Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP"

Transcrição

1 Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Espaços Vetoriais 1 Definição; 2 Subespaços; 3 Combinação Linear, dependência e independência linear; 4 Base, dimensão e mudança de base de um espaço vetorial

2 Espaços Vetoriais Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V de elementos juntamente com duas operações e que satisfazem: 1 Se u e v são quaisquer elementos de V, então u v está em V (isto é, V é fechado em relação à operação ) a u v = v u, para u e v em V b u (v w) = (u v) w, para u, v e w em V c Há um elemento neutro 0 em V tal que u 0 = 0 v = u, para todo u em V d Para todo u em V, há um elemento u em V tal que u u = 0

3 Espaços Vetoriais Cont (2) Espaços Vetoriais: Propriedades para : 2 Se u é qualquer elemento de V e k é qualquer número real, então k u está em V (isto é, V é fechado em relação à operação ) a k (u v) = c u c v, c R e todos u e v em V b (k 1 + k 2 ) u = k 1 u k 2 u, k 1, k 2 R e todo u em V c k 1 (k 2 u) = (k 1 k 2 ) u, k 1, k 2 R e todo u em V d 1 u = u, para todo u em V Nota Os elementos de V são chamados de vetores; Os números reais são chamados de escalares; A operação é a soma de vetores; A operação é a multiplicação de vetores; O vetor 0 é o vetor nulo; O vetor u é o negativo de u; (1) é chamada de propriedade de fechamento de e (2) é chamada de propriedade de fechamento de V é fechada em relação às operações de soma de vetores ( ) e multiplicação por escalar ( )

4 Espaços Vetoriais Exemplos Exemplo (1) Considere o conjunto V de todas as ternas ordenadas de números reais do tipo(x, y, 0) e defina as operações e como: (x, y, 0) (x, y, 0) = (x + x, y + y, 0) k (x, y, 0) = (kx, ky, 0) Verifique se é um espaço vetorial (propriedades (1) e (2)) Lousa! Exemplo (2) Considere o conjunto V de todas as ternas ordenadas de números reais do tipo(x, y, z) e defina as operações e como: (x, y, z) (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) k (x, y, z) = (kx, y, z) Verifique se é um espaço vetorial Lousa! Exemplo (3) O cojunto de todas as matrizes m n, munido das operações de soma e multiplicação por escalar usuais, é um espaço vetorial, representado por M mn (Vide aula01 matrizespdf)

5 Exemplos (4) Seja F [a, b] o conjunto de todas as funções com valores reais definidas no intervalo [a, b] Se f e g estão em V, definimos f g por: (f g)(t) = f(t) + g(t) Se f está em F [a, b] e k é um escalar, definimos k f por (c f)(t) = kf(t) Então, F [a, b] é um espaço vetorial Da mesma maneira, o cojunto de todas as funções com valores reais definidas para todos os números reais, representado por F [, ], é um espaço vetorial Verifiquem!! Exemplo (5) Sejam p(t) = a n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0 e q(t) = b n t n + b n 1 t n b 1 t + b 0, definimos p(t) q(t) por: p(t) q(t) = (a n +b n )t n +(a n 1 +b n 1 )t n 1 + +(a 1 +b 1 )t+(a 0 +b 0 ) Se k é um escalar, definimos também k p(t) por: k p(t) = (ka n )t n + (ka n 1 )t n (ka 1 )t + (ka 0 ) Mostre que P n é um espaço vetorial

6 Nota: Considerações sobre Espaço Vetorial Escrevemos u v como u + v e k u como ku Teorema Se V é um espaço vetorial, então: a 0u = 0, para todo u em V ; b k0 = 0, para todo escalar k; c Se ku = 0, então k = 0 ou u = 0; d ( 1)u = u, para todo u em V

7 Subespaços Definição Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não-vazio de V Se W é um espaço vetorial em relação às operações em V, então W é chamado de um subespaço de V Exemplo (6) Todo espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e o subespaço {0} que consiste apenas no vetor nulo (note que 0 0 = 0 e k 0 = 0 em qualquer espaço vetorial) O subespaço 0 é chamado de subespaço nulo Exemplo (7) Seja W o subconjunto de R 3 que abrange todos os vetores do tipo (a, b, 0), onde a e b são quaisquer números reais, com operações usuais de soma e multiplicação de vetores por escalar Verifique se W é um subespaço de R 3

8 Subespaços (2) Teorema Seja V um espaço vetorial com as operações e e seja W um subconjunto não-vazio de V Então, W é um subespaço de V se e somente se as seguintes condições são válidas: 1 Se u e v são quaisquer vetores em W, então u v pertence a W 2 Se k é qualquer número real e u é qualquer vetor em W, então k u pertence a W Observação: O subespaço que consiste apenas no vetor nulo é um subespaço não-vazio Se um subconjunto W de um espaço vetorial V não contém o vetor nulo, então W não é um subespaço de V Exemplo (8) Considere o conjunto W que agrupa todas as matrizes 2 3 do tipo: [ ] a b 0 0 c d onde a, b, c e d são números arbitrários subconjunto do espaço vetorial Verifique se W é um

