II Lista de Álgebra Linear /02 Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple

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1 . Verique se R com as operações denidas por: II Lista de Álgebra Linear - / Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple i. (x y) + (s t) (s y + t) onde u (x y) e v (s t) pertencem a R ii. α(x y) (αx y) onde α R e u (x y) R. é um espaço vetorial.. Mostre que R com as operações denidas por: i. (x y) + (s t) (x + s y + t) onde u (x y) e v (s t) pertencem a R ii. α(x y) (αx αy) onde α R e u (x y) e v (s t) pertencem a R. é um espaço vetorial.. Verique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V. (a) V R e W (x y z) R : x + y z (b) V R e W (x x x ) R : x + x (c) V P e W p P : p() p() (d) V M( ) e S X M det(x) (S é o conjunto das matrizes não-inversíveis) (e) V M( ) e F X M( ) AX XA (F é o conjunto das matrizes que comutam com a matriz A) (f) V P e W p(x) P : p(x)dx x y z (g) V R e W (x y z) R : det (h) V M e W A M : A A. a) Verique se o conjunto S A M( ); A é uma matriz anti simétrica é um subespaço vetorial de M( ). b) Considere o subconjunto de M dado por [ W M b a e d a. Verique se o subconjunto W é um espaço vetorial.. Sejam U a + bx + cx + dx P / a + b c + d e W p(x) P / p ( ) dois subespaços vetoriais de P. Determine U W. ( ) ( ) ( ) 6. Qual o subespaço gerado pelas matrizes e? 7. Considere o espaço vetorial P e o conjunto W p(x) P ; p (). (a) Verique se W é um subespaço vetorial de P. (b) Obtenha os geradores de W.

2 [ [ 8. Sejam U / a + b + c e W Determine os geradores de U W. / b + d dois subespaços vetoriais de M. 9. Verique se o conjunto W ( ) ( ) ( ) ( ) R é L.I ou L.D.. a) Se o conjunto β v v... v n é um conjunto Linearmente Independente então o o conjunto α v v... v n é LI ou LD? Justique sua resposta. b) Considere o subespaço N. Qual é ase e a dimensão de N.. Dado o conjunto W ( ) ( ) ( ) ( ) R extrair um subconjunto de vetores L.I.. Considere o subespaço de R gerado pelos vetores v ( ) v ( ) v ( ) e v ( ). (a) O vetor ( ) gerv v v v? Justique. (b) Exiba umase para gerv v v v. Qual é a dimensão deste espaço? (c) gerv v v v R? Por quê?. Exiba umase para cada subespaço determinado no exercício.. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M( ). [ (a) W [ (b) W Em caso armativo determine: i) umase para W W ii) W + W é soma direta? iii) W + W M( )? com R e b c e a b com R e b d. Considere os subespaços de R W (x y z t w) x + z + w x + w W (x y z t w) y + z + t e W (x y z t w) x + t + w. (a) Determine umase para o subespaço W W W. (b) Determine umase e a dimensão de W + W. (c) W + W é soma direta? Justique. (d) W + W R? 6. Considere os seguintes subespaços de P : U p P : p () e W p P : p () Determine dim(u + W ) e dim(u W ). 7. Considere o subespaço W de M( ) que é gerado pelas matrizes A [ [ A e o subespaço de M( ) U : a. 8 9 [ A [ e

3 (a) Determine umase e a dimensão de W. (b) Determine umase para U W. (c) Determine umase para U + W. 8. Sejam U ger( ) ( ) e V ger( ) ( ) subespaços gerados do R. Determine: (a) umase e a dimensão de U W. (b) U + W R? 9. Considere o seguinte subespaço de M( ) [ S M( ) : a + b c + d (a) Determine umase e indique a dimensão de S. (b) Construa umase de M( ) que contenha ase de S obtida no ítem a).. Determine a dimensão e encontre umase do espaço-solução do sistema x y + z x 6y + z x 9y + z. Sejam U e W subespaços de R de dimensão e respectivamente. Mostre que a dimensão de U W é pelo menos. O que ocorre se a dimensão de U W for? Pode ser? Justique sua resposta.. O conjunto A ( ) (a a ) ( a) é umase para um subespaço do R de dimensão se e somente se a? x + y + az. Seja S X M : AX o espaço solução do sistema x + ay + z. Determine os valores ax + y + z de a para os quais S seja: a própria origem; uma reta que passa pela origem; e um plano que passa pela origem.. Verique se as armações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras demonstre. Se forem falsas dê um contra-exemplo. (a) A interseção de dois subespaços vetoriais nunca é vazia. ( ) [( ) ( ) ( ) (b) A matriz pertence ao subespaço W. (c) Se os vetores u v e w são LI então os vetores u v v w e u w são LI s. (d) W [( ) ( ) é um plano no R que passa pela origem. (e) Se β v v v é umase de um espaço vetorial V então o conjunto A v + v v + v v + v + v é lineramente independente. (f) O subespaço W p P : p () e p ( ) é gerado pelos polinômios p e p 9x + x + x. (g) O conjunto v v v é sempre umase para o subespaço ger v v v. (h) Sejam β ( ) ( ) β ( ) ( ) β ) ( ) e β ( ) ( ) bases ordenadas de R.. Encontre a matrizes mudança de base: (a) i. [I β β ii. [I β β iii. [I β β iv. [I β β.

