Notas de Aulas 3(Segunda Avaliação)-Produto Interno II Prof. Carlos Alberto S Soares

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1 Notas de Aulas 3(Segunda Avaliação)-Produto Interno II Prof. Carlos Alberto S Soares Neste capítulo, estaremos generalizando a noção de projeção ortogonal já desenvolvida em cursos anteriores. Definição 1 Seja V um espaço vetorial com produto interno. Um subconjunto S V será dito ortogonal se quaisquer dois vetores distintos de S são ortogonais. Um subconjunto ortognal S V será dito ortonormal de todo vetor de S é unitário, isto é, todo vetor de S possui norma 1. O teorema abaixo evidenciará a importância do conceito acima. Teorema 2 Seja S um conjunto ortogonal finito de vetores não-nulos de um espaço com produto interno V. Então S é LI. Prova. Seja S = {u 1, u 2,..., u n } e λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n = 0. Então, teremos < λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n, u i >= 0 para todo i = 1, 2,..., n. Mas, sendo S ortogonal, teremos < λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n, u i >= λ i = 0, e portanto, S é LI. Definição 3 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e β = {v 1, v 2,..., v n } uma base para V. A base β será dita ortogonal se o conjunto {v 1, v 2,..., v n } é ortogonal. A base β será dita ortonormal se o conjunto {v 1, v 2,..., v n } é ortonormal. Teorema 4 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, β = {v 1, v 2,..., v n } uma base ortogonal para V e v um vetor de V. Então v = < v, v 1 > < v 1, v 1 > v 1 + < v, v 2 > < v 2, v 2 > v < v, v n > < v n, v n > v n. Consequentemente, se β é uma base ortonormal teremos v =< v, v 1 > v 1 + < v, v 2 > v < v, v n > v n. Prova. Como β é uma base para V, existem números λ 1, λ 2,..., λ n tais que v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n. Daí, teremos < v, v i >=< λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n, v i >= λ i < v i, v i >, seguindo, então, que λ i = v,v i> <v i,v i >. 1

2 Corolário 5 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e S V um conjunto ortogonal (ortonormal). Então S possui no máximo dim V vetores. Mostremos, agora, que um espaço vetorial V de dimensão finita com produto interno sempre possui uma base ortogonal. Teorema 6 Se V é um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita, então V possui uma base ortogonal. Prova. A demonstração é construttiva através do chamado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Inicialmente, seja β = {v 1, v 2,..., v n } uma base para V. O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt nos mostra como, partindo desta base, obter uma base ortogonal. Pata tanto, basta fazer u 1 = v 1 e para 1 j n 1 fazermos, u j+1 = v j+1 j k=1 < v j+1, u k > u u k 2 k e o resultado segue mostrando que α = {u 1, u 2,..., u n } é uma base ortogonal. Corolário 7 Se V é um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita, então V possui uma base ortonormal. Exemplo 8 Determine uma base ortogonal para o o subespaço W = {(x, y, z, t); x+y+z+t = 0}. Observação 9 Para o que se segue, é bom ter em mente que sendo V um espaço vetorial com produto interno e u, v vetores de V então u + v 2 =< u + v, u + v >=< u, u > +2 < u, v > + < v, v >= u < u, v > + v 2. Definição 10 Sejam V um espaço vetorial com produto interno, W um subespaço de V e v um vetor em V. Um vetor w W será dito uma projeção ortogonal de v sobre W se v w é ortogonal a todo vetor de W, isto é, < v w, u >= 0 para todo vetor u em W. Proposição 11 Sejam V um espaço vetorial com produto interno, W um subespaço de V e v um vetor em V. Uma projeção ortogonal de v sobre W, se existe, é única. Prova. Suponhamos u 1 e u 2 projeções de v sobre W. Como u 1, u 2 estão em W, e W é um subespaço, temos que u 2 u 1 W. Pela definição de projeção ortogonal devemos ter < v u 1, u 2 u 1 >= 0 e < v u 2, u 2 u 1 >= 0. Subtraindo ambas as igualdades teremos < u 2 u 1, u 2 u 1 >= 0 e, portanto, u 1 = u 2. Em vista da proposição acima, a projeção ortogonal de um vetor v sobre um espaço W, quando existir, será denotada por proj v W. 2

