ÁLGEBRA LINEAR. Subespaços Vetoriais. Prof. Susie C. Keller

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1 ÁLGEBRA LINEAR Subespaços Vetoriais Prof. Susie C. Keller

2 Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam espaços vetoriais menores. Tais conjuntos S são chamados SUBESPAÇOS VETORIAIS. Se V = IR 2 (o plano), S pode ser uma reta que passa pela origem. A reta S funciona sozinha como um Espaço Vetorial, pois satisfaz os oito axiomas que o definem.

3 Para mostrar que S é Subespaço Vetorial de V, deveríamos testar os oito axiomas do Espaço Vetorial. Porém, como S é parte de V, não há necessidade da verificação de certos axiomas em S. Exemplo: A 2 : u + v = v + u, u, v V Se a propriedade acima (comutativa) é válida para todos os vetores de V, logicamente será válida para todos os vetores de S.

4 Teorema: Um subconjunto S, não vazio, de uma espaço vetorial V, é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições: u, v S, u + v S IR, u S, u S Sendo válidas essas duas condições em S, os oito axiomas de espaço vetorial também se verificam.

5 Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: O conjunto {0}, chamado de subespaço zero ou nulo, O próprio espaço vetorial V, Esses dois são os subespaços triviais de V, os demais são denominados subespaços próprios de V. Para V = IR 2, os subespaços triviais são: {(0,0)} e IR 2, enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem.

6 Exemplos: Sejam V = IR 2 e S = {(x, y) IR 2 / y = 2x} ou S = {(x, 2x); x IR}. Evidentemente S pois (0,0) S. Verificando as condições I e II: Para u = (x 1, 2x 1 ) S e v= (x 2, 2x 2 ) S tem-se: I) u + v = (x 1 + x 2, 2x 1 + 2x 2 ) = (x 1 + x 2, 2(x 1 + x 2 )) S II) u = (x 1, 2x 1 ) = ( x 1, 2( x 1 )) S As duas condições são satisfeitas pois a segunda componente do vetor continua sendo o dobro da primeira.

7 Portanto S é um Subespaço Vetorial de IR 2 e, representa uma reta que passa pela origem. Se somarmos dois vetores que estão sobre a reta, a resultante é um vetor que está sobre a reta. Se multiplicarmos um vetor da reta por um número real, teremos como resultante um vetor que está sobre a reta.

8 O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem, por exemplo: S = {(x, 4-2x); x R}, não é um espaço vetorial do IR 2. Se somarmos os vetores u = (1,2) e v = (2,0), obteremos u + v = (3,2) S Ainda se 1, u S Por exemplo = 2, u = 2 (1,2) = (2,4) S

9 Para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V, sempre que 0 S, S não é subespaço vetorial de V. No entanto, se 0 S, S pode ser ou não um subespaço vetorial. Ex.: S = {(x, x ), x R} Se u =(3,3) e v = (-2,2) u + v = (1,5) S Ainda se < 0, u S, -1(3,3) = (-3,-3) S.

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18 S é subespaço vetorial de IR 3.

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32 Assim, o conjunto solução S do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de M(3, 1).

33 Observações: Esse conjunto solução S pode ser também considerado subespaço de IR 3, pois um vetor (x, y, z) IR 3 tem notação matricial: x y z Esse subespaço S é também chamado espaço solução do sistema AX = 0. Se tivermos um sistema homogêneo de m equações com n variáveis, o espaço solução será um subespaço de IR n. Se um sistema linear é não homogêneo, o seu conjunto solução S não é um subespaço vetorial.

34 Interseção de dois Subespaços Vetoriais Sejam S 1 e S 2 dois subespaços vetoriais de V: S é a interseção de S 1 e S 2 (S = S 1 S 2 ), ou seja é o conjunto de todos os vetores v V tais que v S 1 e S 2.

35 Teorema: A interseção S de dois subespaços vetoriais S 1 e S 2 de V é um subespaço vetorial de V. De fato: I) Se u, v S 1, então u + v S 1; se u, v S 2, então u + v S 2. Logo: u + v S 1 S 2 = S

36 II) Para qualquer IR: se v S 1, então v S 1 ; se v S 2, então v S 2. Logo: v S 1 S 2 = S

37 Exemplos:

38 2) Seja o espaço vetorial IR 3 = {(a,b,c); a,b,c IR} e os subespaços vetoriais S 1 = {(a,b,0); a,b IR} e S 2 = {(0,0,c); c IR}. A interseção S 1 S 2 é o subespaço vetorial S = {(0,0,0)} = {0}.

39 Soma de dois Subespaços Vetoriais Sejam S 1 e S 2 dois subespaços vetoriais de V: S é a soma de S 1 e S 2 (S = S 1 + S 2 ), ou seja é o conjunto de todos os vetores u + v de V tais que u S 1 e v S 2.

40 Teorema: A soma S de dois subespaços vetoriais S 1 e S 2 de V é um subespaço vetorial de V. De fato: I) Se u 1, u 2 S 1, então u 1 + u 2 S 1; se v 1, v 2 S 2, então v 1 + v 2 S 2. Por outro lado: Logo: u 1 + v 1 S u 2 + v 2 S (u 1 + v 1 ) + (u 2 + v 2 ) = (u 1 + u 2 ) + (v 1 + v 2 ) S 1 + S 2 = S

41 II) Para qualquer IR: se u 1 S 1, então u 1 S 1 ; se v 1 S 2, então v 1 S 2. Por outro lado: u 1 + v 1 S logo: (u 1 + v 1 ) = u 1 + v 1 S 1 + S 2 = S

42 Exemplos: anterior

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44 Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais Sejam S 1 e S 2 dois subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é a soma direta de S 1 e S 2, e se representa por V = S 1 S 2, se V = S 1 + S 2 e S 1 S 2 = {0}.

45 Teorema: Se V é a soma direta de S 1 e S 2, todo vetor v V se escreve de modo único, na forma: onde v = u + w u S 1 e w S 2 De fato, de V = S 1 S 2, temos que, para qualquer v V: v = u + w, onde u S 1 e w S 2 Suponhamos que v pode ser expresso também por: v = u + w, onde u S 1 e w S 2 (1) (2)

46 Das equações (1) e (2) temos que: ou onde u + w = u + w u u = w w u u S 1 e w w S 2 Lembrando que S 1 S 2 = {0}: isto é: u u = w w = 0 u = u e w = w.

47 Exemplo: