Notas de Aula - Espaços Vetoriais I

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1 Notas de Aula - Espaços Vetoriais I 1 O espaço vetorial R 2 A definição de espaço vetorial que veremos adiante faz uso da ideia de operações definidas sobre um conjunto. Iniciaremos nosso estudo explorando esta noção. 1.1 Somas definidas sobre o conjunto R 2 Você, com certeza, está familizarido com o conjunto R 2, isto é, o conjunto R 2 = {(x, y), x, y R}. Neste conjunto temos uma forma de somar usual, que geralmente, num curso de Geometria Analítica, nos referimos como soma de vetores. Esta soma usual é definida como (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Para nossos propósitos, o mais importante é observar que esta operaçãoo de soma sobre R 2 satisfaz: 1) Ela é comutativa, isto é, (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2. 2) Ela é associativa, isto é, [(x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )] + (x 3, y 3 ) = (x 1, y 1 ) + [(x 2, y 2 ) + (x 3, y 3 )] (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) R 2. 3) Ela possui elemento neutro, isto é, existe um elemento (x, y) R 2 tal que (x 1, y 1 ) + (x, y) = (x, y) + (x 1, y 1 ) = (x 1, y 1 ) (x 1, y 1 ) R 2. Claramente este elemento é o vetor (0, 0) 4) Todo elemento de R 2 possui um elemento simétrico, isto é, para cada elemento (x, y) R 2 existe um elemento (x 1, y 1 ) R 2 tal que (x 1, y 1 ) + (x, y) = (x, y) + (x 1, y 1 ) = (0, 0). 1

2 É simples ver que este elemento (x 1, y 1 ) é o vetor ( x, y). O interessante é que poderíamos definir outras somas em R 2, ou seja, poderíamos mudar a regra da soma usual. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1 Neste primeiro exemplo definiremos nossa soma como (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2. Note que, por exemplo, (1, 0) + (2, 3) = (1, 5). Esta soma é comutativa? Para responder a esta pergunta, geralmente temos duas opções, quais sejam: i) Mostrar que (x 1, y 1 )+(x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 )+(x 1, y 1 ) (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2 e daí a resposta à pergunta seria positiva. ii) Encontrar dois vetores (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) tais que (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) e daí a resposta à pergunta seria negativa. Neste caso a opção (ii) nos parece melhor já que temos (1, 0) + (2, 3) = (1, 5) e (2, 3) + (1, 0) = (5, 1) e, portanto, a operação não é comutativa. É interessante observar que (1, 4) + (2, 3) = (2, 3) + (1, 4) = (5, 5) mas isto não implica que a operação é comutativa já que para ser comutativa devemos ter (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2 e não apenas para alguns vetores em R 2. Exemplo 2 Definiremos nossa soma como (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + y 2, y 1 + x 2 ). Observamos que ao definirmoa a soma já estará implícito que a definição vale para quaisquer (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) em R 2. Para esta soma temos, por exemplo, (1, 0) + (2, 3) = (4, 2). Tal como no exemplo anterior é fácil ver que esta soma não é comutativa. Exemplo 3 A soma definida por (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (y 1 + y 2, x 1 + x 2 ) é comutativa?. Note que (1, 0) + (2, 3) = (3, 3) = (2, 3) + (1, 0). Como dissemos acima, isto não é suficiente para concluirmos que a operação é comutativa. Neste exemplo, teremos que usar a opção (ii) acima, isto é, devemos tentar provar que (x 1, y 1 )+(x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 )+(x 1, y 1 ) (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2. Geralmente o mais fácil é fazermos separado (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) e (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) comparando os resultados finais para verificarmos se são iguais independente de x 1, y 1, x 2 e y 2. Vejamos: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (y 1 + y 2, x 1 + x 2 ) e (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) = (x 2 + x 1, y 2 + y 1 ). Como a soma de números reais é comutativa, os resultados são iguais e, portanto, a operação é comutativa. Exemplo 4 A soma definida acima, que já sabemos ser comutativa, possui elemento neutro? De outra forma, existe um vetor (x, y) tal que (x 1 + y 1 ) + (x, y) = (x 1, y 1 ) (x 1, y 1 ) R 2? Geralmente a forma mais simples de responder a esta pergunta é tomarmos um primeiro vetor em R 2 e tentarmos determinar um segundo vetor que somado ao primeiro produza como resultado o primeiro. Assim, o segundo vetor será um candidato a elemento neutro. Tomemos o vetor (1, 0) e busquemos um vetor (x, y) tal que (1, 0) + (x, y) = (1, 0). Pela definição de nossa soma teremos (1, 0) + (x, y) = (y, 1 + x). Para que (1, 0) + (x, y) = (1, 0) devemos ter (y, 1 + x) = (1, 0), ou ainda,y = 1, x = 1. Logo o único vetor que somado ao vetor (1, 0) 2

3 produz o próprio vetor (1, 0) é o vetor ( 1, 1) e, portanto, se a soma estudada possui elemento neutro, este só pode ser o vetor ( 1, 1). Devemos responder agora à seguinte pergunta: Vejamos (x, y) + ( 1, 1) = (x, y) (x, y) R 2? (x, y) + ( 1, 1) = (y + 1, x 1) mas (y+1, x 1) não é igual a (x, y) para todo (x, y). De fato é simples verificar que (y+1, x 1) é igual a (x, y se, e somente se, x = y + 1 (verifique!), o que acontece no vetor (1, 0). Mas, por exemplo, (1, 1) + ( 1, 1) = (2, 0) (1, 1). Constatamos, então, que a soma não possui elemento neutro. Exemplo 5 Vejamos, agora, um exemplo mais interessante. Estudemos a soma (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 ). É simples verificar que esta soma é comutativa( e também associativa). Tal como no exemplo anterior, para verificarmos a exsitência do elemento neutro, busquemos um vetor (x, y) tal que (1, 0) + (x, y) = (1, 0) (Poderíamos fixar outro vetor diferente de (1, 0)). Pela definição da soma, teremos (1, 0) + (x, y) = (1 + x + 1, y) e para termos (1, 0) + (x, y) = (1, 0) devemos ter x = 1 e y = 0. Logo nosso único candidato a elemento neutro é o vetor ( 1, 0). Verifiquemos se ( 1, 0) é realmente o elemento neutro. Temos (x, y) + ( 1, 0) = (x , y + 0) = (x, y) e, portanto, a soma possui elemento neutro que é o vetor ( 1, 0). Neste exemplo tem sentido verificarmos a existência de elemento simétrico. Para tanto, para cada (x, y) R 2 devemos verificar a existência de (x 1, y 1 ) tal que (x, y) + (x 1, y 1 ) = ( 1, 0)(elemento neutro). Note que (x, y) + (x 1, y 1 ) = (x + x 1 + 1, y + y 1 ) e então devemos ter (x + x 1 + 1, y + y 1 ) = ( 1, 0)(não se esqueça que estamos buscando x 1 e y 1 ). Resolvendo o sistema obtemos x 1 = x 2 e y 1 = y. Podemos verificar fazendo a soma (x, y) + ( x 2, y) = ( 1, 0). Então, todo vetor (x, y) R 2 possui simétrico dado por ( x 2, y). Exercício 6 1) A operação do exemplo (1) é associativa? Justifique! 2) (a) A operação do exemplo (2) é associativa? Justifique! (b) Determine, se existirem, dois vetores (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) tais que (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) 3) Utilizando a soma do exemplo (4) determine, se existir, um vetor (x, y) tal que ( 1, 3)+ (x, y) = (x, y) + ( 1, 3) = ( 1, 3). 1.2 Multiplicaçoes por escalar definidas sobre o conjunto R 2 Tal como enfatizamos acima, você também está acostumado a multiplicar um número(escalar) por um vetor, onde esta multiplicação é definida por λ(x, y) = (λx, λy) λ R e (x, y) R 2. 3