9 Subespaços (3) Exemplo (9) Quais dos subconjuntos a seguir de R 2 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de vetores são subespaços? [ ] x a W 1 é o conjunto de todos os vetores do tipo, onde x 0 y [ ] x b W 2 é o conjunto de todos os vetores do tipo, onde x 0 e y y 0 c W 3 é o conjunto de todos os vetores do tipo [ x y ], onde x = 0

10 Combinação Linear Definição Sejam v 1, v 2,, v n vetores em um espaço vetorial V Um vetor v em V é chamado de uma combinação linear de v 1, v 2,, v n se v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n para alguns números reais a 1, a 2,, a n Exemplo (10) Em R 3, sejam v 1 = (1, 2, 1) v 2 = (1, 0, 2) v 3 = (1, 1, 0) O vetor v = (2, 1, 5) é uma combinação linear de v 1, v 2 e v 3 Encontre a 1, a 2 e a 3 tais que: a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = v

11 Combinação Linear (2) Exemplo (11) Considere, no R 3, os seguintes vetores: v 1 = (1, 3, 2) e v 2 = (2, 4, 1) a Mostre que o vetor v = (4, 3, 6) não é combinação linear de v 1 e v2 b Determinar o valor de k para que o vetor u = ( 1, k, 7) seja combinação linear de v 1 e v 2 Teorema Seja S = {v 1, v 2,, v n } um conjunto de vetores em um espaço vetorial Então [S] é um subespaço de V Exemplo (12) Em P 2, sejam: v 1 = 2t 2 + t + 2, v 2 = t 2 2t, v 3 = 5t 2 5t + 2, v 4 = t 2 3t 2 Determine se o vetor u = t 2 + t + 2 pertence a [{v 1, v 2, v 3, v 4 }] Observação: Em geral, para determinar se um vetor v específico pertence a [S], investigamos a compatibilidade de um sistema linear apropriado

12 Independencia Linear Definição Os vetores v 1, v 2,, v k em um espaço vetorial V geram V se todo vetor em V for uma combinação linear de v 1, v 2,, v k Além disso, se S = {v 1, v 2,, v k } então dizemos também que o conjunto S que gera V, ou que {v 1, v 2,, v k } gera V, ou que V é gerado por S, ou [S] = V Procedimento para verificar se os vetores v 1, v 2,, v k espaço vetorial V : geram o Etapa 1 Escolha um vetor v qualquer em V Etapa 2 Determine se v é uma combinação linear dos vetores dados Se for, então os vetores dados geram V Se não, eles não geram V Exemplo (13) Seja V o espaço vetorial R 3 e sejam v 1 = (1, 2, 1) v 2 = (1, 0, 2) v 3 = (1, 1, 0) Os vetores v 1, v 2 e v 3 geram V?

13 Independencia Linear: Exemplos Exemplo (14) Mostre que {[ ] 1 0 S =, 0 0 [ ], [ ]} gera o subespaço de M 22 que reúne todas as matrizes simétricas Exemplo (15) Seja V o espço vetorial P 2 Seja S = {p 1 (t), p 2 (t)}, onde p 1 (t) = t 2 + 2t + 1 e p 2 (t) = t S gera P 2? Exemplo (16) Considere o sistema linear homogêneo Ax = 0, onde A = Encontre os vetores que geram o espaço de solução deste sistema

14 Independência Linear (LI e LD) Definição: Os vetores v 1, v 2,, v k em um espaço vetorial V são ditos linearmente dependente (LD) se existem constantes c 1, c 2,, c k nem todas nulas, tais que: c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 Caso contrário, v 1, v 2,, v k são chamados de linearmente independente (LI) Isto é, v 1, v 2,, v k são linearmente independentes se, sempre que c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0, tivermos c 1 = c 2 = = c k = 0 Em outras palavras, a única combinação linear de v 1, v 2,, v k que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são nulos Se S = {v 1, v 2,, v k }, então dizemos também que o conjunto S é linearmente dependente ou linearmente independente se os vetores têm a propriedade correspondente definida previamente

15 Independência Linear: Procedimento Procedimento Para determinar se os vetores v 1, v 2,, v k são linearmente dependentes ou linearmente independentes faça: Etapa 1 Escreva c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0, que leva a um sistema homogêneo Etapa 2 Se o sistema homogêneo da Etapa 1 tem apenas a solução trivial, então os vetores dados são linearmente independentes; se ele tem uma solução não trivial, então os vetores são linearmente dependentes Exemplo (17) Determine se os vetores 0 e 1 gerados do espaço Ax = 0 são linearmente dependente ou linearmente 0 1 independente Exemplo (18) Os vetores v 1 = (1, 0, 1, 2), v 2 = (0, 1, 1, 2) e v 3 = (1, 1, 1, 3) em R 4 são linearmente dependentes ou linearmente independentes?

