VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ÁLGEBRA LINEAR II

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1 VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ÁLGEBRA LINEAR II Rio de Janeiro / 2007 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

2 UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB U n3p Universidade Castelo Branco Álgebra Linear II Rio de Janeiro: UCB, p ISBN 1 Ensino a Distância I Título CDD Universidade Castelo Branco - UCB Avenida Santa Cruz, 1631 Rio de Janeiro - RJ Tel (21) Fax (21) wwwcastelobrancobr

3 Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional Coordenadora de Educação a Distância Profª Ziléa Baptista Nespoli Coordenadora do Curso de Graduação Sônia Albuquerque - Matemática Conteudista Sônia Albuquerque Supervisor do Centro Editorial CEDI Joselmo Botelho

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5 Apresentação Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica Seja bem-vindo(a)! Paulo Alcantara Gomes Reitor

6 Orientações para o Auto-Estudo O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1 Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todos os conteúdos das Unidades Programáticas 1, 2, 3 e 4 A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso Bons Estudos!

7 Dicas para o Auto-Estudo 1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar Porém, seja disciplinado Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo 2 - Organize seu ambiente de estudo Reserve todo o material necessário Evite interrupções 3 - Não deixe para estudar na última hora 4 - Não acumule dúvidas Anote-as e entre em contato com seu monitor 5 - Não pule etapas 6 - Faça todas as tarefas propostas 7 - Não falte aos encontros presenciais Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina 8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação 9 - Não hesite em começar de novo

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9 SUMÁRIO 11 Quadro-síntese do conteúdo programático Contextualização da disciplina 12 UNIDADE I ESPAÇOS VETORIAIS Introdução Definição 13 UNIDADE II SUBESPAÇOS VETORIAIS Interseção de dois subespaços vetoriais Soma de dois subespaços vetoriais Soma direta de dois subespaços vetoriais 21 UNIDADE III COMBINAÇÃO LINEAR Subespaços gerados 22 UNIDADE IV DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Propriedades da dependência e independência linear Exercícios de fixação 26 Glossário30 Gabarito 31 Referências bibliográficas35 35

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11 Quadro-síntese do conteúdo programático 11 UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS 1 - ESPAÇOS VETORIAIS 11 - Introdução 12 - Definição Definir espaço vetorial; Utilizar as propriedades do espaço vetorial 2 - SUBESPAÇOS VETORIAIS 21 - Interseção de dois subespaços vetoriais 22 - Soma de dois subespaços vetoriais 23 - Soma direta de dois subespaços vetoriais Realizar operações com subespaços vetoriais 3 - COMBINAÇÃO LINEAR 31 - Subespaços gerados Identificar uma combinação linear de vetores 4 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 41 - Propriedades da dependência e independência linear Distinguir uma dependência ou independência linear de vetores; Realizar operações com vetores independentes ou dependentes

12 12 Contextualização da Disciplina Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo Porém, acreditamos ter conseguido um bom desenvolvimento lógico das unidades, mantendo um certo rigor coerente com o nível para o qual o material é proposto O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Álgebra Linear II e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado

13 UNIDADE I 13 ESPAÇOS VETORIAIS 11 - Introdução Estudamos vetores no R², no R³,, no Rn e matrizes de ordem m x n = M(m, n) e, em particular, matrizes quadradas de ordem 2, 3 etc Vamos lembrar algumas operações com vetores e matrizes: soma e multiplicação por escalar Exemplos Constata-se a existência de uma série de propriedades comuns: a) Em relação à adição: 1) (u + v) + w = u +v(v + w) Com u, v, w, vetores no R n, por exemplo ou (A + B) + C = A + (B + C) A, B, C, matrizes de ordem m x n 2) u + v = v + u 3) Existe um elemento 0 (zero) em R n (vetor zero) tal que u + 0 = u 4) Para todo o elemento u R n e existe um -u R n tal que u + (-u) = 0 ou ou ou A + B = B + A existe um elemento 0 (zero), matriz nula tal que A + 0 = A para toda matriz A m x n existe uma matriz -A m x n tal que A + (-A) = 0 b) Em relação à multiplicação por escalar (α, β, nε IR): 1) (α β) u = α (β u) ou (α β)a = α (β A) 2) (α + β) u = α u + β u 3) α (u + v) = α u + α v 4) 1u = u ou ou ou (α + β)a = α A + β A α (A + B) = α A + α B 1A = A Estas propriedades parecem externamente abstratas Mas os matemáticos, trabalhando em vários assuntos, foram percebendo que muitos dos conjuntos com que lidavam gozavam de um certo número de propriedades comuns, que são 8 axiomas vistos Veio, então, a idéia de isolar estas propriedades e ver o que podia ser provado, em geral, usando somente elas Com isto, há uma economia de raciocínio e esforço: uma vez demonstrado um certo número de teoremas usando somente estas propriedades, eles poderão ser aplicados ao caso particular que estiver sendo estudado Assim, estes dois conjuntos, Rn e M(m x n), munidos destas duas operações apresentam uma ESTRUTURA comum chamada ESPAÇO VETORIAL 12 - Definição Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma e multiplicação por escalar, tais que, para qualquer elemento v V e qualquer escalar α, as propriedades vistas valem OBSERVAÇÃO: 1) Se os escalares forem números complexos, teremos um espaço vetorial complexo;