4 No caso desta multiplicação, tomando a soma usual, temos que: 1) λ[(x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )] = λ(x 1, y 1 ) + λ(x 2, y 2 ) λ R e (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2. 2) (λ + µ)(x, y) = λ(x, y) + µ(x, y) λ, µ R e (x, y) R 2. 3) λ[µ(x, y)] = (λµ)(x, y) λ, µ R e (x, y) R 2. 4) 1(x, y) = (x, y) (x, y) R 2. Fixada uma soma em R 2, estaremos interessados em multiplicações sobre R 2 que satisfaçam (1), (2), (3) e (4) acima. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 7 Considere sobre R 2 a soma usual e o produto dado por λ(x, y) = (λy, λx). Claramente observamos que esta multiplicação não satisfaz a condição (4) acima. Exemplo 8 Considere em R 2 a soma e produto dados por (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 +y 2 ) e λ(x, y) = (λx, λy). Verifiquemos se a condição (1) acima está verificada. Teremos λ[(x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )] = λ(x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 ) = (λx 1 + λx 2 + λ, λy 1 + λy 2 ) e λ(x 1, y 1 ) + λ(x 2, y 2 ) = (λx 1, λy 1 ) + (λx 2, λy 2 ) = (λx 1 + λx 2 + 1, λy 1 + λy 2 ). É simples verificar que os dois resultados obtidos nem sempre são iguais e, portanto, R 2 com esta multiplicação não satisfaz (1). Exemplo 9 Acompanhe este exemplo. Considere em R 2 a soma e produto dados por (x 1, y 1 )+ (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 ) e λ(x, y) = (λx + λ 1, λy). Verifiquemos quais condições dentre (1), (2), (3) e (4) acima estão verificadas. Inicialmente, é simples verificarmos que a condição (4) é satisfeita. Busquemos mostrar que as outras condições também são válidas. O mais simples nos três casos talvez seja calcular os lados direito e esquerdo e comparar os resultados. Vejamos a condição (1). Calculando o lado direito teremos λ[(x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )] = λ(x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 ) = (λ(x 1 + x 2 + 1) + λ 1, λ(y 1 + y 2 )) = (λx 1 + λx 2 + λ + λ 1, λy 1 + λy 2 ) = (λx 1 + λx 2 + 2λ 1, λy 1 + λy 2 ). Já o lado esquerdo nos leva a λ(x 1, y 1 ) = λ(x 2, y 2 ) = (λx 1 +λ 1, λy 1 )+(λx 2 +λ 1, λy 2 ) = (λx 1 +λx 2 +2λ 1, λy 1 +λy 2 ). Logo, a condição (2) está verificada. Quanto à condição (2) teremos: (λ + µ)(x, y) = ((λ + µ)x + λ + µ 1, (λ + µ)y) = (λx + µx + λ + µ 1, λy + µy). Por autro lado λ(x, y) + µ(x, y) = (λx + λ 1, λy) + (µx + µ 1, µy) = (λx + λ + µx + µ 1, λy + µy).. Vejamos a condição (3). λ[µ(x, y)] = λ[(µ+µ 1, µy)] = (λ(µx+µ 1)+λ 1, λµy) = (λµx+λµ λ+λ 1, λµy) = (λµx + λµ 1, λµy. Temos ainda (λµ)(x, y) = (λµx + λµ 1, λµy). 4

5 Exercício 10 Sejam a e b números reais fixados. Em R 2 considere a soma e o produto definidos por (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + a, y 1 + y 2 + b) e λ(x 1, y 1 ) = (λx 1 + λa a, λy 1 + λb b). Mostre que todas as condições para soma e produto são satisfeitas, determinando, inclusive, elemento neutro e simétricos. Observação 11 As operações de soma e produto usuais em R 2 nos fornecem um exemplo de espaço vetorial real, isto é, real 2 com a soma usual e produto usual, que sabemos satisfazem as 4 condições da soma e as 4 condições do produto, será dito um espaço vetorial real. Os exemplos (5) e (9) nos mostram que R 2 com a soma (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 ) e produto λ(x 1, y 1 ) = (λx 1 + λ + 1, λy 1 ) também é um espaço vetorial real. 1.3 Espaços Vetoriais Reais Diante das considerações acima foi simples perceber que definir uma soma sobre R 2 é definir uma regra que associa a cada par (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) o elemento de R 2 dado por (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ). De maneira análoga, definir uma soma por escalar(número real) é definir uma regra que associa a cada par λ R e (x, y) R 2 o vetor em R 2 dado por λ(x, y). Poderíamos generalizar tal noção para um conjunto qualquer, em particular, estaremos interessados em somas e multiplicações definidas sobre conjuntos do tipo: 1) R n = {(x 1, x 2,..., x n ) com x 1, x 2,..., x n R} para um certo número natural n > 0 fixado. 