16 Bases Definição Os vetores v 1, v 2,, v k em um espaço vetorial V formam uma base para V se (a) v 1, v 2,, v k geram V e (b) v 1, v 2,, v k são linearmente independentes Observação Se v 1, v 2,, v k formam uma base para um espaço vetorial V, então estes vetores devem ser não-nulos e distintos e, portanto podemos escrevê-los como um conjunto {v 1, v 2,, v k } Exemplo (19) Os vetores e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) formam uma base para R 2, os vetores e 1, e 2 e e 3 formam uma base para R 3 e, em geral, os vetores e 1, e 2,, e n formam uma base para R n Cada um destes conjuntos de vetores é chamado de base natural ou base canônica para R 2, R 3 e R n, respectivamente Exemplo (20) Mostre que o conjunto S = {v 1, v 2, v 3, v 4 }, onde v 1 = (1, 0, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1, 2), v 3 = (0, 2, 2, 1) e v 4 = (1, 0, 0, 1) é uma base para R 4

17 Dimensão Definição A dimensão de um espaço vetorial V não-nulo é dada pelo número de vetores em uma base para V Freqëntemente, representamos a dimensão de V por dim V Como o conjunto {0} é linearmente dependente, é natural dizer que o espaço vetorial {0} tem dimensão zero Exemplo (21) A dimensão de R 2 é 2; a dimensão de R 3 é 3; e, em geral, a dimensão de R n é n Exemplo (22) A dimensão de P 2 é 3; a dimensão de P 3 é 4; e, em geral, a dimensão de P n é n + 1

18 Coordenadas Base Ordenada Se V é um espaço vetorial de dimensão n, V tem uma base S com n vetores Se S = {v 1, v 2,, v n } é uma base ordenada para o espaço vetorial V de dimensão n, então todo vetor v em V pode ser expresso unicamente na forma: v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n onde c 1, c 2,, c n são números reais Nos referimos a c 1 [v] S = c 2 c n como o vetor de coordenadas de v em relação à base ordenada S Os elementos de v S são chamados de coordenadas de v em relação a S Nota [v] S depende da ordem na qual os vetores estão listados em S Uma mudança na ordem desta lista muda as coordenadas de v em relação a S

19 Coordenadas: Exemplos Exemplo (23) Seja S = {v 1, v 2, v 3, v 4 } uma base para R 4, onde v 1 = (1, 1, 0, 0) v 2 = (2, 0, 1, 0) v 3 = (0, 1, 2, 1) v 4 = (0, 1, 1, 0) Se v = (1, 2, 6, 2), calcule [v] S Exemplo (24) Seja S = {e 1, e 2, e 3 } a base canônica para R 3 e seja v = (2, 1, 3) Calcule [v] S Exemplo (25) Seja V o espaço vetorial P 1 de todos os polinômios de grau 1, e sejam S = {v 1, v 2 } e T = {w 1, w 2 } as bases para P 1, onde v 1 = t v 2 = 1 w 1 = t + 1 w 2 = t 1 Seja v = p(t) = 5t 2 (a) Calcule [v] S (b) Calcule [v] T

20 Matrizes de Mudança de Base Idéia Sejam S = {v 1, v 2,, v n } e W = {w 1, w 2,, w n } bases para o espaço vetorial V de dimensão n Se v é qualquer vetor em V então v = c 1 w 1 + c 2 w c n w n tal que Então [v] S [v] T = c 1 c 2 c n = [c 1 w 1 + c 2 w c n w n ] S = [c 1 w 1 ] S + [c 2 w 2 ] S + + [c n w n ] S = c 1 [w 1 ] S + c 2 [w 2 ] S + + c n [w n ] S

21 Matrizes de Mudança de Base Cont (1) Idéia Seja o vetor mudança de base w j em relação a S representado por a 1j [w j ] S = a 2j a nj Então [v] S = c 1 = ou [v] S = P S T [v] T a 11 a 21 a n1 + c 2 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 12 a 22 a n2 + + c n c 1 c 2 c n a 1n a 2n a nn

22 Matrizes de Mudança de Base Cont (2) Idéia P S T = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = [[w 1] [w 2 ] [w n ]] Conhecida como matriz de mudança de base da base T para a base S A equação [v] S = P S T [v] T diz que o vetor de coordenadas de v em relação à base S é a matriz mudança de base P S T vezes o vetor de coordenadas de v em relação à base T