14 14 2) Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independentemente da natureza; como veremos, poderão ser polinômios, números, matrizes e vetores (como os estudados) Exemplo 1 O conjunto V = R² = { (x, y) / x, y R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar: (x 1,y 1 ) (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) =(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) α R α (x, y) = (α x, α y) Para verificar os 8 axiomas de espaço vetorial, vamos considerar que: u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ), w = (x 3,y 3 ) a 1 ) (u + v) + w = u + (v + w) é o 1º axioma (u + v) + w = ((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) + (x 3,y 3 ) = = (x 1 + x 2 ), (y 1 + y 2 ) + (x 3,y 3 ) = = ((x 1 + x 2 ) + x 3, (y 1 + y 2 ) + y 3 ) = = (x 1 + (x 2 + x 3 ), y 1 + (y 2 + y 3 )) = = (x 1,y 1 ) + (x 2, +x 3, y 2 + y 3 ) = (x 1, y 1 ) + ((x 2, y 2 )) + (x 3, y 3 )) = u + (v + w) a 2 ) u + v = (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) a 3 ) 0 = (0, 0) R², u R², u + 0 = ((x 1,y 1 ) + (0, 0) = = (x 1, + 0, y 1 + 0) = = (x 1,y 1 ) = u a 4 ) u = (x 1,y 1 ) R², ( - u) = (- x 1,- y 1 ) R², u + (-v) = (x 1,y 1 ) + (- x 1,- y 1 ) = (x 1 - x 1, y 1 - y 1 ) = (0, 0) = 0 M1) (α β) u = (α β) (x 1,y 1 ) = ((α β) x 1, (α β)y 1 ) = = (α(β x 1 ), α(βy 1 )) = α(β x 1 ), βy 1 ) = = α(β(x 1, y 1 )) = α(βu)

15 UNIDADE II 15 SUBESPAÇOS VETORIAIS Podemos identificar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam espaços vetoriais "menores" - serão chamados subespaços vetoriais de V em relação à adição e à multiplicação por escalar Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial v, deveríamos testar os 8 axiomas de espaço vetorial No entanto, como S é parte de V (que é um espaço vetorial), não há necessidade da verificação O teorema abaixo nos mostra isto Teorema Um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se: a) Para quaisquer u, v s tem-se u + v s b) Para quaisquer α R, u S, tem -se α u S De fato, estas 2 condições são suficientes Os axiomas a 1, a 2, m 1, m 2, m 3, m 4 são verificados pelo fato de S ser um subconjunto não vazio de V O axioma a 3 nos leva a: sendo u S, pela condição a) α u S, α R; sendo α = 0 vem 0u S, ou seja, 0 S Axioma a 4, nos leva a fazer: α = -1; ( - 1) u = - u S Assim, basta verificar as duas condições acima a) e b) para identificar um subespaço vetorial S de V (que se sabe que é um espaço vetorial) ATENÇÃO! Qualquer subespaço S de V precisa necessariamente conter o vetor 0 (vetor nulo)! OBSERVAÇÕES: 1) Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0} - subespaço zero ou nulo -, e o próprio espaço vetorial v - que são chamados subespaços triviais de V Os outros subespaços triviais de V = R² são {(0,)} e o próprio R², enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem Vejamos: Exemplo 1 Sejam V = R² e S ={ (x, y) R² / y = 2u} S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira Vemos que S pois (0,0) s (o conjunto S não é vazio) Verificaremos as duas condições i) u = v S e ii) α u S Fazendo u = (x 1, 2x 1 ) e v = (x 2, 2 x 2 ), sendo α R: i) u + v = (x 1 + x 2, 2x 1 + 2x 2 ) = (x 1 + x 2, 2 (x 1 + x 2 )) s, pois a segunda componente é o dobro da primeira ii) α u = α (x 1, 2x 1 ) = (α x (α x 1 )) s, pois a segunda componente é o dobro da primeira

