada uma transformação linear : V W é possível definir uma transformação linear que seja inversa de existe a transformação linear :W V? Serão dados a seguir definições e resultados que permitam responder a esta pergunta Primeiramente recordar-se-ão três definições importantes sobre funções reais de uma variável real para em seguida estendê-las às transformações lineares Definições: Dados dois subconjuntos não vazios de R A e B e uma função f de A em B define-se: y = f ( x é injetora se f ( x f ( x x = x = y = y x = x Isto significa que cada y pertencente ao conjunto Im ( f é imagem de um único x do domínio de f Equivalentemente tem-se: x x f( x f ( domínio de f têm imagens diferentes x Assim elementos distintos do y = f ( x é sobrejetora se y CDf ( x Df ( / y = f ( x isto é: ( f CDf ( Im = Isto significa que todo elemento de B é imagem de pelo menos um x do domínio de f Aqui D ( f e ( f CD denotam respectivamente o domínio e o contradomínio de f Quando a função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora diz-se que ela é bijetora Assim tem-se: a função f de A em B é uma bijeção (ou bijetora se todo elemento de B é imagem de um único elemento de A Apresentam-se agora as definições análogas para transformações lineares Definição: Dados dois espaços vetoriais não vazios V e W diz-se que uma transformação linear :V W é injetora se ( v = ( v v = v v v V Equivalentemente temse: v v ( v ( v Isto significa que cada w pertencente ao conjunto Im ( é imagem de um único v do domínio de Assim elementos distintos do domínio de têm imagens diferentes Definição: Dados dois espaços vetoriais não vazios V e W diz-se que uma transformação linear : V W é sobrejetora se w CD ( v D ( /w = ( v isto é:

2 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Im = CD = ( ( W Isto significa que todo elemento de W é imagem de pelo menos um v do domínio de Aqui D ( e ( CD denotam respectivamente o domínio e o contradomínio de Definição: Dados dois espaços vetoriais não vazios V e W diz-se que uma transformação linear : V W é bijetora se é injetora e sobrejetora Exemplo: considere-se a transformação linear : R R definida por: ( v = ( xy = ( x + y x para todo = ( x y R v Afirma-se: é bijetora Para ver que essa afirmação é verdadeira deve-se mostrar que é injetora e sobrejetora omando-se dois elementos v = ( x e ( x y v = y no domínio de tem-se: ( v = ( x y = ( x + y x e ( v ( x y = ( x + y x y Então: ( v ( v ( x + y x = ( x + y x = y de onde se obtém o sistema linear: = y x x + y = x = x + y Resolvendo-se esse sistema conclui-se que x = x e y = y conclui-se que v = v e portanto é injetora CD = R é Para mostrar que é sobrejetora deve-se mostrar que todo elemento de ( imagem de pelo menos um elemento de D ( = R isto é deve-se mostrar que ( = R Im Um elemento w = ( xy pertencente ao conjunto Im ( é escrito na forma w ( x + y x Então vem: ( + y( v = x o conjunto B = {( ( } é uma base de ( do R Logo Im ( sobrejetora ( =dimr ( = Im Entretanto B também é uma base dim Como Im ( R conclui-se que Im ( = R Sendo injetora e sobrejetora segue-se que é bijetora é Serão enunciados a seguir teoremas que auxiliarão a verificar se uma transformação linear é ou não bijetora eorema : Seja : V W uma transformação linear Então é injetora se e somente se ( = { 0} Ker Demonstração: (i Condição necessária