3 Teorema 12 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, W um subespaço de V e v um vetor em V. A projeção de v sobre W existe e é dada por proj v W =< v, v 1 > v 1 + < v, v 2 > v < v, v n > v n desde que β = {v 1, v 2,..., v n } seja uma base ortonormal para W. Prova. Seja β = {v 1, v 2,..., v n } uma base ortonormal para W. Devemos mostrar que < v < v, v 1 > v 1 + < v, v 2 > v < v, v n > v n, u >= 0 para todo vetor u W. Para tanto, basta notar que < v < v, v 1 > v 1 + < v, v 2 > v < v, v n > v n >, v i >= 0 para todo i = 1, 2,..., n. Tal como em situações canônicas como R 2 e R 3 com o produto interno usual, o vetor proj v W possui uma importante característica enfatizada pela proposição abaixo. Proposição 13 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, W um subespaço de V e v um vetor em V. O vetor projw v é o vetor de W mais próximo de v, isto é, v projw v = dist(v, projv W ) dist(v, u) = v u para todo vetor u em W. Prova. Sendo u W temos que proj v W u W. Notemos que v u = v projv W + projv W u e, usando a observação 8, teremos seguindo daí o resultado. v u 2 = v proj v W 2 + proj v W u 2, Observação 14 É possível mostrar que o vetor projeção pode ser caracterizado pela proposição acima, ou seja, w = projw v se, e somente se, dist(v, w) dist(v, u) para todo u em W. Devido a este fato, muitas vezes, o vetor projw v é chamado melhor aproximação de v por vetores de W. Definição 15 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, w e v vetores em V. A projeção ortogonal de v sobre [w] será dita projeção ortogonal de v na direção de w e será denotada por projw. v Em vista do teorema anterior, se w 0, temos que proj v w = <v,w> w 2 w. Definição 16 Sejam V um espaço vetorial com produto interno e S um subconjunto de V. Chamaremos suplementar ortogonal de S o conjunto S formado por todos os vetores de V que são ortogonais a qualquer vetor de S, isto é, S = {v V ; < v, u >= 0 u S}. Exemplo 17 Determine S sendo S = {(1, 2, 3, 1, 2), (2, 4, 7, 2, 1), (1, 1, 1, 0, 1)}. Proposição 18 Sejam V um espaço vetorial com produto interno e S um subconjunto de V. O conjunto S é um subespaço vetorial de V. 3

4 Sendo V um espaço vetorial com produto interno e W um subespaço de V, a proposição anterior nos diz que W é um subespaço de V. No caso de um espaço vetorial de dimensão finita temos, ainda, um pouco mais. Teorema 19 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e W um subespaço de V. Então V = W W. Em particular, dim V = dim W + dim W. Prova. É claro que W W = {0}. Só nos resta provar, então, que V = W + W, isto é, devemos mostrar que qualquer vetor v V pode ser escrito como soma de dois vetores w, w respectivamente em W e W. Sabemos que v proj v w W e, como, v = proj v w + v proj v w, temos o resultado. Observação 20 Em face do teorema acima, dados V um espaço vetorial de dimensão finita e W um subespaço de V, o subespaço W será chamado subespaço complementar de W em V ou simplesmente o complemento ortogonal de W. Exemplo 21 Seja W = [(1, 1, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0)]. Determine o complemento ortogonal de W. Determine uma base ortonormal para W. Exercício 22 1) Sejam V um espaço vetorial com produto interno, u e v vetores em V. Mostre que u + v 2 + u v 2 = 2( u v 2 ). 2) Sejam W = [(1, 1, 2, 0), (2, 0, 4, 1), ( 4, 2, 8, 3)] e v = (1, 1, 0, 0). (a) Determine uma base ortonormal para W. v W? Justifique! (b) Determine o complemento ortogonal de W? v W? Justifique! (c) Determine proj v w. (d) Determine proj v W. 3) Prove a proposição 18. 4) Sendo W um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita com produto interno, mostre que (W ) = W. 5) Seja β = {(1, 2, 2, 3), (2, 3, 2, 4)}. (a) Mostre que β é um conjunto ortogonal. (b) β é um conjunto ortonormal? Justifique! 4

5 (c) Complete β de forma a obter uma base ortogonal para R 4. 6) Determine uma base ortonormal para W = [(2, 1, 3, 1), (7, 4, 3, 3), (1, 1, 6, 0), (5, 7, 7, 8)]. 7) Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para demonstrar a desigualdade triangular. (Observação 12, notas 2!) 8) Seja V um espaço vetorial com produto interno. (a) Mostre que < u, v >= 0 v V v = 0. (b) Mostre que u = v < u, w >=< v, w > w V. 9) Sejam V um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita S um subconjunto finito de V. Mostre que (S ) é o subespaço gerado por S. 10) Sejam V um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita e β = {u 1, u 2,..., u n } uma base ortonormal para V. Mostre que, sendo u e v vetores em V teremos < u, v >= n < u, u k >< v, u k >. k=1 5