16 16 Logo, S é 1 subespaço vetorial R² Geometricamente, este subespaço representa uma reta que passa pela origem A soma de 2 vetores da reta é também um vetor nesta reta O produto de um escalar por um vetor desta reta é ainda um vetor da reta Exemplo 2 Observamos que, se considerássemos o conjunto S = { (x, 4-2x) / x R } ou S = { (x, y) R² / y = 4-2x }, veríamos, de imediato, que não é um subespaço vetorial de R², pois (0, 0) S Ainda escolhendo dois vetores quaisquer de S: u = (1, 2) e v = (2, 0) de S, temos u + v = (1 +2, 2 + 0) = (3, 2) Lembremos que basta um contra-exemplo para provar que não é subespaço vetorial: U + v = (3, 2) S pois, para x = 3 y deveria ser: y = 4-23 = -2 Geometricamente, podemos ter usado a segunda condição: α u S se α 1 OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Dissemos que, sempre que 0 S, o S não é subespaço vetorial de V No entanto, a recíproca não é verdadeira, pois podemos ter 0 S e S não ser um subespaço vetorial de V

17 Exemplo 3 V = R²; S = {9x, x²) R²} (0, 0) S No entanto, se u = (1, 1) e v = (2, 4), temos: u + v = (3, 5) S 17 Idem para o Exemplo 4 S = { (x, x / x R} R² (0, 0) S Mas, para u = (3, 3) e v = (-2, 2), temos u + v = (1, 5) S Geometricamente, Exemplo 3 Exemplo 4 Exemplo 5 Dados V = M (2,2) = S = Verifique se S é um subespaço vetorial de V O elemento nulo: Dados u = e v = i) u + v = + = ii) u = = Logo, S é um subespaço vetorial de V Exemplo 6 Um resultado importante aparece quando estamos resolvendo um sistema linear homogêneo (os termos independentes são todos nulos) 2x + 4y + z = 0 x + y + 2z = 0 x + 3y - z = 0 Ao procurarmos as soluções deste sistema, estamos procurando, dentro do espaço vetorial M(3, 1), espaço vetorial das matrizes de ordem 3 x 1, aqueles vetores que satisfazem à igualdade acima

18 18 Pergunta: o conjunto dos vetores-solução do sistema linear homogêneo acima é um subespaço vetorial M (3, 1)? Consideremos dois vetores-solução: e Vamos verificar as duas condições: i) e ii) i) Verificar se a soma deles é ainda solução do sistema, isto é: hipótese + = ii) Verificar se, ao multiplicarmos um vetor-solução por escalar, ele ainda continua solução do sistema, isto é: hipótese Geometricamente, se pensarmos nos vetores-coluna, de ordem 3 x 1, com vetores do R³, o subespaço S dos vetores solução é obtido pela intersecção dos três planos do espaço, cada dado por uma equação do sistema linear homogêneo apresentado Exemplo 7 Se um sistema linear não for homogêneo, o que acontecerá com o seu conjunto solução? 2x + 4y + z = 1 x + y + 2z = 1 x + 3y - z = 0 Prove que a soma de dois vetores-solução nem sempre é um vetor-solução e que, portanto, o conjunto solução não é um subespaço vetorial de M(3,1) Exemplo 71 V= R³ S = { (x, y, z) R³ / ax + by + cz = 0} Para verificar se S é um subespaço vetorial de V, vamos considerar dois elementos de S: u = (x 1, y 1, z 1,) e v = (x 2, y 2,z 2 ) i) u + v = (x 1,+ x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) que queremos provar que S, isto é, é tal que satisfaz a a(x 1,+ x 2 ) + b(y 1 + y 2 ) + c(z 1 + z 2 ) = 0 Como provar? Ora, se (x 1, y 1, z 1 ) S, então ax 1 + by 1 + cz 1 = 0 e se (x 2, y 2,z 2 ) ) S, então ax 2 + by 2 + cz 2 = 0 Somando estas duas últimas equações, temos: a(x 1,+ x 2 ) + b(y 1 + y 2 ) + c(z 1 + z 2 ) = 0 cqd ii) α u = α (x 1, y 1, z 1 ) = (α x 1, α y 1, α z 1 ) que queremos provar que S, isto é, que a (α x 1,) + b (α y 1 ) + c (α z 1 ) = 0