23 Matrizes de Mudança de Base Procedimento Procedimento para o cálculo de P S T da base T = {w 1, w 2,, w n } de V para a base S = {v 1, v 2,, v n } de V : Etapa 1 Calcule o vetor de coordenadas de w j, j = 1, 2,, n em relação à base S Ou seja, expressamos w j como uma combinação linear dos vetores em S: a 1j v 1 + a 2j v a 1n v n = w j, j = 1, 2,, n Resolvemos agora para a 1j, a 2j,, a nj, transformando a matriz aumentada deste sistema linear para a forma escalonada reduzida Etapa 2 A matriz de mudança de base P S T da base T para a base S é formada escolhendo-se [w j ] S como a j-ésima coluna de P S T

24 Matrizes de Mudança de Base Exemplo Exemplo (26) Seja V = R 3 e S = {v 1, v 2, v 3 } e T = {w 1, w 2, w 3 } as bases para R 3, onde e v 1 = w 1 = , v 2 =, w 2 = , v 3 =, w 3 = (a) Calcule a matriz de mudança de base P S T da base T para a base S (b) Verifique [v] S = P S T [v] T para v = 4 9 5

25 Matrizes de Mudança de Base Teorema Teorema Sejam S = {v 1, v 2,, v n } e T = {w 1, w 2,, w n } de V as bases para o espaço vetorial de dimensão n, V Seja P S T a matriz de mudança de base da base T para a base S Então, P S T é invertível e P 1 S T é a matriz de mudança de base da base S para a base T Exemplo (27) Sejam S e T as bases para R 3 definidas no Exemplo (26) Calcule a matriz de mudança de base Q T S da base S para a base T diretamente e mostre que Q T S = P 1 T S Exemplo (28) Seja V = P 1 e S = {v 1, v 2 } e T = {w 1, w 2 } as bases para P 1, onde v 1 = t, v 2 = t 3 w 1 = t 1 w 2 = t + 1 (a) Calcule a matriz de mudança de base P S T da base T para a base S (b) Verifique [v] S = P S T [v] T para v = 5t + 1 (c) Calcule a matriz de mudança de base Q T S da base S para a base T diretamente e mostre que Q T S = P 1 T S

ESPAÇO VETORIAL REAL. b) Em relação à multiplicação: (ab) v = a(bv) (a + b) v = av + bv a (u + v ) = au + av 1u = u, para u, v V e a, b R

ESPAÇO VETORIAL REAL. b) Em relação à multiplicação: (ab) v = a(bv) (a + b) v = av + bv a (u + v ) = au + av 1u = u, para u, v V e a, b R ESPAÇO VETORIAL REAL Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: u, v V, u + v V a R, u V, au V O conjunto V com estas duas operações

Leia mais

Álgebra Linear I. Resumo e Exercícios P3

Álgebra Linear I. Resumo e Exercícios P3 Álgebra Linear I Resumo e Exercícios P3 Fórmulas e Resuminho Teórico Espaço Vetorial Qualquer conjunto V com 2 operações: Soma e Produto escalar, tal que 1. u + v + w = u + v + w u, v, w V 2. u + v = v

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Prof. Susie C. Keller ÁLGEBRA LINEAR Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Prof. Susie C. Keller Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = {v 1,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: I) B é LI II) B gera V Base de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Independência Linear. Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR. Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Independência Linear. Prof. Susie C. Keller ÁLGEBRA LINEAR Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Prof. Susie C. Keller Combinação Linear Sejam os vetores v 1, v 2,..., v n do espaço vetorial V e os escalares a 1, a 2,..., a n. Qualquer

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocabaunespbr Matrizes Inversas 1 Matriz Inversa e Propriedades 2 Cálculo da matriz

Leia mais

Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n

Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n 1. Descrição do método e alguns exemplos Colocamos o seguinte problema: dado um conjunto finito: A = {a 1, a 2,...,

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - GAN

Universidade Federal Fluminense - GAN Solimá Gomes Pimentel Universidade Federal Fluminense IM - GAN Solimá Gomes Pimentel, ****- Matemática para Economia III/Solimá Gomes Pimentel 2pt, ; 31cm Inclui Bibliografia. 1. Matemática para Economia

Leia mais

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita;

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; META Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; determinar

Leia mais

Tópicos de Matemática Elementar

Tópicos de Matemática Elementar Revisão Básica de Prof. Dr. José Carlos de Souza Junior Universidade Federal de Alfenas 26 de novembro de 2014 Revisão de Definição 1 (Espaço Vetorial) Um conjunto V é um espaço vetorial sobre R, se em

Leia mais

Álgebra Linear Exercícios Resolvidos

Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Agosto de 001 Sumário 1 Exercícios Resolvidos Uma Revisão 5 Mais Exercícios Resolvidos Sobre Transformações Lineares 13 3 4 SUMA RIO Capítulo 1 Exercícios Resolvidos

Leia mais

Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades.

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais Espaços Vectoriais - Matemática II - 2004/05 40 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o

Leia mais

Espaços Vetoriais. () Espaços Vetoriais 1 / 17

Espaços Vetoriais. () Espaços Vetoriais 1 / 17 Espaços Vetoriais () Espaços Vetoriais 1 / 17 Espaços Vetoriais Definição Seja um conjunto V, não vazio. i. Uma adição em V é uma operação que a cada par de elementos (u, v) V V associa um elemento u +

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 49 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica. 7ª aula

Álgebra Linear e Geometria Analítica. 7ª aula Álgebra Linear e Geometria Analítica 7ª aula ESPAÇOS VECTORIAIS O que é preciso para ter um espaço pç vectorial? Um conjunto não vazio V Uma operação de adição definida nesse conjunto Um produto de um

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Matrizes. Exemplos. Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação 7. Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz Coluna. Exemplos. Diagonal

Leia mais

(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay)

(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay) Espaços Vetoriais Definição. Um espaço vetorial sobre R é um conjunto V no qual se tem definida uma adição e uma multiplicação de seus elementos por escalares (isto é, por números reais), ou seja, dados

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 7 II SEMESTRE DE 00 Professores: Flávia, Gustavo e Lana. Suponha que uma força

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 17 1. Suponha que uma força de 1 newtons é aplicada em um objeto ao longo do

Leia mais

Soluções dos trabalhos de 1 a 7

Soluções dos trabalhos de 1 a 7 Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear Aluno(a): Soluções dos trabalhos

Leia mais

Esp. Vet. I. Espaços Vetoriais. Espaço Vetorial. Combinações Lineares. Espaços Vetoriais. Espaço Vetorial Combinações Lineares. Esp. Vet.

Esp. Vet. I. Espaços Vetoriais. Espaço Vetorial. Combinações Lineares. Espaços Vetoriais. Espaço Vetorial Combinações Lineares. Esp. Vet. Definição (R n 1 a Parte R n é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais. (1,, R Paulo Goldfeld Marco Cabral (1, (, 1 R Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro

Leia mais

(d) Cada vetor de R 2 pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores

(d) Cada vetor de R 2 pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125 Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães, Mário de Oliveira, Milton Ramirez, Monique Carmona, Nilson Bernardes e Nilson Roberty

Leia mais

Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru

Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru 1 Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru Neste capítulo vamos considerar espaços vetoriais sobre K, onde K = R ou K = C, ou seja, os espaços vetoriais podem ser reais

Leia mais

MAT 1202 ÁLGEBRA LINEAR II SUBESPACCOS FUNDAMENTAIS E TRANSF. LINEARES 23/08/12 Profs. Christine e Pedro

MAT 1202 ÁLGEBRA LINEAR II SUBESPACCOS FUNDAMENTAIS E TRANSF. LINEARES 23/08/12 Profs. Christine e Pedro MAT 1202 ÁLGEBRA LINEAR II 2012.2 SUBESPACCOS FUNDAMENTAIS E TRANSF. LINEARES 23/08/12 Profs. Christine e Pedro 1. Subespaços Fundamentais de uma Matriz (1.1) Definição. Seja A uma matriz retangular m

Leia mais

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,

Leia mais

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá campus Itabira Geometria Analítica e Álgebra Linear Parte 1 Matrizes 1 Introdução A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador da álgebra

Leia mais

ESPAÇOS VETORIAIS. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga

ESPAÇOS VETORIAIS. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga ESPAÇOS VETORIAIS Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Sabe-se que o conjunto 2 ( x, y) / x, y é interpretado geometricamente como o plano cartesiano. O par ordenado (x,y)

Leia mais

(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) 3. (a) 6 (b) 8 (c) 1. (d) H = {p P 2 p(1) = p(2)} (c) H = {p P 2 p(1) + p(2) = 0} 8. Seja H o subespaço definido por

(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) 3. (a) 6 (b) 8 (c) 1. (d) H = {p P 2 p(1) = p(2)} (c) H = {p P 2 p(1) + p(2) = 0} 8. Seja H o subespaço definido por UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125 Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Mario, Milton, Monique e Paulo Data: 25 de setembro de 2013 Primeira Prova 1. Podemos

Leia mais

Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período

Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período www.engenhariafacil.net Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período 2013.1 OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 1) Para ter ao menos uma solução devemos escalonar para ver

Leia mais

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica e Álgebra Linear - GCI004 Assunto: Espaços vetoriais

Leia mais

Aulas Teóricas de Álgebra Linear

Aulas Teóricas de Álgebra Linear Aulas Teóricas de Álgebra Linear Instituto Superior Técnico - o Semestre 009/00 MEAmbi - MEBiol Matrizes De nição Uma matriz A, do tipo m n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e

Leia mais

1 Espaços Vectoriais

1 Espaços Vectoriais Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Espaço Vectorial Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Contém pelo menos um

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]

Leia mais

Dependência linear e bases

Dependência linear e bases Dependência linear e bases Sadao Massago 2014 Sumário 1 Dependência linear 1 2 ases e coordenadas 3 3 Matriz mudança de base 5 Neste texto, introduziremos o que é uma base do plano ou do espaço 1 Dependência

