LISTA DE EXERCÍCIOS 1 - MATEMÁTICA 3 (CCM0213)

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS - MATEMÁTICA 3 (CCM3) PROF: PEDRO T. P. LOPES PPLOPES/MATEMATICA3 Os exercícios a seguir foram selecionados do livro do Apostol e do Domingues Callioli Costa. Exercício. (Apostol seção.5 exercícios ) Para os itens a) até g) considere os seguintes subconjuntos das funções f : R R com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar denidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais? a) Conjunto das funções da forma f (x) = P (x) Q(x) em que P e Q são polinômios e Q não tem raízes reais. b) Conjunto das funções que satisfazem: f () = + f (). c) Conjunto das funções tais que: f (x) = f ( x) x R. d) Conjunto das funções tais que: f (x) = f ( x) x R. e) Conjunto das funções tais que: f (x + π) = f (x) x R. f) Conjunto das funções tais que: f (x) dx. d g) Conjunto das soluções do problema: f dx (x) + P (x) df dx (x) + Q (x) f (x) = em que P e Q são funções contínuas. Para o item h) considere o seguinte subconjunto de R 3 com a operação de soma e multiplicação por escalar denidas de maneira usual. Ele é um espaço vetorial? h) Conjunto dos elementos (x y z) R 3 tais que 3x + 4y = z =. Resposta: Sim = é espaço vetorial. Não = não é espço vetorial a) Sim. b) Não. c) Sim. d) Sim. e) Sim. f) Não. g) Sim. h) Não. Exercício. (Apostol seção.5 exercício 3) Considere o conjunto R com a operação de soma e multiplicação por escalar denidas abaixo. Quando as operações abaixo denem espaços vetoriais? Se não denirem justique. a) (x x ) + (y y ) = (x + y x + y ) a (x x ) = (ax ). b) (x x ) + (y y ) = (x + y ) a (x x ) = (ax ax ). c) (x x ) + (y y ) = (x x + y ) a (x x ) = (ax x ). d) (x x ) + (y y ) = ( x + y x + y ) a (x x ) = ( ax ax ). Resposta: a) Não dene pois ( ) = ( ) ( ). b) Não dene pois dado ( ) não existe um elemento nulo (x y) tal que ( ) + (x y) = ( ) c) Não dene pois sabemos que num espaço vetorial ( ) = ( ). Mas no caso temos ( ) = ( ). d) Não dene pois ( ) = ( ) ( ). Exercício 3. (Apostol seção. exercícios a ) Quais dos seguintes subconjuntos S R 3 são subespaços vetoriais? Determine a dimensão quando forem subespaços. Denotamos os elementos de R 3 por (x y z).. x =. x + y = 3. x + y + z = 4. x = y 5. x = y = z. 6. x = y ou x = z. 7. x y = 8. x + y =. 9. y = x e z = 3x.. x + y + z = e x y z =. Resposta:. Sim.. SIm. 3. Sim. 4. Sim. 5. Sim.