19 Como provar? Ora, se (x 1, y 1, z 1 ) S, então ax 1, + by 1 + cz 1 = 0 Multiplicando esta última equação por α, temos a (α x 1,) + b (α y 1 ) + c (α z 1 ) = 0 cqd 19 Concluímos, então, que S é um subespaço vetorial de R³ Quem é, geometricamente, este subespaço? Lembremos que ax + by + cz + d = 0 é a equação geral de um plano e que, quando d=0, este plano passa pela origem Assim, este subespaço representa um plano qualquer passando pela origem, em R³ É um subespaço próprio de R³ Exemplo 71 V = R³; S = { (x, y, 0) R³ / y = 2x} Geometricamente, é uma reta passando pela origem Verifique que é um subespaço de R³ Lembre-se que os subespaços triviais de R³ são {(0, 0, 0)} e o próprio R³ Os subespaços próprios de R³ são as retas que passam pela origem e os planos que passam pela origem (geometricamente) 21 - Interseção de Dois Subespaços Vetoriais Sejam S 1 e S 2 2 subespaços vetoriais de V A intersecção S de S 1 e S 2 : S = S 1 S 2 é o conjunto de todos os vetores v V tais que v S 1 e v S 2 Teorema A interseção de dois subespaços vetoriais S 1 e S 2 de V é um subespaço vetorial de V Demonstração: i) se u, v S 1, então u + v S 1 se u, v S 2, então u + v S 2 Logo, u + v S 1 S 2 = S ii) se v S 1, então λv S 1, λ R se v S 2, então λv S 2 Logo, λv S 1 S 2 = S Exemplo 8 V = R³ = { (a, b, c) / a, b, c R} S 1 = { (a, b, 0) / a, b R} e S 2 = {(0, 0, c) / c R} A intersecção S 1 S 2 = S {(0, 0, 0)} é um subespaço vetorial trivial de V

20 Soma de Dois Subespaços Vetoriais Sejam S 1 e S 2 2 subespaços vetoriais de V A soma S de S 1 e S 2 : S = S 1 + S 2 é o conjunto de todos os vetores u + v de V, tais que u S 1 e v S 2 Teorema A soma S de dois subespaços vetorais S 1 e S 2 de V é um subespaço vetorial de V Demonstração: i) Se u 1, u 2 S 1, então u 1 + u 2 S 1 Se S 2, então + v 2 S 2 Mas u 1 + S e u 2 + v 2 S Assim (u 1 + ) + (u 2 + v 2 ) = (u 1 + u 2 ) + ( + v 2 ) S 1 + S 2 = S S 1 S 2 ii) α R, Se u 1 S 1, então λu 1 S 1 Se S 2, então λv 2 S 2 Mas u 1 + S, Logo: λ (u 1 + ) = λu 1 + λ S 1 + S 2 = S Exemplo 9 V = R³ = { (a, b, c) / a, b, c R} S 1 = { (a, b, 0) / a, b R} e S 2 = {(0, 0, c) / c R} A Soma S 1 + S 2 é um subespaço vetorial S = { (a, b, c) / a, b, c R}, que é um subespaço vetorial trivial de V (o próprio R³) Exemplos de Interseção de dois subespaços vetoriais: A) V = R³, S 1 e S 2 planos em R³ S 1 S 2 é a reta de intersecção dos planos B) V = M (n n) Matrizes quadradas de ordem n S 1 = { matrizes triangulares superiores} S 2 = { matrizes triangulares inferiores} S 1 S 2 = {conj das matrizes diagonais} Verifique que é um subespaço vetorial C) V = R³; S 1 e S 2 são retas que passam pela origem S 1 S 2 = {(0, 0, 0) que é 1 subespaço vet de R³ Exemplos de soma de dois subespaços vetoriais: A) V = R³, S 1 e S 2 são retas que passam pela origem, S 1 + S 2 é o plano que contém as duas retas B) V = R³, S 1 R³ é um plano e S 2 R³ é uma reta; ambos (plano e reta) passam pela origem S 1 + S 2 = S 1 (é o próprio plano) C) V = M (2, 2); S 1 = e S 2 = com a, b, c, d R S 1 + S 2 = = M (2, 2)