Leia mais

Noções de Álgebra Linear

Noções de Álgebra Linear Noções de Álgebra Linear 1. Espaços vetoriais lineares 1.1. Coordenadas 2. Operadores lineares 3. Subespaços fundamentais 4. Espaços normados 5. Espaços métricos 6. Espaços de Banach 7. Espaços de Hilbert

Leia mais

Unidade 1 - O que é Álgebra linear? A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 9 de agosto de 2013

Unidade 1 - O que é Álgebra linear? A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 9 de agosto de 2013 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 1 - O que é Álgebra linear? A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 9 de agosto de 2013 O que é Álgebra linear? Atualmente,

Leia mais

ESPAÇOS VETORIAIS. Álgebra Linear

ESPAÇOS VETORIAIS. Álgebra Linear Álgebra Linear ESPAÇOS VETORIAIS Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente de sua plataforma de lançamento numa manhã fresca num domingo de abril de 1981, em

Leia mais

Unidade 7 - Bases e dimensão. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013

Unidade 7 - Bases e dimensão. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 7 - Bases e dimensão A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013 Nesta unidade introduziremos dois conceitos

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Subespaços Vetoriais. Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR. Subespaços Vetoriais. Prof. Susie C. Keller ÁLGEBRA LINEAR Subespaços Vetoriais Prof. Susie C. Keller Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam espaços vetoriais menores. Tais conjuntos S são chamados

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz

Leia mais

Um Curso de Nivelamento. Instituto de Matemática UFF

Um Curso de Nivelamento. Instituto de Matemática UFF Introdução à Álgebra Linear Um Curso de Nivelamento Jorge Delgado Depto. de Matemática Aplicada Katia Frensel Depto. de Geometria Instituto de Matemática UFF Março de 2005 J. Delgado - K. Frensel ii Instituto

Leia mais

Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares

Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)

Leia mais

Lista de exercícios 8 Bases e Dimensão.

Lista de exercícios 8 Bases e Dimensão. Universidade Federal do Paraná semestre 05. Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic Lista de exercícios 8 Bases e Dimensão. Exercício : No exercício da Folha 7, indique se os vetores formam uma base para

Leia mais

Álgebra Linear Teoria de Matrizes

Álgebra Linear Teoria de Matrizes Álgebra Linear Teoria de Matrizes 1. Sistemas Lineares 1.1. Coordenadas em espaços lineares: independência linear, base, dimensão, singularidade, combinação linear 1.2. Espaço imagem (colunas) - Espaço

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7 Plano e Programa de Ensino Matrizes Exemplos Ordem de Uma Matriz Exemplos Representação 7 Matriz Genérica m x n 8 Matriz Linha 9 Exemplos Matriz Coluna Exemplos Diagonal de Uma

Leia mais

CM005 Algebra Linear Lista 1

CM005 Algebra Linear Lista 1 CM005 Algebra Linear Lista Alberto Ramos. Para cada um dos sistemas de equações lineares, use o método de Gauss para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma escada. Indique

Leia mais

Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período

Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período www.engenhariafacil.net Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período 2014.2 OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 1) Vamos falar um pouco de interseção, união e soma de subespaços.

Leia mais

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL SOLUCIONÁRIO DE ÁLGEBRA. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL SOLUCIONÁRIO DE ÁLGEBRA. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL SOLUCIONÁRIO APOSTILA DE ÁLGEBRA Realização: 2012 1. Matrizes 1.3. Questões 1. A = e B = AB = = = BA = = = 2. A = B, tal

Leia mais

(Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto

(Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Resumo das Aulas Teóricas de 2 o Semestre 2004/2005 (Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto Álgebra Linear Conteúdo Sistemas

Leia mais

ÍNDICE MATRIZES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA

ÍNDICE MATRIZES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA ÍNDICE MATRIZES Definição 1 Igualdade 2 Matrizes Especiais 2 Operações com Matrizes 3 Classificação de Matrizes Quadradas 9 Operações Elementares 11 Matriz Equivalente por Linha 11 Matriz na Forma Escalonada

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Espaços Vetoriais. Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR. Espaços Vetoriais. Prof. Susie C. Keller ÁLGEBRA LINEAR Espaços Vetoriais Prof. Susie C. Keller Introdução Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente de sua plataforma de lançamento numa manhã fresca

Leia mais

Lista de exercícios cap. 2

Lista de exercícios cap. 2 Lista de exercícios cap. 2 Nos problemas de 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 3/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 3/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Última actualização: 3/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVIÃO DA PARTE IV Parte IV - Diagonalização Conceitos: valor próprio, vector

Leia mais

2 Álgebra Linear (revisão)

2 Álgebra Linear (revisão) Teoria de Controle (sinopse) 2 Álgebra Linear (revisão) J. A. M. Felippe de Souza Neste capítulo vamos citar os principais tópicos de Álgebra Linear que são necessários serem revistos para o acompanhamento

Leia mais

Álgebras de Lie são espaços vetoriais munidos de uma nova operaçao que em geral não é comutativa nem associativa: [x, y] = xy yx.