2 LISTA DE EXERCÍCIOS - MATEMÁTICA 3 (CCM3) 6. Não. 7. Não. 8. Não. 9. Sim.. Sim. Exercício 4. (Apostol seção. exercícios a ) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem n isto é de P n = {a + a t a n t n a... a n R} são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.. f () =.. f () =. 3. f () =. 4. f () + f () =. 5. f () = f (). 6. f () = f () 7. f (x) = f ( x) 8. f (x) = f ( x) 9. f tem grau menor ou igual a k n ou f =.. f tem grau k em que k < n ou f =. Resposta:. Sim n.. Sim n. 3. Sim n. 4. Sim n. 5. Sim n. 6. Sim n. 7. Sim. A dimensão é igual a + n 8. Sim. A dimensão é igual a n 9. Sim. k +.. Não. n+ se n é par se n é ímpar. n+ se n é par se n é ímpar. Exercício 5. (Apostol seção. exercício ) Seja S V e T V dois subconjuntos de V. Denotamos por L (S) (analogamente por L (T )) o conjunto das combinações lineares de S ou seja dos elementos a u a k u k em que u... u k S a... a k R e k N. Mostre que. S L (S).. Se S T V e T é um subespaço vetorial de V então L (S) T. (Isto é o que signica dizer que L (S) é o menor subespaço de V que contém S). 3. S é um subespaço vetorial se e somente se S = L (S). 4. Se S T V então L (S) L (T ) V. 5. Se S e T são subespaços vetoriais de V então S T também é um subespaço de V. 6. Se S e T são subconjuntos de V então L (S T ) L (S) L (T ). 7. Dê um exemplo de subconjuntos de V tais que L (S T ) L (S) L (T ). Exercício 6. (Apostol seção. exercício 4) Seja V um espaço vetorial de dimensão nita e S V um subespaço de V. Prove cada uma das seguintes armações: a) S é um espaço vetorial de dimensão nita então dim(s) dim(v ). b) dim(s) = dim(v ) se e somente se S = V. c) Toda base de S é parte de uma base de V. d) Uma base de V não contém necessariamente uma base de S. (Ache um exemplo) Exercício 7. (Apostol seção.3 exercício ) As funções.. : R n R n R denidas abaixo denem um produto interno? Justique. a) (x... x n ) (y... y n ) = n j= x j y j. b) (x... x n ) (y... y n ) = n j= x. jy j ( n ) c) (x... x n ) (y... y n ) = j= x j ( n k= y k). d) (x... x n ) (y... y n ) = n j= x j y j. e) (x... x n ) (y... y n ) = n j= (x j + y j ) n j= x j n j= y j.

3 LISTA DE EXERCÍCIOS - MATEMÁTICA 3 (CCM3) 3 Resposta: Apenas e dene um produto interno. Exercício 8. (Apostol seção.3 exercícios ) Seja V um espaço vetorial com produto interno.. : V V R e. : V [ [ a norma que vem deste produto interno. Mostre que as seguintes armações são válidas: a) u v = se e somente se u + v = u v. b) u v = se e somente se u + v = u + v. c) u v = se e somente se u + cv u para todo c R. d) u + v u v = se e somente se u = v. a) Vemos que u + v = u + v u + v = u u + v v + u v = u + v + u v. u v = u v u v = u u + v v u v = u + v u v. Assim u + v = u v se e somente se + u v = u v ou seja u v =. b) Vemos que u + v = u + v u + v = u u + v v + u v = u + v + u v. Logo u + v = u + v se e somente se u v =. c) Vemos que u + cv = u + cv u + cv = u u + c v v + c u v. Assim u + cv u para todo c se e somente se c v + c u v para todo c R. Mas isso só ocorre se o polinômio em c dado acima tem no máximo uma raiz real. Logo ( u v ) ou seja u v =. Usamos que ax + bx + cx tem no máximo uma raiz real b 4ac. d) Vemos que u + v u v = u u + u v + v u + v v = u v. Logo u + v u v = se e somente se u = v. Exercício 9. (Apostol seção.3 exercício ) Seja P n o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a n. Denamos.. : P n P n R por n ( ) ( ) k k f g = f g. n n Mostre que: a).. : P n P n R dene um produto interno. b) Calcule t at + b. c) Ache todos os polinômios ortogonais a t. k= Resposta: Para provar o item a) use que um polinômio de grau n com n + raízes nulas é igual a. Exercício. (Apostol seção.3 exercício ) Seja P o espaço vetorial de todos os polinômios reais. Denamos.. : P P R por f g = a) Mostre que.. : P P R dene um produto interno. b) Mostre que t m t n = (m + n)!. c) Calcule ( + t) + t. e t f (t) g (t) dt. d) Ache todos os polinômios de ordem que são ortogonais a + t. Exercício. (Apostol seção.3 exercícios ) Seja P n o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a n. Verique se.. : P n P n R denidas abaixo denem um produto interno. Justique. a) f g = f () g (). b) f g = f (t) g (t) dt. c) f g = df dg dt (t) dt (t) dt.