2) M m n =conjunto das matrizes m n. 3) F [I] = {f : I R} onde I é um intervalo de R fixado. Vale ressaltar que em todos estes conjuntos já conhecemos a soma e produto por escalar usuais que satisfazem tanto as condições para soma quanto para produto. Temos, então a importante definição. Definição 12 Um conjunto não-vazio V juntamente com uma operação de soma e uma operação de produto por número real definidas sobre V será dito um espaço vetorial real(espaço vetorial) se estas operações satisfazem: (1) A soma é comutativa, isto é, u + v = v + u u, v V (2) A soma é asociativa, isto é, (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w V (3) Existe elemento neutro para a soma, isto é, existe um elemento w V tal que v + w = w + v = v v V 4) Todo elemento possui simétrico, isto é, para cada v V fixado, existe v V tal que v + v = v + v = w(elemento neutro) 5) A multiplicação é associativa, isto é, λ(µv) = (λµ)v, forall λ, µ R e v V 5

6 6) A multiplicação é distributiva em relação à soma em V, isto é, λ(u + v) = λu + λv λ R e u, v V 7) A multiplicação é distributiva em relação ao produto de números, isto é, (λ + µ)v = λv + µv λ, µ R e v V 8) 1v = v v V. Antes de passarmos a alguns exemplos, façamos algumas considerações sobre esta definição. 1) Um espaço vetorial é composto pelo conjunto V e as operações fixadas de soma e produto satisfazendo as condições acima, ou seja, se mudamos uma ou as duas operaçoes, ainda que as novas operações satisfaçam as condições acima teremos um outro espaço vetorial. Vide a observação 11 acima. 2) A condição (8) pode parecer óbvia, mas depende do produto definido, já que à esquerda temos o produto do número 1 pelo elemento v e à direita somente o elemento v. Vide exemplo 7 acima. 3) Ao assumirmos que um conjunto V é um espaço vetorial, estará implícito que o mesmo é não-vazio e que existem operações de soma e produto fixadas satisfazendo as condições acima. Os elementos de um espaço vetorial serão chamados vetores. 4) Um espaço vetorial será dito complexo se as condições 5, 6 e 7 são verificadas para números complexos. Neste curso estaremos sempre trabalhando com espaços vetoriais reais. 5) As operações definidas devem sempre ter como resultado um elemento ainda de V, isto é, ao somarmos dois elementos de V o resultado deve ainda estar em V. Ao multiplicarmos um número por um elemento de V o resultado sempre deve ser um elemento de V. 6) Abaixo mostraremos que o elemento neutro de um espaço vetorial é único e o denominaremos por vetor nulo do espaço, indicando-o por 0. Mostraremos ainda que para cada vetor v fixado seu simétrico é único. Este simétrico será indicado por v. Bem entendido, v é o vetor que somado ao vetor v produz como resultado o vetor nulo. Vejamos agora alguns exemplos. Exemplo 13 Já sabemos que R n, M m n e F [i] são espaços vetoriais reais com as operações de soma e produto usuais. Quando nos referirmos a alguns destes conjuntos ou mesmo subconjuntos destes e não mencionarmos as operações, estaremos supondo sempre as operações usuais. Sendo V um espaço vetorial, temos os chamados subespaços triviais de V, quais sejam, W = V e W = {0}. {( ) } x 1 Exemplo 14 Considere V =, x R. Note que ao somarmos dois elementos 1 x de V obtemos um elemento que não está em V, logo a soma usual não define uma operação sobre V e nem temps nada a considerar para concluir que não temos um espaço vetorial com as operações usuais. Exemplo 15 onsidere V = {( x 0 0 x ) }, x R. V é um espaço vetorial? 6