Álgebras de Lie são espaços vetoriais munidos de uma nova operaçao que em geral não é comutativa nem associativa: [x, y] = xy yx. 4 Álgebras de Lie Álgebras de Lie são espaços vetoriais munidos de uma nova operaçao que em geral não é comutativa nem associativa: [x, y] = xy yx. 4.1 Álgebras de Lie Simples Definição 4.1 Uma álgebra

Leia mais

Álgebra Linear. Alan Anderson

Álgebra Linear. Alan Anderson Álgebra Linear Alan Anderson 9 de abril de 2016 1 Espaço Euclidiano Denimos o espaço euclidiano n dimensional R n como sendo o conjunto das listas de n números reais. R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,...,

Leia mais

1. Mostre que o conjunto R 2 = {(x, y)/x, y R} é um espaço vetorial real, com as operações usuais de adição de elementos e multiplicação por escalar.

1. Mostre que o conjunto R 2 = {(x, y)/x, y R} é um espaço vetorial real, com as operações usuais de adição de elementos e multiplicação por escalar. Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco - UNIVASF Colegiado de Engenharia de Produção - CPROD Prof. Felipe Wergete a Lista de Exercícios de Álgebra Linear - 202.. Mostre que o conjunto R

Leia mais

Lista de exercícios 7 Independência Linear.

Lista de exercícios 7 Independência Linear. Universidade Federal do Paraná semestre 6. Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 7 Independência Linear. Exercício : Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em R : (

Leia mais

Revisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01

Revisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01 Revisão: Matrizes e Sistemas lineares Parte 01 Definição de matrizes; Tipos de matrizes; Operações com matrizes; Propriedades; Exemplos e exercícios. 1 Matrizes Definição: 2 Matrizes 3 Tipos de matrizes

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp. Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Sistemas Lienares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares e

Leia mais

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Capítulo 9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Agora, estamos interessados em estudar sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem: Definição 36. Um sistema da linear da forma x

Leia mais

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Robinson Alves Lemos 14 de janeiro de 2017 Introdução Este material é um roteiro/apoio para o curso de álgebra linear da engenharia civil na UNEMAT de Tangará

Leia mais

ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão

ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Módulo 5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Contents 5.1 Bases, coordenadas e dimensão............. 58 5.2 Cálculos com coordenadas. Problemas......... 65 5.3 Mudanças de base e de coordenadas..........

Leia mais

(2008/2009) Espaços vectoriais. Matemática 1º Ano - 1º Semestre 2008/2009. Mafalda Johannsen

(2008/2009) Espaços vectoriais. Matemática 1º Ano - 1º Semestre 2008/2009. Mafalda Johannsen Espaços vectoriais Matemática 1º Ano 1º Semestre 2008/2009 Capítulos Características de um Espaço Vectorial Dimensão do Espaço Subespaço Vectorial Combinação Linear de Vectores Representação de Vectores

Leia mais

Expansão linear e geradores

Expansão linear e geradores Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 Expansão linear e geradores Se u 1 ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u 1 ; u ;

Leia mais

(Ciência de Computadores) 2005/ Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação

(Ciência de Computadores) 2005/ Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação Álgebra (Ciência de Computadores) 2005/2006 Números inteiros 1. Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação (a) {inteiros positivos impares}; (b) {inteiros negativos pares};

Leia mais

Notações e revisão de álgebra linear

Notações e revisão de álgebra linear Notações e revisão de álgebra linear Marina Andretta ICMC-USP 17 de agosto de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211

Leia mais

3 Espaços com Produto Interno

3 Espaços com Produto Interno 3 Espaços com Produto Interno 3.1 Produtos Internos em Espaços Vetoriais Seja V um espaço vetorial. Um produto interno em V é uma função, : V V R que satisfaz P1) = v, u para todos u, v V ; P2) u, v +

Leia mais

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 Sistemas de Equações Lineares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares 3 Forma

Leia mais

Algebra Linear S ergio Lu ıs Zani

Algebra Linear S ergio Lu ıs Zani Álgebra Linear Sérgio Luís Zani 2 Sumário 1 Espaços Vetoriais 7 1.1 Introdução e Exemplos.......................... 7 1.2 Propriedades............................... 12 1.3 Exercícios.................................

