OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO)

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1 ! #" $ %$!&'%($$ OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO) Neste texto apresentaremos dois teoremas de estrutura para módulos que são artinianos e noetherianos simultaneamente. Seja R um anel. Todos os módulos aos quais este texto se refere serão R-módulos à direita. Definição. Seja M um módulo e seja 1. SÉRIES DE COMPOSIÇÃO (S) 0 ) M r * M r+ 1 *-,.,!,/* M 1 * M 0 ) M uma seqüência finita de submódulos de M. Um refinamento (S ) de (S) é uma seqüência finita de submódulos (S ) 0 ) N s * N s+ 1 *0,!,.,/* N 1 * N 0 ) M, tal que para todo i ) 1,..., r, existe um j ) 1,..., s para o qual M i ) N j. Dizemos que (S ) é um refinamento próprio de (S) se existir algum j tal que N j ) 1 M i, qualquer que seja i ) 1,..., r. Definição. Uma seqüência finita (C) 0 ) M r 2 M r+ 1 2,.,!, 2 M 1 2 M 0 ) M de submódulos de um módulo M chama-se série de composição para M se (C) não admitir refinamentos próprios. Definição. Um módulo M é simples se M ) 1 0 e se seus únicos submódulos forem 0 e M. Proposição 1. Uma seqüência finita 0 ) M r * M r+ 1 *-,.,!,/* M 1 * M 0 ) M de submódulos de um módulo M é uma série de composição para M se e somente se M i3 M i4 1 forem módulos simples para todo i ) 0,..., r 5 1. Por exemplo, se V é um espaço vetorial de dimensão finita n sobre um corpo e se C v 1,..., v nd é uma base para V, então 0 ) V n 2 V n+ 1 2,.,!, 2 V 1 2 V 0 ) V, C ) 5 onde V i é o subespaço gerado por v 1,..., v n+ id, para todo i 0,..., n 1, é uma série de composição para V. 6879:<;=>;?A@. Encontre uma série de composição para E 30 como E -módulo. 1

2 2 OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO) Teorema 2. Seja M um módulo não nulo. Então M admite uma série de composição se, e somente se, M for artiniano e noetheriano. Demonstração. Suponha que M seja artiniano e noetheriano. Como M é noetheriano, M contém um submódulo M 1 maximal. Uma vez definida uma seqüência de submódulos M s *,.,!, * M 1 * M 0 ) M com fatores M i3 M i4 1 simples, se M s ) 1 0, tome um submódulo maximal M s4 1 de M s para prosseguir. Como M é artiniano, esse processo termina em um número finito de passos, dando origem a uma série de composição para M. Reciprocamente, suponha que M tenha uma série de composição. Procederemos por indução no comprimento r de uma série de composição para M de comprimento minimal. Se r ) 1, então M é simples e, portanto, artiniano e noetheriano. Suponha que r 1 e seja 0 ) M r 2 M r+ 1 2,!,!,8* M 1 2 M 0 ) M uma série de composição de comprimento r para M. Então M 1 tem uma série de composição de comprimento r 5 1 e, por hipótese de indução, M 1 é artiniano e noetheriano. Como M3 M 1 é também artiniano e noetheriano (pois é simples), segue que M é artiniano e noetheriano. Definição. Seja M um módulo e sejam (S) 0 ) M r * M r+ 1 *-,.,!,/* M 1 * M 0 ) M e (S ) 0 ) N s * N s+ 1 *0,.,!, * N 1 * N 0 ) M duas seqüências finitas de submódulos de M. Dizemos que (S) e (S ) são equivalentes se r ) s e se existir uma permutaçãoσ do conjunto C 0, 1,..., r 5 1D tal que M i3 M i4 1 ) N σ i 3 N σ i 4 1, para todo i ) 0,..., r 5 1. Lema 3 (Lema de Zassenhaus). Seja M um módulo e sejam N, N, P, P submódulos de M tais que N * P e N * P. Então N P N P P N ) P P N P N P ) N P P N P N Demonstração. O Segundo Teorema do Isomorfismo aplicado aos submódulos N e P P fornece o seguinte isomorfismo: N P P P P ). N N P Nesse isomorfismo, o submódulo N4 P N N do quociente do lado esquerdo corresponde ao submódulo N P 4 N P N P do quociente do lado direito. Logo, pelo Terceiro Teorema do Isomorfismo, N P N P P N ) P P N P N P O segundo isomorfismo do enunciado segue por simetria...