4 LISTA DE EXERCÍCIOS - MATEMÁTICA 3 (CCM3) 4 d) f g = ( f (t) dt ) ( g (t) dt ). Resposta: Se n nenhum deles denem um produto interno. Exercício. (Apostol seção.3 exercício 5.) Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno.. : V V C. Mostre que as seguintes identidades são válidas: a) au bv = ab u v. b) u av + bw = a u v + b u w. Exercício 3. (Apostol seção.3 exercício 6.) Seja V um espaço vetorial com produto interno.. : V V R e. : V [ [ a norma que vem deste produto interno. Mostre as seguintes identidades são válidas: a) u + v = u + v + u v + v u b) u + v u v = u v + v u c) u + v + u v = u + v Exercício 4. (Apostol seção.7 exercício ) Para cada um dos casos abaixo ache uma base ortonormal para o subespaço de R 3 gerado pelos vetores dados:. u = ( ) u = ( ) e u 3 = (3 3).. u = ( ) u = ( ) u 3 = ( ) Dica: Use Gra-Schmidt. Exercício 5. (Apostol seção.7 exercício ) Para cada um dos casos abaixo. acho uma base ortonormal para o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados:. u = ( ) u = ( ) u 3 = ( ) e u 4 = ( ).. u = ( ) u = ( ) e u 3 = ( ). Exercício 6. (Apostol seção.7 exercício 4) Considere o conjunto de todos os polinômios com o produto interno u v := u (t) v (t) dt. Prove que as funções y (t) = y (t) = 3 (t ) y 3 (t) = 5 ( 6t 6t + ) formam uma base ortonormal do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a. Exercício 7. (Apostol seção.7 exercício 9) Considere o conjunto das funções contínuas denidas no intervalo [ π] isto é C ([ π]). Denamos o produto interno u v := π u (t) v (t) dt. Ache o vetor contido no subespaço gerado por { sen (x) cos (x)} que melhor aproxima a função x. Exercício 8. (Domingues Callioli Costa Capítulo 3 exercício e ) Seja V um espaço vetorial e {u... u k } V um conjunto linearmente independente.. Mostre que {a u... a k u k } é linearmente independente sempre que a j para todo j =... k.. Mostre que {u + au j u u 3... u k } é linearmente independente para todo a R.. De fato sejam α... α n tais que α a u α k a k u k =. Logo α a = α a =... = α n a n =. Como a j para todo j vemos que α =... = α n =. Logo o conjunto {a u... a k u k } é L.I.. Sejam α... α n tais que α (u + au j ) + α u α k u k =. Logo α u + α u (α j + α a) u j α k u k =. Assim α = α =... = α j + α a =... = α k =. Logo α k = para k j e α j + α a =. Como α = concluímos que α j também é igual a. Exercício 9. (Domingues Callioli Costa Capítulo 6 exercícios 6 e 7) Usando a desigualdade de Cauchy Schwartz em R 3 mostre que. Dados números reais a a e a 3 estritamente positivos então a seguinte desigualdade é válida: ( (a + a + a 3 ) + + ) 9. a a a 3. Dados números reais estritamente positivos a b e c tais que a + b + c = então ( ) ( ) ( ) a b c 8.

5 LISTA DE EXERCÍCIOS - MATEMÁTICA 3 (CCM3) 5. Por Cauchy-Schwartz vemos que ( a a ( a 3 ) a Logo. Note que a ) ( a a ( a 3 ) a3 a 9 = 3 = ( a a a 3 ) ( a a a 3 ) ( a a ( a a ) a3 a ). a3 ) ( (a + a + a 3 ) + + ). a3 a a a 3 ( ) ( ) ( ) a b c + = abc ab ac bc + a + b + c + = abc ab ac bc + a + b + c = abc a + b + c + abc a + b + ( ) c ii = (a + b + c) 9. a + b + c Note que usamos a + b + c = acima em i e em ii. i = a + b + c