21 23 - Soma Direta de Dois Subespaços Vetoriais Sejam S 1 e S 2 dois subespaços vetoriais de V Diz-se que V é a soma direta de S 1 e S 2 e se representa por: v = S 1 S 2 se V = S 1 + S 2 e S 1 S 2 = {0} 21 Exemplo 10 O espaço vetorial V = M (2, 2) do último exemplo c) é a soma direta de S 1 e S 2 Exemplo 11 O espaço vetorial V = R³ = { (a, b, c) / a, b, c R} do exemplo 9 é a soma direta de S 1 e S 2

22 22 UNIDADE III COMBINAÇÃO LINEAR Vamos estudar uma das características mais importantes de um espaço vetorial: a obtenção de novos vetores a partir de vetores dados Sejam,, v n vetores do espaço vetorial V e os números reais a 1, a 2,, a n O vetor v V, tal que v = a 1 +a 2 v a n v n é uma combinação linear de,, v n Exemplo 1 Escrever, se possível, o vetor v = (-3, 10, 9) como combinação linear dos vetores = (1, 2, 3) e v 2 = ( 3, -2, 0) v = a 1 + a 2 v 2 (-3, 10, 9) = a 1 (1, 2, 3) + a2 ( 3, -2, 0) -3 = a 1 +3a 2 10 = 2a 1-2 a 2 9 = 3a 1 a 1 = 3-3 = 3 + 3a 2 3a 2 = -3-3 a 2 =-2 Conferindo: 10 = (-2) V = 3-2v 2 Exemplo 2 Verificar que o vetor v = (4, 5, 9) não pode ser escrito com combinação linear (CL) dos vetores e v 2, do exemplo Subespaços Gerados Seja V um espaço vetorial Seja A = {,, v n } um subconjunto não vazio contido em V, isto é: A V O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de V que são subespaço vetorial de V! S = {v V / a a n v n ; a 1 a n R} PROVA! Vamos considerar dois vetores de S: u = a 1 + a 2 v a n v n e V = b 1 + b 2 v b n v n Para que S seja um subespaço vetorial de V, devemos ter: u + v S e α u S com α R u + v = (a 1 +b 1 ) + (a 2 +b 2 ) v ( a n + b n ) v n α u = (α a 1 ) + (α a 2 ) v (α a n ) v n Podemos observar que u + v é 1 C L de,, v n e, portanto, S Da mesma forma, α u é 1 CL de,, v n e também S Logo, concluímos que o conjunto S de todos os vetores de V que o v CL dos vetores,, v n é um subespaço vetorial de V Podemos escrever que o subespaço S é: S = { v V / v = a 1 + a 2 v 2 ++ a n v n ; a 1, a 2, a n R }

23 Este subespaço S é gerado pelos vetores,, v n ou gerado pelo conjunto A = {,, v n } e pode ser representado por: S = [,, v n ]ou S = G (A),, v n = geradores A = Conjunto gerador 23 Observações: a) A G (A) ou {,, v n } [,, v n ] e [,, v n ] é o menor subespaço de V que contém o conjunto de vetores {,, v n } b) Todo o conjunto A V gera um subespaço vetorial de V Se G (A) = V, A é chamado conjunto gerador de V Exemplo 3 V = R³; V v V 0 O subespaço gerado por A = {v} é o conjunto de todos os vetores de V que o v combinações lineares dos vetores de A, no caso, um só vetor Assim: S = [ v ] = { av / a R}, ou seja, é a reta que contém o vetor v Exemplo 4 V = R³; R³ são tais que, α v 2, isto é, não tem componentes proporcionais, ou seja, não são colineares, para todo α R Então, S = [ ] = { a 1 + a 2 v 2 / a 1, a 2 R } será o plano que passa pelo origem e contém e v 2 Observe que, se v 3 [ ] então [, v 3 ] =[ ] isto é, o subespaço gerado por é o mesmo que o gerado por Generalizando, Dados n vetores,, v n de 1 espaço vetorial V, se w V é tal que w = a 1 ++ a n v n então, [, v n, w] = [, v n ], pois todo vetor que é C L de v n, w é também CL de,, v n Vamos supor que v [ v n, w], então, existem números b 1, b 2 b n, b tais que: V = (b 1 + a 1 b) + (b 2 + a 2 b)v (b n + a n b) v n, que é uma combinação linear de v n Assim, se S é um subespaço gerado por um conjunto A, ao acrescentarmos vetores do próprio S a esse conjunto A, os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço vetorial S Logo, vemos que S pode ser gerado por uma infinidade de vetores, porém existe um número mínimo de vetores para gera-lo

24 24 Exemplo 5 V = R² : = (1,0) e v 2 = (0, 1) S = [ ] = { a 1 + a 2 v 2 / a 1, a 2 R} = V = R² O subespaço gerado por e v 2 é o próprio R², pois dado qualquer vetor v = (x, y) V, temos: v = (x, y) x = (1, 0 ) + y (0, 1) ou v = x + yv 2 ou v = a 1 + a 2 v 2 = (x, y) a 1 (1, 0 ) + a 2 (0, 1) = (x, y) (a 1 + 0, 0 + a 2 ) = (x, y) a 1 = x e a 2 = y Exemplo 6 V = R³, = ( 1, 0, 0) e v 2 = (0, 1, 0) geram o subespaço S = {(x, y, 0) R³ / x, y R}, pois (x, y, 0) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) Já vimos que [ ] = S é um subespaço próprio de R³ e representa geometricamente o plano xy Exemplo 7 V = R³ = ( 1, 0, 0) e v 2 = (0, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1), [, v 3,] = S = R³ geram o espaço vetorial V = R³, pois qualquer vetor v = (x, y, z) R³ é uma combinação linear deles: (x, y, z) = x ( 1, 0, 0) e +y (0, 1, 0) +z (0, 0, 1) Exemplo 8 V = M (2,2); = e v 2 = [ ] = a 1 + a 2 / a 1, a 2 R = = + / a 1, a 2 R = = / a 1, a 2 R =

25 UNIDADE IV 25 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Em Álgebra Linear é fundamental sabermos se um vetor é uma combinação Linear (CL) de outros No exemplo 4, da unidade anterior, vimos que os vetores geravam o mesmo subespaço vetorial que os vetores e v 3, isto porque v 3 era CL de e v 2 (podemos dizer que v 3 era um vetor que estava "sobrando" no conjunto gerador daquele subespaço) Quem nos leva a identificar isto é a definição de dependência linear Definição Seja V um espaço vetorial e A = { v n } V O conjunto v n é linearmente independente (LI) ou os vetores v n são linearmente dependente (LD) se a equação a 1 + a 2 v 2 ++ a n v n = 0 (1) foi satisfeita apenas quando a 1 = a 2 = = a n = 0, isto é, quando equação (1) admitir apenas a solução trivial Se existir algum a i 0, dize-se que { v n } é linearmente dependente (LD) ou que os vetores,, v n são linearmente dependentes (LD) Teorema Um conjunto A = { v n } é LD se e só se um desses vetores for combinação linear dos outros Demonstração Se A é LD, então, pelo menos um dos coeficientes da equação (1) é 0, isto é: a 1 ++ a i v i + + a n v n = 0 tem, por exemplo, a i 0 a i v i = a 1 a n v n v i = e v i é uma combinação linear de, v n Por outro lado, se v i é uma combinação linear dos outros vetores, v i = b b n v n ou b b n v n + (-1) v i = 0 se verifica para coeficiente não todos nulos logo, o conjunto A é LD Podemos enunciar este teorema, assim: Um conjunto A = { v n } é L I se e só se nenhum desses vetores for combinação linear dos outros Exemplo 1 V = R³ v [ ] é LD se e só se um vetor múltiplo do outro, ou seja, se tiverem componentes proporcionais, ou ainda, se estiverem na mesma reta que passa pela origem