7 Observe que, neste caso, as operaçoes usuais definem soma e produto sobre V. É claro que todas as condições da definição anterior são satisfeitas e, portanto, V é um espaço vetorial. Exemplo 16 Considere R 2 com as operações referidas no exemplo 9. Como mostramos naquele exemplo, R 2 com aquelas operações é um espaço vetorial. No exemplo 5 determinamos o vetor nulo deste espaço, qual seja, ( 1, 0) e, portanto, para este espaço teremos ( 1, 0) = 0(vetor nulo do espaco). No exemplo 5 determinamos ainda o simétrico para cada vetor v = (x, y), isto é, v = ( x 2, y). Exemplo 17 Determine escalares λ e µ tais que λ( 1, 2) + µ(4, 3) = 0. Note que 0 à direita da igualdade significa o vetor nulo do espaço, neste caso, como nada foi mencionado sobre operações teremos, 0 = (0, 0). logo devemos determinar λ e µ tais que λ + 4µ = 0 e 2λ + 3µ = 0, isto é, devemos resolver o seguinte sistema homogêneo: { λ + 4µ = 0 2λ + 3µ = 0 É simples verificar que a única solução do sistema é λ = µ = 0. Exemplo 18 Considere o espaço vetorial do exemplo 16. Determine escalares λ e µ tais que λ( 1, 2) + µ(4, 3) = 0. Neste exemplo devemos lembrar que 0 = ( 1, 0) juntamente com as operaçoes definidas. Usando a definição do produto teremos λ( 1, 2) = ( λ + λ 1, 2λ) = ( 1, 2λ). Teremos, ainda, µ(4, 3) = (4µ + µ 1, 3µ) = (5µ 1, 3µ). Logo λ( 1, 2) + µ(4, 3) = (5µ 2 + 1, 2λ + 3µ) = (5µ 1, 2λ + 3λ). Portanto devemos ter (5µ 1, 2λ + 3λ) = ( 1, 0), o que nos leva ao sistema { 5µ 1 = 1 2λ + 3µ = 0 É simples verificar que a única solução do sistema é λ = µ = 0. Exemplo 19 Determine escalares λ e µ tais que λ( 1, 2) + µ(4, 3) = (1, 1). Neste caso, devemos resolver o sistema { λ + 4µ = 1 2λ + 3µ = 1 É simples verificar que a única solução do sistema é λ = 1/11 e µ = 3/11. Exemplo 20 Considere o espaço vetorial do exemplo 16. Determine escalares λ e µ tais que λ( 1, 2) + µ(4, 3) = (1, 1). Neste caso, somos levados ao sistema { 5µ 1 = 1 2λ + 3µ = 1 É simples verificar que a única solução do sistema é λ = 1/10 e µ = 2/5. 7

8 Exemplo 21 Seja P 2 = {p : R R; p(x) = a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 com a 2, a 1, a 0 R}. Note que P 2 F [R]. É simples verificar que com as operaçoes usuais P 2 é um espaço vetorial. É muito importante entender a proposição abaixo. Proposição 22 Seja V um espaço vetorial. Então: 1) O vetor nulo é único 2) Para cada vetor v V seu simétrico é único 3) Se λ R temos λ0 = 0 ( Em ambos os casos 0=vetor nulo do espaço! ) 4) Se v V então 0v = 0 ( note que èsquerda temos o escalar 0 e à direia o vetor nulo! ) 5) Para todo v V e n número natural teremos nv = v + v v }{{} n parcelas 6) Para todo v V temos v = 1v. 7) λv = 0 λ = 0 ou v = 0 Prova. 1) Como V é um espaço vetorial, sabemos que existe um elemento neutro. Geralmente, para mostrarmos que existe apenas um, supomos a existência de dois e msotramos que estes são iguais. Consideremos 0 e 0 elementos neutros. Como 0 é elemento neutro devemos ter = 0. Por outro lado, como 0 é elemento neutro, temos que = 0 e, daí, temos que 0 = 0. 2) Seja v V e suponhamos w e w simétricos de v. Então temos w = w+0 = w+(v+w ) = (w + v) + w = 0 + w = w. 3) Temos λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0. Somando o simétrico de λ0 a ambos os lados teremos λ0 + ( λ0) = λ0 + λ0 + ( λ0), ou ainda, 0 = λ0. 