4 (b) Quais são as coordenadas do vetor v ( ) em relação à base i. β ii. β iii. β iv. β. (c) As coordenadas de um vetor u em relação à base β são dadas por [u β Quais as coordenadas do vetor u em relação à base: i. β ii. β iii. β 6. Sejam P p a + a x + a x + a x + a x a a a a a R α x x x x e β x x 8x 6x. [ (a) Determine [I α β.. (b) Se [p α determinar [p β (c) Determine o polinômio p cujas coordenadas são dadas no item b) acima. [ 7. Considere o seguinte subespaço de M : W d. Sejam α β [ [ [ [ [ [ (a) Detemine [I α β π (b) Se [v β e determine [v α. 8. Sejam α e β bases de R. Determine ase β sabendo que α ( ) ( ) ( ) e a matriz mudança de base de α para β é [I α β 9. Seja α ( ) ( ) onde β é também umase para um subespaço de M (a) Determine ase β. (b) Se [v β determine [v α. ( ) umase para um subespaço de M e [I α β. Seja E um espaço vetorial qualquer e α u u u umase de E. Considere ainda os vetores v u + u v u + u u e v u. (a) Determine a matriz S de mudança dase β v v v para ase α u u u. (b) Calcule as coordenadas do vetor w v + v v nase u u u.

5 . Sejam α e β bases de um espaço vetorial V ( ) (a) Mostre que det [I α β [Iβ α (b) Determine [I α α. Seja V um espaço vetorial e γ v v v v umase ordenada para V. (a) Mostre que β v v + v v + v + v v + v + v + v é umase para V. (b) Determine a matriz de mudança dase ordenada β para ase ordenada γ. (c) Determine a matriz de mudança dase ordenada γ para ase ordenada β. (d) Se o elemento v V tem como vetor de coordenadas [v γ ( ) em relação ã base ordenada γ determine o vetor de coordenadas em relação ã base ordenada β.

6 6 ALGUMAS RESPOSTAS DA TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS:. Não é espaço vetorial.. É espaço vetorial. a) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Sim f) Sim g) Sim h) Não. a) Sim b) Sim. Uma possibilidade de expressar U W é U W a + bx + cx + dx P / c a e b c d ou U W p(x) a + ( a d)x ax + dx ; a d R. [ 6. W M : a + b c + d 7. a) Sim b) W ger x x x 8. Uma das possibilidades é: U W ger 9. É LD... Um exemplo é W ( ) ( ) ( ). a) Sim [ [ b) β ( ) ( ) ( ) e dim W c) Não.. a) Uma das bases é: β ( ) ( ) c) Uma das bases é: β x x n x x n... x n x n e) Sim f) Uma das bases é: β x x x g)uma das bases é: β x h) Uma das bases é: β ( ) ( ) ( ). i) α ii) Não iii) Sim. a) Uma das bases é: β ( ) b) Uma das bases é: β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) Não d) Sim 6. dim(u + W ) e dim(u W ) 7. a) Uma das bases é: β b) Uma das bases é: β [ [ [ dim W

7 7 c) Uma das bases é: β [ [ [ 8. a) Uma das bases é:β ( ) dim(u W ) 9. a)umase é β [ b) Sim ( ) ( ) e dim S. ( ) ( ) ( ) ( ) b) Um exemplo é: β e dim W.. Umase é β. Verdadeiro. a) a a b) a a c) a. a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) F [. a) i) [I β β b) i) [v β c) i) [u β 6. a) [I α β 7. a) [I α β ( ) ( ) ii. [v β ii. [u β ii. [I β β [ ( ) ( ) + iii. [v β iii. [I β β ( iii) [u β b) [p β π + e b) [v α π e 8. β ( ) ( ) ( ) ( 9. a) ) ( ) ( ) β 6 b) [v α 7. a) [I β α b) [w α. b) [I α α I n [ 6 ) ( ) 6 iv. [I β β iv. [v β ( c) p(x) + x + x + x + x ) [