3 * * E OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO) 3 Teorema 4 (Teorema do Refinamento de Schreier). Sejam (S) 0 ) M r * M r+ 1 *-,.,!,/* M 1 * M 0 ) M e (S ) 0 ) N s * N s+ 1 *0,.,!, * N 1 * N 0 ) M duas seqüências finitas de submódulos de um módulo M. Então (S) e (S ) admitem refinamentos equivalentes. ) ) Demonstração. Para cada i 1,..., r e cada j 0,..., s, seja M i j o submódulo de M definido por Então, para cada i ) M i j ) M i+ 1 N j M i. 1,..., r, temos uma seqüência M i ) M is * M i,s+ 1 * M i,s+ 2 *0,!,., * M i1 * M i0 ) M i+ 1, que, por sua vez, origina o seguinte refinamento de (S): (T) 0 ) M rs *0,.,!,/* M r0 ) M r+ 1,s *0,!,.,/* M 21 * * M 20 ) M 1s *0,!,.,/* M 10 ) M. De maneira análoga, os submódulos N ji ) N j+ 1 M i N j, com j ) 1,... s e i ) 0,... r, dão origem a um refinamento de (S ): (T ) 0 ) N sr *0,!,., * N s0 ) N s+ 1,r *0,.,!,/* N 21 * * N 20 ) N 1r *0,.,!,/* N 10 ) M. Pelo Lema de Zassenhaus, temos M i, j+ 13 M i j ) Nj,i+ 13 N ji e portanto (T) e (T ) são equivalentes. Teorema 5 (Teorema de Jordan-Hölder). Seja M um módulo com série de composição. Então qualquer seqüência finita de submódulos de M sem repetições pode ser refinada a uma série de composição para M e quaisquer duas séries de composição para M são equivalentes. Demonstração. É uma conseqüência imediata do Teorema do Refinamento de Schreier. Vejamos uma aplicação do Teorema de Jordan-Hölder. Seja m um inteiro positivo e seja E m o E -módulo dos inteiros módulo m. Como E m é um E - módulo finito, ele tem uma série de composição. A uma fatoração m ) a 1 a 2,!,!, a r qualquer de m corresponde uma seqüência de submódulos me a 0 ) 1 a 2 E a 1 E me *-,.,!,/* ) E m me me me com fatores isomorfos a E 3 a i E. O Teorema de Jordan-Hölder nos garante, então, que toda fatoração de um inteiro positivo pode ser refinada a uma fatoração em primos, que duas fatorações têm o mesmo número de fatores e que os fatores são os mesmos, a menos de um fator inversível. Essa

4 4 OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO) última observação é conseqüência do fato de E 3 pe ) E 3 qe se, e somente se, p ) qu, para algum elemento inversível de E (isto é, u ) 1). Em outras palavras, o Teorema de Jordan-Hölder nos diz que E é um domínio de fatoração única. Seja M um módulo que admite uma série de composição. Pelo Teorema de Jordan-Hölder, o número de elos em uma série de composição de M é um invariante de M que será denominado comprimento de M e denotado por c M. Isto é, se 0 ) M r 2 M r+ 1 2,.,!, 2 M 1 2 M 0 ) M é uma série de composição para M, então c M ) r. Define-se o comprimento do módulo nulo por c 0 ) 0. Módulos que admitem série de composição são também chamados, na literatura, de módulos de comprimento finito. Corolário 6. Seja 0 L M N 0 uma seqüência exata de módulos. Então M tem comprimento finito se, e somente se, L e N tiverem comprimento finito e, neste caso, c M ) c L c N. Corolário 7. Seja