3 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Hipótese: : V W é uma transformação linear injetora ese: Ker ( = { 0} Seja v Ker( ; então ( v ( 0 e portanto segue-se que ( v = ( 0 conclui-se que (ii Condição suficiente Hipótese: Ker ( = { 0} ese: é injetora Sejam v ( = { 0} Mas sendo uma transformação linear sabe-se que Ker uv V tais que ( u = ( v Então: ( u ( v de onde vem que ( u v isto é u v Ker( Como por hipótese ( = { 0} u = v Portanto é injetora Mas por hipótese é injetora e portanto Ker conclui-se que u v Exemplo: considere-se novamente a transformação linear : R R ( v = ( xy = ( x + y x para todo = ( x y R v a qual é injetora omando um elemento u ( xy Ker( ( u ( xy segundo membro da igualdade é o vetor 0 ( 0 0 ( xy ( x + y x = ( 00 x + y x = tem-se: definida por: ressaltando que neste caso o elemento 0 que figura no = Assim vem: de onde se segue que x = y u Conclui-se assim que o único elemento que pertence a Ker ( é o vetor nulo isto é Ker ( = { 0} ou equivalentemente ( {( 00 } eorema : Seja Ker = : V W uma transformação linear injetora Se { v v Lv n } são vetores LI de V então { ( v ( v L( } Demonstração: Hipóteses: v n são vetores LI de W : V W é uma transformação linear injetora; { v v L vn} V são LI ese: { ( v ( v L( v } W n são LI Considerem-se os escalares α α L α n K tais que: ( v α ( v + + α ( 0 α + L n v n = ; sendo uma transformação linear pode-se escrever: ( v α v + + α 0 α + L n v n = Como é injetora segue-se que:

4 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR α v + α v + L + α n v n v n LI segue-se que α = α = L = αn e portanto Sendo { v v L } { ( v ( v L( } v n são LI Exemplo: considere-se uma vez mais a transformação linear : R R definida por: ( v = ( xy = ( x + y x para todo = ( x y R e os vetores v = ( e v = ( 0 ( v = ( = ( + = ( v os quais são LI em-se: e ( v = ( 0 = ( = ( Verificar-se-á que os vetores obtidos ( v = ( e ( v ( = são LI Para isso escrevese a equação abaixo onde a e b são escalares: ( v + b( v 0 a = ( + b( ( 0 0 a = ou ainda ( a b a + b = ( 00 + de onde se obtém o sistema linear a + b a + b cuja solução é = b a Assim conclui-se que ( e ( v v são LI eorema : Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K sendo V de dimensão finita e : V W uma transformação linear Então: ( V dimim ( ( dim( Ker( dim = + Demonstração: Hipóteses: V e W são espaços vetoriais K; V tem dimensão finita; : V W é transformação linear ese: dim ( V = dimim ( ( + dim( Ker( Supondo-se que dim ( Ker( 0 considere-se { u uun} V uma base de ( Ker Podese completar esse conjunto de modo a obter uma base de V Sejam { v v v } V que { u uunvv v m } é uma base de V Então dim ( V n + m { ( v ( v L( v m } é uma base de Im ( (a O conjunto { ( v ( v L( v m } gera Im ( isto é: Im( = [ ( v ( v L( ] v m De fato tomando-se w Im ( existe v V tal que ( v w = m tais = Mostrar-se-á que Sendo um elemento de V v é uma combinação linear dos vetores da base de V Logo existem

5 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR i n α j j m tais que: escalares β ( e ( i v β β β α α + α = u + u + L + nun + v + v + L mvm Então: ( v = ( β u + β u + + β u + α v + α v + + α v w = L n n L m m isto é ( v = β ( u + β ( u + + β ( u + α ( v + α ( v + + α ( v w = L n n L m m Como os vetores ( i n pertencem a Ker ( tem-se que ( u = ( i n u i portanto w = α ( v + α ( v + L + α ( m v m Conclui-se assim que { ( v ( v L( v m } gera Im ( (b Deve-se mostrar agora que β ( i n ( v ( v L( i i 0 e que os vetores v m são LI Para isso tomam-se escalares α α L αm tais que: ( v α ( v + + α ( 0 α + L m v m = Dessa equação pode-se escrever: ( v α v + + α 0 α + L m v m = de onde se segue que α v + α v + L + α v Ker( m m e portanto é uma combinação linear β i tais que: dos elementos da base deste espaço existem escalares ( i m α α α β β + β v + v + L + mvm = u + u + L mum α α + L + α v β u β u L β u 0 v + v m m m m = β e Como { u uunvv v m } é uma base de V segue-se que i ( i n α ( i n Portanto { ( v ( v L( } i De (a e (b segue-se que ( Im ( m dim ( Im ( + dim( Ker( = m + n = dimv ( o que prova o teorema v m é LI dim = e vem: Corolário: Nas hipóteses do teorema anterior se dim ( V = dimw ( são equivalentes: (i é sobrejetora (ii é bijetora (iii é injetora (iv leva uma base de V em uma base de W Demonstração: as seguintes afirmações (i (ii Hipóteses: ( V dimw ( ese: é bijetora dim = e é sobrejetora De fato por hipótese Im ( = W e portanto dim ( Im ( dimw ( = dimv ( = Pelo teorema