26 Propriedades da Dependência e Independência Linear Seja V um espaço vetorial, i) Se A = { v } V e v 0 então A é LI Prova Se v 0, então, av = 0 se verificamos com a = 0 Observação: o conjunto vazio é LI por definição ii) Se um conjunto A V contém o vetor nulo então A é LD Prova A = { v,, 0,, vn} a a n v n = 0 se verifica com a 0 pois 0 ++ a v n = 0 iii) Se uma parte de um conjunto A V é LD então A também é LD verifique iv) Se um conjunto A V é LI, qualquer parte de A também é LI Observação: se todos os subconjuntos próprios de um conjunto finito são LI, isto não significa que A seja LI Para verificar, considere três vetores: (1, 0), (0, 1), (2, 3) e os subconjunto próprios de A v) Se A = {,, v n } V é L I e B = {,, v n, w} V é LD então w é combinação linear (CL) Prova Como B é LD, existem escalares, não todos nulos, tais que a a n v n + bw = 0, Se pensarmos em b = 0, algum a 1,, a n nulo na igualdade a a n v n = 0, o que contradiz a hipótese (A é LI) Portanto, b 0 e bw = a a n v n = 0 w = w é CL de, v n Exercícios de Fixação 1 Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado, proceda assim: Escreva três elementos de W; Reescreva W, apresentando o vetor genérico do item a até o item d; Verifique se W é subespaço vetorial de V a) W = { (x, y) R 2, y = - 2x }, V = R 2 ; b) W = { (x, y) R 2 ; y = - 2x + 1 }, V = R 2 ; c) W = { (x, y, z, t) R 4 ; x = y e z = 2t }, V = R 4 ; d) W = { (x, y, z) R 3 ; x - 2y - 4z = 6 }, V= R 3 ; e) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem nxn, para n = 2, 3, 4, ; V = M nxn ; f) W = { (x, y) R 2 ; y = 0 }, V = R 2 ; g) W =, V = M 2x2 ; h) W = { (a, a,, a) R n ; a R }, V = R n ; i) W = { (a, 2a, 3a); a R }, V = R 3 ; 2 Seja G o conjunto de todas as funções f tais que f (0) = 1 no espaço vetorial F de todas as funções de R em R, ou seja, F = { f : R / R } e G = { f / F; f (0) = 1 } G é subespaço vetorial de F? 3 Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial: a) V = R 2 ; W 1 = { (x, y); y = 0 }; W 2 = { (x, y); y < 0 }; W 3 = { (x, y); y = 2 };

27 b) V = R 3 ; W 1 = o plano xoy; W 2 = { (x, y, z); x = y = z }; W 3 = { (x, y, z); x = y }; 27 c) V = R 2 ; W = { (x, y); x 2 + y 2 = 1}; d) V = M nn ; W 1 = { D = M nn ; D é diagonal }; W 2 = { T M nn ; T é triangular superior }; W 3 = { S M nn ; S é simétrica } 4 Seja V = M 22 e H 1 = { A M 22 ; a 11 = 0 } e H 2 = a) Mostre que H 1 e H 2 são subespaços de H b) Descreva o subconjunto H 1 /H 2 e mostre que ele é um subespaço Observação: Teorema: sejam H 1 e H 2 dois subespaços de um espaço vetorial H Então, H 1 H 2 é um subespaço de H Demonstração (a) H 1 H 2 pois 0 H 1 e 0 H 2, portanto 0 H 1 H 2 (b) Sejam x 1 H 1 H 2 e x 2 H 1 H 2 e α R x 1 H 1 e x 2 H 1, portanto x 1 + x 2 H 1 x 1 + x 2 H 1 H 2 x 1 H 2 e x 2 H2, portanto x 1 + x 2 H 2 α x 1 H 1 e α x 2 H 2 α x 1 H 1 H 2 De (a) e (b) temos que H 1 H 2 é subespaço de H Se H 1 e H 2 são subespaços de um espaço vetorial H, não necessariamente H 1 H 2 é um subespaço Por exemplo: H 1 = { (x, y) R 2 ; y = x } é subespaço de H = R 2 H 2 = { (x, y) R 2 ; y = 2x } é subespaço de H = R 2, mas H 1 H 2 não é subespaço de H Veja que (2, 2) H 1 e (2, 4) H 2, mas (2, 2) + (2, 4) = (4, 6) H 1 e (4, 6) H 2, de modo que (4, 6) H 1 H 2 5 Seja H = { (x, y, z); 2x + 3y - z = 0} e K = { (x, y, z); x - 2y + 5z = 0 } a) Mostre que H e K são subespaços do R 3 ; b) Mostre que H K não é subespaço do R 3 ; c) Descreva o subespaço H K 6 Verifique se os subconjuntos W 1, W 2 e W 3 são subespaços vetoriais de V onde: V = M 22 e W 1 = ; W 2 = ; W 3 = { A M 22 ; A é triangular }