M um módulo de comprimento finito e sejam L e N submódulos de M. Então c L N c L N ) c L c N. Lembremos que um endomorfismo de um módulo é um automorfismo se for bijetor (isto é, se for um isomorfismo). ) ) 6879:<;=>;?A@. Seja M um módulo de comprimento finito. Demonstre as afirmações abaixo. (i) Se N é um submódulo de M, então N M se e somente se c N c M. (ii) Seja f : M (a) f é um automorfismo; (b) f é injetor; (c) f é sobrejetor. M um endomorfismo de M. Então são equivalentes: 2. DECOMPOSIÇÕES EM SOMAS DIRETAS Seja M um módulo. Seja C N λ : λ D uma família de submódulos de M. O submódulo de M gerado por λ N λ é denotado por λ N λ e, como é fácil ver, é formado por todos os elementos da forma m 1 m 2,.,!, m r, onde r é um inteiro positivo e m j N λ j. Dizemos que M é a soma direta de C N λ : λ D se M ) λ N λ e para todo µ, temos N µ λ µ N λ ) 0. Denotamos esse fato da seguinte maneira: M ) λ N λ. Se o conjunto for finito, digamos,

5 OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO) 5 ) C 1,..., rd, escrevemos M ) M 1,.,!, M r e nos referimos a essa igualdade como uma decomposição de M em soma direta de submódulos. Seja M um módulo e suponha que M ) M 1,.,!, M r seja uma decomposição de M como soma direta de submódulos. Então cada elemento m M se escreve de maneira única na forma m ) m 1,.,!, m r, com m j M j, para todo j ) 1,..., r (Verifique). Agora, para cada j ) 1,..., r, considere as seguintes funções: π j : M 5 M j m 5 m j e ι j : M j 5 M x 5 x. Então, para cada j ) 1,..., r, π j é um homomorfismo sobrejetor, chamado projeção canônica sobre M j e ι j é um homomorfismo injetor, chamado inclusão canônica de M j. Proposição 8. Os homomorfismos canônicos definidos acima satisfazem as seguintes identidades: r ι j π j ) I M e π j ι k ) δ jk I Mk, j 1 1 se j ) k para todos j, k ) 1,..., r, onde δ jk ) 0 se j ) 1 k. Definição. Um módulo M é indecomponível se M ) 1 0 e não existirem submódulos não triviais N 1 e N 2 tais que M ) N 1 N 2. Um elemento r de um anel é nilpotente se r n ) 0 para algum inteiro positivo n. Um elemento e de um anel é idempotente se e 2 ) e. Se e, f são idempotentes em um anel, dizemos que e, f são idempotentes ortogonais se e f ) f e ) 0. Deste ponto em diante, o elemento identidade I M do anel End R M será denotado simplesmente por 1. Proposição 9. Seja M um módulo. (i) Seja M ) M 1,!,., M r uma decomposição de M em soma direta de submódulos. Sejam π 1,..., π r as projeções e ι 1,...,ι r as inclusões canônicas associadas a essa decomposição. Para cada j ) 1,..., r, seja e j ) ι j π j. Então os elementos e 1,..., e n são idempotentes dois a dois ortogonais de End R M tais que e 1,!,!, e n ) 1. (ii) Sejam e 1,..., e r idempotentes dois a dois ortogonais de End R M tais que e 1,!,., e r ) 1. Então M ) M 1,!,., M r, onde M i ) e i M, para todo i ) 1,..., r. Corolário 10. Um módulo M é indecomponível se e somente se 0 e 1 forem os únicos idempotentes de End R M.