6 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR dim V dimim + dim Ker anterior tem-se que ( = ( ( ( ( de onde se conclui que ( Ker( Ker ( = { 0} Pelo eorema segue-se que é injetora e portanto é bijetora dim (ii (iii Hipóteses: ( V dimw ( dim = e é bijetora ese: é injetora Se é bijetora então é injetora (iii (iv Hipóteses: ( V dimw ( dim = e é injetora ese: leva uma base de V em uma base de W Seja B = { v v L } uma base de V Mostrar-se-á que { ( v ( v L( } base de W v n B = v n é uma Uma vez que é injetora B tem tantos vetores quanto B Dessa forma resta mostrar que é LI Considerem-se então escalares ( i n B ( v α ( v + + α ( 0 α + L n v n = α i tais que: Sendo uma transformação linear pode-se escrever: ( v α v + + α 0 α + L n v n = ; sendo injetora tem-se que v + α v + + α n v n α L e como B { v v L } de V segue-se que α ( i n Portanto { ( v ( v L( } i = v n é base B = v n é base de W (iv (i Hipóteses: ( V dimw ( ese: é sobrejetora De fato seja dim = e leva uma base de V em uma base de W w W omando uma base B = { vv Lv n } de V segue-se por hipótese que { ( v ( v L( } B = v n é uma base de W Logo w é uma combinação linear dos elementos α i tais que: desta base isto é existem escalares ( i n ( v + α ( v + α ( α + w = L n v n ( α v + α v + + α w = L n v n Isso mostra que w Im ( e portanto é sobrejetora eorema 4: Se V e W são espaços vetoriais de dimensão finita e transformação linear então: (a Se dim ( V > dimw ( (b Se dim ( V < dimw ( então não é injetora então não é sobrejetora : V W é uma Demonstração: (a Hipótese: dim ( V > dimw (

7 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR ese: não é injetora Demonstrar-se-á a seguinte afirmação equivalente à (a: Se é injetora então dim( V dimw ( é injetora Ker ( = { 0} ( Ker( De fato têm-se as seguintes equivalências: dim Por outro lado pelo eorema tem-se: dim ( V = dimim ( ( + dim( Ker( Assim segue-se que dim ( V = dimim ( ( Como dim( Im ( dimw ( segue-se que ( V dimw ( o que demonstra a afirmação (b Hipótese: dim ( V < dimw ( ese: não é sobrejetora dim De modo análogo demonstrar-se-á a seguinte afirmação equivalente: Se é sobrejetora então dim( V dimw ( De fato sendo sobrejetora tem-se que Im ( = W e portanto dim ( Im ( = dimw ( Do eorema tem-se: ( V = dimim ( ( dim( Ker( dim + dim ( V dimw ( + dim( Ker( dimw ( = O que demonstra a afirmação As afirmações (a e (b do eorema 4 asseguram o seguinte resultado: eorema 5: Se uma transformação linear : V W é bijetora então dim ( V = dimw ( Exemplos: Considere-se novamente a transformação linear : R R definida por: ( v = ( xy = ( x + y x para todo v = ( x y R utilizando-se os resultados dos teoremas anteriores Sendo V =W = R tem-se que ( V dimw ( pertença ao núcleo de deve-se ter ( v ( v ( xy = ( x + y x ( 00 = = x + y x de onde se obtém que = y dim = Seja ( isto é: x Portanto Ker ( = { 0} Mostrar-se-á que é bijetora v = x y R é injetora Pelo Corolário do eorema conclui-se que é bijetora ; para que esse elemento ; assim pelo eorema segue-se que