4) 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v. Tal como no item anterior somando o simétrico de 0v a ambos os lados teremos 0 = 0v. 5) v } + v + {{... + v } = (1 } {{ } )v = nv n parcelas n parcelas 6) Para mostrar que v = 1v devemos mostrar que o simétrico de v é o vetor 1v, isto é, devemos mostrar que 1v + v = 0. Mas 1v + v = 1v + 1v = ( 1 + 1)v = 0v = 0, logo 1v = v. 7) Suponhamos λv = 0. Se λ 0 podemos multiplicar a igualdade por 1/λ e daí obtemos v = 1 0 = 0. Daí temos que se λ 0 teremos v = 0, logo pelo menos um deles é igual a 0. λ Exercício 23 1) O conjunto V = {( x 0 0 y ) }, x R é um espaço vetorial? Justifique! 8

9 2) Sobre o conjunto M 2 2 definimos a operação: ( ) ( ) ( ) x z x1 z + 1 x + x1 + 1 z + z = w y w 1 y 1 w + w y + y (a) Esta soma possui elemento neutro? Justifique! Se sim, determine-o e verifique quais elementos possuem simétrico. (b) M 2 2 é um espaço vetorial com esta soma e o prouto usual? Justifique! 3) Considere M 2 2 com a soma definida no exercício anterior e o produto definido por ( ) ( ) x z λx + λ 1 λz + 2λ 2 λ = w y λw + 3λ 3 λy + 4λ 4 (a) Mostre que, neste caso, M 2 2 é um espaço vetorial. (b) Determine o vetor nulo do espaço. (c) Para cada vetor v M 2 2 determine v. (d) Determine, se existirem, escalares λ e µ tais que ( ) ( λ + µ ) = 0 (e) Determine, se existirem, escalares λ, µ, α, β tais que ( ) ( ) ( ) ( λ + µ + α + β ) = 0 4) Mostre que o conjunto V = {(x, y, 0), x, y R} é um espaço vetorial. (operaçoes usuais de R 3 ) 2 Subespaços Vetoriais e Combinações Lineares 2.1 Subespaços Vetoriais Se considerarmos o conjunto V = {(x, 0), x R} com as operações usuais de soma e produto do R 2 será simples verificarmos, tal com no exercício 4 acima, que V será um espaço vetorial. Como o próprio R 2 é um espaço vetorial, temos um espaço vetorial contido em outro espaço vetorial. Daí temos a importante noção de subespaço vetorial. Definição 24 Seja V um espaço vetorial. Um subespaço (vetorial) de V é um conjunto nãovazio W que é um espaço vetorial com as operações de soma e produto por escalar de V. 9

10 Em vista da definição acima, para mostrarmos que um conjunto é um subespaço deveríamos verificar todas as oito condições da definição de espaço vetorial. O teorema abaixo motra que isto não é necessário. Teorema 25 Um conjunto W é um subespaço de um espaço vetorial V se, e somente se: (i) w e W V (ii) u + v W u, v W (iii) λv W, λ R e v W. Prova. Será discutida em sala! Exemplo 26 O conjunto X = {(x, 0, 0); x R} é um subspaço vetorial de R 3? Justifique! Exemplo 27 O conjunto W = {(x, x + y, x y), x, y R} é um subspaço vetorial de R 3? Justifique! Exemplo 28 O conjunto W = {(2λ 1, 2λ), λ R} é um subespaço de R 2? Justifique! Exemplo 29 O conjunto V = {(x, y, 1, 0) R 4 } é um subspaço vetorial de R 4? Justifique! Exemplo 30 O conjunto W = {(2λ 1, 2λ), λ R} é um subespaço de R 2 com as operações definidas no exemplo 9? Justifique! Exemplo 31 Uma função f : R R é dita par se f(x) = f( x) x R. Mostre que o conjunto das funções pares é um subespaço de F [R]. 2.2 Combinações lineares e dependência linear Definição 32 Um vetor v de um espaço vetorial V será dito uma combinação linear dos vetores v 1, v 2,..., v k, que também estão em V, se existirem números reais λ 1, λ 2,..., λ k tais que v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k. Exemplo 33 Verifique se o vetor v = (1/2, 1) é combinação linear dos vetores v 1 = ( 1, 0), v 2 = (1, 1/2) e v 3 = (0, 1/2). O conjunto de todos os vetores que são combinação linear dos vetores v 1, v 2,..., v k será indicado por [v 1, v 2,..., v k ]. 10