Leia mais

Aula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear

Aula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear Aula 4 Colinearidade, coplanaridade e dependência linear MÓDULO 1 - AULA 4 Objetivos Compreender os conceitos de independência e dependência linear. Estabelecer condições para determinar quando uma coleção

Leia mais

Vetores no plano Cartesiano

Vetores no plano Cartesiano Vetores no plano Cartesiano 1) Definição de vetor Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade). 1. A

Leia mais

II Lista de Álgebra Linear /02 Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple

II Lista de Álgebra Linear /02 Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple . Verique se R com as operações denidas por: II Lista de Álgebra Linear - / Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple i. (x y) + (s t) (s y + t) onde u (x y) e v (s t) pertencem a R ii. α(x y) (αx y) onde

Leia mais

A forma canônica de Jordan

A forma canônica de Jordan A forma canônica de Jordan 1 Matrizes e espaços vetoriais Definição: Sejam A e B matrizes quadradas de orden n sobre um corpo arbitrário X. Dizemos que A é semelhante a B em X (A B) se existe uma matriz

Leia mais

Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações

Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações π 1 : x 2y + 3z = 1 e π 2 : x + z = 2 no sistema de coordenadas

Leia mais

0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1.

0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1. Nesta prova, se V é um espaço vetorial, o vetor nulo de V será denotado por 0 V. Se u 1,...,u n forem vetores de V, o subespaço de V gerado por {u 1,...,u n } será denotado por [u 1,...,u n ]. O operador

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR: MARCELO SILVA 1. Introdução No ensino fundamental você estudou

Leia mais

Notas de Aula - Espaços Vetoriais I

Notas de Aula - Espaços Vetoriais I Notas de Aula - Espaços Vetoriais I 1 O espaço vetorial R 2 A definição de espaço vetorial que veremos adiante faz uso da ideia de operações definidas sobre um conjunto. Iniciaremos nosso estudo explorando

Leia mais

Ficha de Exercícios nº 1

Ficha de Exercícios nº 1 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 1 Espaços Vectoriais 1 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos.

Leia mais

PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM

PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA PARFOR PLANO E APRENDIZAGEM I IDENTIFICAÇÃO: PROFESSOR (A) DA DISCIPLINA:

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto

Leia mais

Produto Misto, Determinante e Volume

Produto Misto, Determinante e Volume 15 Produto Misto, Determinante e Volume Sumário 15.1 Produto Misto e Determinante............ 2 15.2 Regra de Cramer.................... 10 15.3 Operações com matrizes............... 12 15.4 Exercícios........................

Leia mais

Objetivos. Definir os conceitos de transformação matricial e linear; Apresentar vários exemplos de transformações lineares.

Objetivos. Definir os conceitos de transformação matricial e linear; Apresentar vários exemplos de transformações lineares. Transformações lineares MÓDULO 3 - AULA 18 Aula 18 Transformações lineares Objetivos Definir os conceitos de transformação matricial e linear; Apresentar vários exemplos de transformações lineares. Introdução

Leia mais

VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ÁLGEBRA LINEAR II

VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ÁLGEBRA LINEAR II VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ÁLGEBRA LINEAR II Rio de Janeiro / 2007 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO UNIVERSIDADE

Leia mais

Curso de Álgebra Linear

Curso de Álgebra Linear Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações Terceira Edição 25 de Outubro de 2012 Marco Cabral PhD Indiana University, EUA Paulo Goldfeld PhD Courant Institute, EUA Departamento de Matemática Aplicada

Leia mais

Aula 3 A Reta e a Dependência Linear

Aula 3 A Reta e a Dependência Linear MÓDULO 1 - AULA 3 Aula 3 A Reta e a Dependência Linear Objetivos Determinar a equação paramétrica de uma reta no plano. Compreender o paralelismo entre retas e vetores. Entender a noção de dependência

Leia mais

TEOREMA ( Propriedades das operações matriciais)

TEOREMA ( Propriedades das operações matriciais) TEOREMA ( Propriedades das operações matriciais) Supomos as dimensões das matrizes A, B, C tais que as operações abaixo consideradas estão bem definidas. Temos então: I. A+B=B+A (comutatividade da soma

Leia mais

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Introdução à Mecânica do Contínuo Tensores Professor: Márcio André Araújo Cavalcante

Leia mais

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

TRANSFORMAÇÕES LINEARES ransformação Linear RNSFORMÇÕES LINERES Sejam e espaços vetoriais reais Dizemos que uma função : é uma transformação linear se a função preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM 02/04/2014 Prof. Geraldine Revisão de Álgebra Linear Definição de conjunto Linearmente Independente Dizemos que as funções f ( x), f ( x) são LI, em um 1 2

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

Álgebra Linear Semana 04

Álgebra Linear Semana 04 Álgebra Linear Semana 04 Diego Marcon 17 de Abril de 2017 Conteúdo 1 Produto de matrizes 1 11 Exemplos 2 12 Uma interpretação para resolução de sistemas lineares 3 2 Matriz transposta 4 3 Matriz inversa

Leia mais

2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano

2 Igualdade e Operações com pares ordenados. 1 Conjunto R 2. 3 Vetores. 2.1 Igualdade. 1.2 Coordenadas Cartesianas no Plano 1 Conjunto R 1.1 Definição VETORES NO PLANO Representamos por R o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja: R = {(x, y) x R y R} 1. Coordenadas Cartesianas no Plano Em um plano α,

Leia mais