8 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR : P R M R uma transformação linear definida por: Seja ( ( ( a0 a 0 a0 + at + at = 0 a a Pergunta-se: (a é sobrejetora? (b é injetora? (c Quais são as dimensões dos espaços Ker ( e ( (a Uma vez que dim ( P ( < dim( ( R R M Im? conclui-se pelo eorema 4 que não é sobrejetora (b Seja p ( t = a + at + a um elemento de Ker ( Então ( pt ( 0 t ( a0 a a0 + at + at = = 0 a a 0 0 de onde vem que: a0 a a a resultando em a 0 a = a p ( t a0 + a0t + a0t = a0( + t + t Portanto { t + t } = Logo todo elemento ( t Ker( = Logo pelo eorema concluise que não é injetora + é base de Ker ( isto é dim ( Ker( = isto é: p é da forma: (c Conforme se viu em (b dim ( Ker( = Para determinar dim ( Im ( igualdade: ( P ( R = dim( Ker( dimim ( ( dim + ; como dim ( P ( R e dim ( Ker( = segue-se que ( Im ( = = dim utiliza-se a Definição: Dados dois espaços vetoriais não vazios V e W diz-se que a transformação linear : V W é um isomorfismo se é bijetora Observação: quando V = W :V V é um operador linear bijetor então é chamado de um automorfismo Definição: Seja : V W um isomorfismo Então a aplicação inversa :W V é também um isomorfismo tal que o = o = Id Observação: quando um operador linear é inversível ou invertível ou regular ou não singular : V V admite o operador inverso diz-se que Exemplos:

9 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Considere-se o operador linear : R R ( xy a ( x x + y Mostrar que é inversível e determinar Para mostrar que é inversível mostrar-se-á que é bijetora O núcleo de é constituído dos elementos ( x y tais que ( xy ( 00 ( xy ( 0 0 ( x x + y ( 0 0 = = isto é x x + y = ou seja: Esse sistema apresenta apenas a solução trivial ( 0 0 Conclui-se assim que Kert ( = {( 00 } e portanto é injetora Por outro lado tem-se: ( Im ( = dim( R dim( Ker( = 0 = dim De acordo com o Corolário do eorema segue-se que é bijetora e portanto admite inversa Determinar-se-á agora ( x y = ( ab = ( a b a + b de onde se segue que: a b = x a + b = y a b = x 7b = x + y isto é b = x + y 7 7 a = x + y 7 7 Portanto: 7 7 Para isso seja ( xy = ( ab Então: 7 7 ( xy = x + y x + y : P R R a transformação linear definida por: Seja ( ( a0 at + at = ( a0 + aa aa0 + a a + + Verificar se é um isomorfismo Em caso afirmativo determinar o isomorfismo inverso Determinar-se-á o núcleo de para verificar se é injetora Considere-se assim um

10 elemento INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR a 0 + at + at de Ker ( Então ( a0 + at + at ( a a a a a + a + a = ( Obtém-se assim o sistema linear: a0 + a a a a0 + a + a do qual se conclui que a0 a = a injetora Uma vez que dim P ( R = Logo Ker ( = { 0} ( = dim( R = sobrejetora e assim é um isomorfismo Pelo eorema segue-se que é segue-se do Corolário do eorema que é Quer-se determinar agora o isomorfismo inverso : R P ( R de é o espaço vetorial P ( R tem-se: ( xyz = a + at at 0 + Então: ( ( xyz = ( a0 + at at + ( xyz = ( a0 + at at o + Sendo e Como o contradomínio ( isomorfismos inversos tem-se que ( x yz ( a0 + at + at = Pela definição de vem: ( x y z ( a + a a a a + a + 0 a de onde se segue que x = a y = a z = a a a + a + a o = Id e portanto Resolvendo-se esse sistema para obter os coeficientes a 0 a e a vem: a0 = x z a = x + y + z a = x + z Substituindo-se esses coeficientes na expressão de isomorfismo inverso procurado: ( xy z = ( x z + ( x + y + z t + ( x z + t dada por ( obtém-se finalmente o Observação: nos exemplos anteriores determinou-se o núcleo de isto é Ker ( para verificar se a transformação linear era ou não injetora Um erro muito comum que se observa