11 Em outras palavras, anotaremos v [v 1, v 2,..., v k ] se, e somente se, existirem números reais λ 1, λ 2,..., λ k tais que v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k. Note que v [u] v = λu para algum λ R. Neste caso, diremos que o vetor v é múltiplo do vetor u. Exemplo 34 ( 1, 1, 2) [(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)]? Proposição 35 Sejam v 1, v 2,..., v k vetores de um esapaço vetorial V. Então W = [v 1, v 2,..., v k ] é um subespaço vetorial de V. Tal subespaço será dito subespaço gerado por v 1, v 2,..., v k e {v 1, v 2,..., v k } será chamado um conjunto de geradores para W. Exemplo 36 (1, 0, 1) [(1, 1, 0) e (1, 1, 10)]? Exemplo 37 R 3 = [(0, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0)]? Exemplo 38 (2, 1) [( 1, 1), ( 1, 3)]? Exemplo 39 Considerando o espaço vetorial do exemplo 16, teremos (2, 1) [( 1, 1), ( 1, 3)]? Note que no exemplo anterior, o vetor ( 1, 3) é múltiplo do vetor ( 1, 1) pois ( 1, 3) = 3( 1, 1). Um dos fatos mais relevantes sobre combinações lineares é revelado no teorema abaixo. Teorema 40 Sejam V um espaço vetorial e v 1, v 2,..., v n vetores em V. Então W = [v 1, v 2,..., v n ] é um subespaço vetorial de V. Em particular W é um espaço vetorial. Prova. Utilizemos o teorema 25. É claro que W e W V (condição i). Agora, sejam u e v em W e mostremos que u + v W. Como u W teremos que u = λ 1 v λ n v n. Da mesma forma, teremos v = γ 1 v γ n v n. Logo, u + v = (λ 1 + γ 1 )v (λ n + γ n )v n W e a condição (ii) está verificada. Verifiquemos a condição (iii). Novamente, como u W teremos que u = λ 1 v λ n v n e, daí, µu = µ(λ 1 v λ n v n ) = µλ 1 v µλ n v n W. A prova está terminada. Se w = [v 1, v 2,..., v n, diremos que W é o espaço gerado por v 1, v 2,..., v n ou que v 1, v 2,..., v n geram W ou ainda que {v 1, v 2,..., v n } é um conjunto gerador para W. Exercício 41 1) Mostre que os seguintes subconjuntos de R 4 são subspaços a) W = {(x, y, z, t) R 4 ; x + y = 0 e z t = 0} b) U = {(x, y, z, t) R 4 ; 2x + y t = 0 e z = 0} 2) Os conjuntos abaixo são subspaços? Justifique! 11

12 {( a b a) V = c d {( a b b) W = c d ) ) } M 2 2 com b = c } M 2 2 com b = c + 1 3) O conjuntos das matrizes simétricas n n é um subspaço vetorial de M n n? E o conjunto das anti-simétricas? 4) Considere o subspaço de R 4 S = [(1, 1, 2, 4), (1, 1, 2, 1), (1, 4, 4, 8)] a) O vetor (2, 1, 1, 2) S? b) O vetor (0, 0, 1, 1) S? {( ) } 2a a + 2b 5) Seja W = M 0 a b 2 2 a) W é um subspaço de M 2 2? Justifique! ( ) 0 2 b) W? 0 1 ( ) 0 2 c) W? ) Seja W = 1 1, 0 1, O vetor W? 7) Considere em F [R] as funções f(x) = 1, g(x) = sen 2 x e h(x) = cos 2 x. Teremos f [g, h]? Justifique! 8) Considere em F [R] as funções f(x) = e x, g(x) = sen x e h(x) = cos x. Teremos f [g, h]? Justifique! 3. 9) Considere o espaço vetorial M 2 2 com as operações definidas no exercício 23, itens 2 e Seja W = [( ) ( 0 1, 0 1 ) ( 0 1, 0 0 )] ( 0 2. O vetor 3 4 ) W? Dados um espaço vetorial V e vetores v 1, v 2,..., v n em V, o teorema 25 nos mostra que W = [v 1, v 2,..., v n ] é um espaço vetorial. Temos então a seguinte pergunta: Problema 42 Seja V um espaço vetorial. Existe um número inteiro positivo k e vetores v 1, v 2,..., v k tais que V = [v 1, v 2,..., v k ].? Em outras palavras, existe um conjunto finito de geradores para V? Os espaços para os quais a resposta à pergunta acima é verdadeira são os chamados espaços vetoriais de dimensão finita. Formalmente temos a seguinte definição. Definição 43 Um espaço vetorial V será dito um espaço(vetorial) de dimensão finita se existe um número inteiro positivo k e vetores v 1, v 2,..., v k tais que V = [v 1, v 2,..., v k ]. 12