6 6 OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO) Demonstração. Seja e End R M um elemento idempotente e seja f ) 1 5 e. Então e, f são idempotentes ortogonais e, pela Proposição 9, M ) M 1 M 2, onde M 1 ) e M e M 2 ) f M. Se e ) 1 0 e e ) 1 1, teríamos M 1 ) 1 0, M 2 ) 1 0 e, portanto, M não seria indecomponível. Reciprocamente, se M não fosse indecomponível, existiriam submódulos M 1 ) 1 0, M 2 ) 1 0 tais que M ) M 1 M 2. Pela Proposição 9, teríamos idempotentes e, f End R M tais que e ) 1 0, f ) 1 0 e e f ) O TEOREMA DE KRULL-SCHMIDT Lema 11 (Lema de Fitting). Seja M um módulo de comprimento finito e seja f End R M. Então existem submódulos M 0 e M 1 tais que M ) M 0 M 1, com f M 0 * M 0, f M 1 * M 1, f M 0 nilpotente e f M 1 um automorfismo. Demonstração. Temos M f M f 2 M.... Como M tem comprimento finito, existe r tal que f r M ) f r4 1 M. Analogamente, como 0 * ker f * ker f 2 *..., temos ker f s ) ker f s4 1 para algum s. Seja n ) max r, s. Então f k M ) f n M e ker f k ) ker f n, para todo k n. Sejam M 0 ) ker f n e M 1 ) f n M. É claro que f M 0 * M 0, que f M 1 * M 1 e que f n M 0 ) 0. Agora, para todo x M, temos f n x f n M ) f 2n M. Logo, existe y M tal que f n x ) f 2n y e, portanto, x 5 f n y ker f n. Assim, x ) x 5 f n y f n y M 0 M 1. Essa soma é direta, pois se x M 0 M 1, então x ) f n y para algum y M e, então, f 2n y ) f n x ) 0. Logo, y ker f 2n ) ker f n e x ) f n y ) 0. Finalmente, f M 1 é sobrejetora, pois f M 1 ) f n4 1 M ) f n M ) M 1. Logo f M 1 é um automorfismo. Dizemos que um anel R é um anel local se o conjunto formado pelos elementos não inversíveis de R for um ideal. Em um anel local os únicos idempotentes são 0 e 1, uma vez que se 0 ) 1 e R é um idempotente, temos e 1 5 e ) 0. Se e ) 1 1, e e 1 5 e seriam não inversíveis e, como R é local, 1 ) 1 5 e e seria não inversível. (Segue daí que se M é um módulo para o qual End R M é local, então M é indecomponível. Alguns autores denominam fortemente indecomponível todo módulo M para o qual End R M é um anel local.) Corolário 12. Seja M um módulo indecomponível de comprimento finito. Então todo endomorfismo de M ou é nilpotente ou é um automorfismo. Em particular, End R M é um anel local. Antes de demonstrar o Corolário acima, observemos o seguinte. Lema 13. Sejam M um módulo não trivial e seja N um módulo indecomponível. Se f : M N e g : N M são homomorfismos tais que g f é um automorfismo, então f e g são isomorfismos.

7 OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO) 7 Demonstração. Suponha que exista h End R M tal que h g f ) g f h ) I M. Então, por um lado, hg f ) I M e f hg 2 ) f hg f hg ) f hg, isto é, f hg é um idempotente de End R N. Como f hg ) 0 implicaria I M ) hg f ) hg f 2 ) 0, segue f hg ) I N, pelo Corolário 10. Logo f é um isomorfismo e, portanto, g ) g f f + 1 é um isomorfismo. Demonstração do Corolário 12. Dado f End R M, temos uma decomposição M ) M 0 M 1 com M 0 e M 1 satisfazendo as condições no Lema de Fitting. Como M é indecomponível, segue M 0 ) 0 e, neste caso, f é um automorfismo, ou M 1 ) 0 e f é nilpotente. Para mostrar que End R M é local é suficiente mostrar que se f, g End R M são tais que f g é inversível e g não é inversível, então f é inversível (Por quê?). Suponha, então, que exista um automorfismo h de M tal que f g h ) 1. Se g não é inversível, então, pelo