11 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR é considerar Ker ( contido no espaço de chegada da transformação Ressalta-se que ( um subespaço do domínio da transformação No exemplo anterior tem-se ( P ( R Ker é Ker Assim os elementos de Ker ( são polinômios de grau menor ou igual a os quais são levados por no vetor nulo 0 R Considere-se o operador linear : R R ( 0 ( 00 ( 0 = ( 0 0 e ( = ( 0 = sabendo-se que ele existe Pela definição de operador inverso tem-se: ( 00 = ( 0 ( 0 0 = ( 0 ( 0 = ( Observe-se que {( 00 ( 0 0 ( 0 } cada um desses vetores pela aplicação Com esse objetivo expressa-se ( y z ( xy z a( 00 + b( 00 + c( 0 ou seja: = ( x y z ( a c b + c = de onde se segue: x = a y = c z = b + c e portanto a = x c = b = z Então tem-se: é uma base de ( xy z x( 00 + ( z( ( ( 0 = Portanto tem-se: ( xy z = [ x( ( z( 00 + ( ( 0 ] Uma vez que é uma transformação linear vem: com as seguintes características: Determinar o operador inverso ( R e que se conhece a imagem de O que se quer é calcular ( xy z x como combinação linear dessa base isto é: ( xy z = [ x( 0 0 ] + [( z( 00 ] + [( ( 0 ] ou ainda ( xy z = x ( ( z ( ( ( 0 De ( vem: ( xy z = x( 0 + ( z( 0 + ( (

12 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR de onde se conclui que ( xy z = ( x z x + y z que é a expressão de que se procurava 4 Seja : R R definida por: ( xy = ( x x + y Verificar se é um automorfismo Observe-se inicialmente que o enunciado não afirma que é uma transformação linear Assim é necessário antes de utilizar os resultados enunciados anteriormente que se faça essa verificação que será deixada a cargo do leitor Uma vez que se tenha mostrado que é uma transformação linear verificar-se-á se é bijetora Para verificar se é injetora determina-se seu núcleo; seja ( xy Ker( ( xy ( 00 = ( x y x + y = ( 0 0 Então: de onde vem que: x x + y A resolução desse sistema linear leva à solução x = y e portanto conclui-se que Ker ( = { 0} o que acarreta que é injetora Como os espaços de saída e de chegada de são iguais eles têm a mesma dimensão; conclui-se assim que é sobrejetora e portanto bijetora Assim é um automorfismo Definição: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos se existir um isomorfismo entre eles Exemplos: O espaço vetorial R = {( xy / x y R} complexos C = { x + yi / x y R} : R C ( xy a x + yi é isomorfo ao espaço vetorial dos números pois por exemplo a transformação linear é um isomorfismo esses espaços são isomorfos A aplicação transforma plano complexo C R no O espaço vetorial R Observese que W é o plano { } R é isomorfo ao subespaço W = ( xy z R / z do Oxy R chamado plano horizontal