13 Exemplo 44 Para cada número inteiro positivo n teremos que R n é um espaço de dimensão finita! Para caracterizarmos os espaços de dimensão finita, a resposta aà pergunta abaixo derá de grande ajuda. Sabemos que dados vetores v 1, v 2,..., v k V podemos sempre escrever o vetor nulo como combinação linear destes vetores, isto é, 0 = 0v 1 + 0v v k. Problema 45 Será que a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear de v 1, v 2,..., v k é esta? Vejamos alguns exemplos. Exemplo 46 1) Mostre que a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores v = (1, 0, 0), u = ( 1, 1, 0) e w = (1, 1, 1) é 0 = 0v 1 + 0v 2 + 0v 3. 2) E no caso dos vetores v = (1, 0, 0), u = ( 1, 1, 0) e w = (1, 1, 0)? Exemplo 47 Mostre que, em F [R], a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores f(x) = sen x e g(x) = cos x é 0 = 0sen x + cos x. Definição 48 Um conjunto de vetores {v 1, v 2,..., v k } V será dito linearmente independente (LI), ou ainda, os vetores v 1, v 2,..., v k são LI, se a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear destes vetores é 0 = 0v 1 + 0v v k. De outra forma, {v 1, v 2,..., v k } é LI se, e somente se, λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ k = 0. Exemplo 49 1) O conjunto {(1, 1), ( 1, 1), (1, 0)} é LI? 2) O conjunto {(1, 1), ( 1, 1)} é LI? 3) O conjunto {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 0, 3)} é LI? Exemplo 50 As funções f(x) = x, g(x) = x 2 e h(x) = x 3 são LI? Justifique! Exemplo 51 Considerando o espaço vetorial do exemplo 16, teremos (1, 1), (2, 2) vetores LI? Justifique! Exemplo 52 Considere o espaço vetorial M 2 2 com as operações definidas no exercício 23, itens 2 e 3. {( ) ( ) ( )} O conjunto W =,, é LI?

14 Observação 53 1) Se um conjunto de vetores não é LI, diremos que o mesmo é linearmente dependente (LD). 2) Quando o conjunto de vetores {v 1, v 2,..., v k } é LI (LD) muitas vezes diremos que os vetores v 1, v 2,..., v k são LI (LD). Exercício 54 1) Os vetores (1, 0, 0, ), (1, 2, 0, (1, 2, 3) são LI? Justifique. 2) Sejam v 1, v 2,..., v k vetores LI de um espaço vetorial V e λ 0 um número real. Mostre que λv 1, λv 2,..., λv k são LI. 3) O conjunto W = {1, sen 2 x, cos 2 x} é LI? Justifique. 4) Sejam {v 1, v 2, v 3 } um conjunto LI de um espaço V e w = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 com λ i 0, i = 1, 2, 3. Mostre que se substituírmos um dos vetores v j pelo vetor w o conjunto obtido ainda será LI. 5) Generalize o exercício anterior para qualquer número de vetores. Em outras palavras, sejam {v 1, v 2,..., v k } um conjunto LI de um espaço V e w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k com λ i 0, i = 1, 2,..., k. Mostre que se substituírmos um dos vetores v j pelo vetor w o conjunto obtido ainda será LI. 6) Mostre que um conjunto de 3 vetores em R 2 é LD. 7) Mostre que um conjunto com mais de 2 vetores em R 2 é LD. 8) Mostre que um conjunto de 4 vetores em R 3 é LD. 9) Mostre que um conjunto com mais de 3 vetores em R 3 é LD. 10) Considere o espaço vetorial M 2 2 com as operações definidas no exercício 23, itens 2 e 3. Exiba, justificando, um conjunto formado por 4 vetores que seja LI. 11) Considere o espaço vetorial M 2 2 com as operações definidas no exercício 23, itens 2 e 3. Exiba, justificando, um conjunto formado por 4 vetores não-nulos que seja LD. 12) Acrescente, se possível, 1 vetor ao conjunto W = {(1, 1)} de forma a obter um conjunto LI. 13) Acrescente, se possível, dois vetores ao conjunto W = {(1, 1, 1)} de forma a obter um conjunto LI. 14) Considere o espaço vetorial M 2 2 com as operações definidas no exercício 23, itens 2 e 3. {( ) ( )} Acrescente, se possível, dois vetores ao conjunto W =, de forma a obter um conjunto LI. 14