Lema 13, gh não pode ser inversível. Logo gh é nilpotente. Digamos que gh n ) 0. Então 1 5 gh 1 gh gh 2,.,!, gh n+ 1 ) 1. Portanto f h é inversível, donde segue que f é inversível. Teorema 14 (Teorma de Krull-Schmidt). Todo módulo M de comprimento finito tem uma decomposição em soma direta de submódulos (D) M ) M 1,.,!, M r, onde, para cada i ) 1,..., r, M i é indecomponível. Além disso, essa decomposição é única a menos de isomorfismo, isto é, se M ) N 1,!,., N s é outra decomposição de M como soma direta de submódulos indecomponíveis, então s ) r e existe uma permutação σ do conjunto C 1,..., rd tal que M i ) Nσ i, para todo i ) 1,..., r. Demonstração. A existência de uma decomposição como em (D) pode ser demonstrada por indução em c M. Se c M ) 1, então M é simples e, portanto, indecomponível. Seja, agora, M um módulo de comprimento finito tal que c M 1. Se M não for indecomponível, então existem submódulos não triviais K e L tais que M ) K L. Como c K c M e c L c M, por hipótese de indução, K ) K 1,.,!, K n e L ) L 1,!,!, L m, com K i e L j submódulos indecomponíveis para todo i e todo j. Logo M ) K 1,!,., K n L 1,!,!, L m é soma direta de indecomponíveis. Seja, agora, (D) uma decomposição de M como soma direta de r submódulos indecomponíveis. Sejam π 1,..., π r as projeções e ι 1,...,ι r as inclusões canônicas associadas à decomposição (D). Suponha que M ) N 1,!,!, N s seja outra decomposição de M como soma direta de indecomponíveis. Sejam ρ 1,..., ρ s as projeções e µ 1,..., µ s as inclusões canônicas associadas a ela. Para cada i ) 1,..., r, seja h i ) ρ 1 ι i π i µ 1 End R N 1. Como N 1 é indecomponível, para cada i ) 1,..., r, h i é nilpotente ou um automorfismo. Mas r i 1 h i ) r i 1 ρ 1ι i π i µ 1 ) ρ 1 r i 1 ι iπ i µ 1 ) ρ 1 I M µ 1 ) ρ 1 µ 1 ) I N1. Logo, pelo menos um dos h i deve ser um automorfismo (Por quê?). Reenumerando os M i, se necessário, podemos supor que h 1 ) ρ 1 ι 1 π 1 µ 1

8 8 OS TEOREMAS DE JORDAN-HÖLDER E KRULL-SCHMIDT (SEGUNDA VERSÃO) ρ 1 ι 1 é um isomorfis- seja um automorfismo. Pelo Lema 13, segue que g 1 ) mo de M 1 sobre N 1. Afirmamos, agora, que (D ) M ) M 1 N 2,.,!, N s. Uma vez demonstrada a existência da decomposição (D ), teremos N 2,!,!, N s ) M3 M 1 ) M2,!,!, M r e o teorema segue por indução em r. (O caso r ) 1 é trivial.) Para verificar (D ), primeiramente, observe que, como g 1 é um isomorfismo, 0 ) ker g 1 ) M 1 ker ρ 1 ) M 1 N 2,!,., N s. Assim, é suficiente mostrar que N 1 * M 1 N 2,!,!, N s. Tome x N 1 e escreva x ) g 1 y para algum y M 1. Então ρ 1 x 5 y ) ρ 1 x 5 ρ 1 ι 1 y ) x 5 g 1 y ) 0. Logo x 5 y ker ρ 1 ) N 2,!,!, N s. E, portanto, x M 1 N 2,.,!, N s. 6879:<;=>;?A@. Sejam M, N módulos. Definimos o produto direto de M e N como sendo o produto cartesiano M N ) C m, n : m M, n ND, munido de uma estrutura de módulo dada por m 1, n 1 m 2, n 2 ) m 1 m 2, n 1 n 2 e m, n, r ) m, r, n, r, para todos m 1, m 2, m M, n 1, n 2, n N e r R. É fácil ver que as funções φ M : M 5 M N m 5 m, 0 e φ N : N 5 M N n 5 0, n são homomorfismos injetores. (i) Mostre que M N ) φ M M φ N N. (ii) Se L ) L 1 L 2 é uma decomposição de um módulo L em soma direta de submódulos, mostre que L ) L 1 L 2. (iii) Se M, N, L são módulos tais que M N ) M L, é verdade que N ) L? (iv) Mostre que se M, N, L são módulos de comprimento finito, então M N ) M L implica N ) L.