13 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR De fato a aplicação linear : R W ( xy a ( xy 0 é bijetora pois a cada vetor ( x y R corresponde um único vetor ( xy W 0 e reciprocamente Assim é um isomorfismo e portanto R e W são isomorfos Denota-se: R W eorema 6: Dois espaços vetoriais V e W sobre um mesmo corpo K são isomorfos se e somente se eles têm a mesma dimensão Demonstração: (i Condição necessária Hipótese: V e W são espaços vetoriais sobre K isomorfos ese: V e W têm a mesma dimensão Sendo V e W isomorfos existe um isomorfismo : V W entre eles Se é bijetora então pelo eorema 5 segue-se que ( V dimw ( (ii Condição suficiente Hipótese: dim ( V = dimw ( ese: V e W são isomorfos É imediato pois se dim ( V = dimw ( esses espaços são isomorfos dim = então existe um isomorfismo entre V e W e portanto Exemplo: Sejam W e U subespaços dos espaços vetoriais reais R e P ( R respectivamente definidos por: W = {( xy z R / x + z } e a + at + at P ( R (a Mostrar W e U são isomorfos b Determinar um isomorfismo entre W e U { 0 / a0 + a } U = a (a Pelo eorema 6 para mostrar que W e U são isomorfos basta mostrar que eles têm a mesma dimensão Pode-se escrever: W = {( y zy z R yez R} Como ( y zy z = y( 0 + z( 0 então o conjunto B {( 0 ( 0 } sistema de geradores LI de W B é uma base de W Logo ( W = Por outro lado o subespaço U pode ser escrito na forma: {( a + a + at + at a a R} U = em-se: ( a + a + at + at = a ( + t + a ( + t então o conjunto C { + t + t } ; = forma um dim = forma um sistema de geradores LI de U C é uma

14 base de U Logo ( Como dim ( W = dim( U = INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR dim U = conclui-se pelo eorema 6 que U e W são isomorfos (b Para se determinar um isomorfismo entre W e U deve-se determinar uma transformação linear bijetora :W U Observe-se que todo vetor de ( xy z Wé gerado pelos vetores da base B ou seja: ( xy z y( 0 + z( 0 Fazendo-se: = ( 0 = t e ( 0 = + t + tem-se: ( xy z ( y( 0 + z( 0 isto é = ( xy z y( 0 + z( 0 = ( xy z y( + t + z( t = + Obtém-se assim a aplicação ( ( linear pois: para quaisquer vetores w = ( x y e ( x y xy z = + z + yt + zt a qual é uma transformação z w = z pertencentes a W tem-se: ( w w = ( x + x y + y z + = = ( + z + z + ( y + y t + ( z + z = = + z ( + z + y t + z t + ( + z + y t + z t = ( w + ( w para qualquer vetor ( xy z t w = de W e para qualquer número real α tem-se: ( α w = ( αx αy αz = ( αy + αz + αyt + αzt = ( + z + yt + zt α( w α = Determina-se agora o Ker ( Seja um vetor ( y z Ker( ( xy z 0 + 0t 0t = + isto é ( y + z + yt + zt + 0t + 0t de onde se segue que: + z y z Como todo vetor de W deve satisfazer a condição tem-se que Ker ( = {( 0 00 } que dim ( W = dimu ( é um isomorfismo x Então: x = y z conclui-se que x Portanto Pelo eorema conclui-se que é injetora e portanto tem-se o que acarreta que e bijetora pelo Corolário do eorema Portanto

15 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Exercícios Propostos a c b d Seja = ( a + bb + cc + da + b + c isomorfismo e determinar o isomorfismo inverso Seja ( xy z ( x + z x zy uma transformação linear Mostrar que é um xy zt + t = x + y t R: ( x + t x + z t = um operador linear Mostrar que é um automorfismo e x + y = x z determinar o automorfismo inverso R: ( y xy z Dada a transformação linear ( xy z = ( x x y z z Determinar ( Im ( dim ( Ker( é um isomorfismo? Por quê? R: dim ( Ker( ; dim ( Im ( = dim e ; não é um isomorfismo 4 Se ( ( ( ( xy z = x + y z + x t + y z t é o isomorfismo inverso de determinar e seus espaços de saída e de chegada a + a t + a t a = 0 a a a a a a R: ( 0 0 a 0 : P R R ; ( 5 Sabendo que é um automorfismo do e ( R e que ( 0 = ( 0 = determinar as expressões de e de x + y x R: ( xy = ( x + y x ; ( = y xy