28 28 Exercícios Propostos 1) Seja V = M 2x1 (matrizes de ordem 2 x 1) e seja S =, mostre que S é um subespaço vetorial de V 2) Seja V = R² e seja {(x 1, x 2 ) R² / x 2 = 2 x 1 }, mostre que S é um subespaço vetorial de V 3) Seja V = M 2x2 Seja S = Mostre que S é um subespaço vetorial de V 4) Seja V = R² e S = {(x, y) R² / y = -x} Verifique se S é um subespaço de R² 5) Seja V = R² e S = {(x, y) R² / x = 3y} Verifique se S é um subespaço de R² 6) Seja V = R² e S = {(x, y) R² / x = 3y +1} Verifique se S é um subespaço de R² 7) Seja V = R³ e S = {(x, y, z ) R³ / z = x + y} Verifique se S é um subespaço de R³ 8) Seja V = M 2x2 e seja S = Verifique se S é um subespaço de V 9) Seja V = M 2x2 e seja S =, verifique se S é um subespaço de V 10) Determine o subespaço S gerado pelo conjunto A = {(1, -2), (-2, 4)} O que representa geometricamente esse subespaço? 11) Seja A={ } sendo = (-1,3, -1) e v 2 = (1, -2, 4) Determinar o subespaço G(A) 12) Seja V = R² e A = {(2,1), (1,1)} Determine o subespaço s= G(A) e o que representa, geometricamente, este subespaço

29 29 Se você: 1) concluiu o estudo deste guia; 2) participou dos encontros; 3) fez contato com seu tutor; 4) realizou as atividades previstas; Então, você está preparado para as avaliações Parabéns!

30 30 Glossário Combinação Linear - um vetor b é chamado de uma combinação linear dos vetores,, v n se b pode ser expresso na forma: b = α 1 + α 2 v α n v n, onde os α i's são escalares Espaço Vetorial - as soluções dos sistemas são vetores com n componentes que podem ser representados no n-espaço euclidiano, representado por R n Subespaço Vetorial - um espaço vetorial V é chamado subespaço de W se todo vetor em V também pertence a W

31 Gabarito 1 Exemplos: escolha qualquer vetor que satisfaça a condição dada 31 Verificação (vetor genérico): a) W = {(x, - 2x); x R} Sejam u = (x 1, - 2x 1 ) W, v = (x 2, - 2x 2 ) W e α R: i) u + v = (x 1 + x 2, - 2x 1-2x 2 ) = (x 1 + x 2, - 2 (x 1 + x 2 )) W ii) αu = α(x 1, - 2x 2 ) = (αx 1, - 2αx 2 ) W W é um subespaço vetorial de R 2 b) W = {(x, - 2x + 1); x R} Como (0, 0) W, podemos concluir que o subconjunto W não é subespaço vetorial c) W = {(y, y, 2t, t) ; y, t R} Sejam u = (y 1, y 1, 2t 1, t 1 ) W, v = (y 2, y 2, 2t 2, t 2 ) W e α R: i) u + v = (y 1 + y 2, y 1 + y 2, 2(t 1 + t 2 ), t 1 + t 2 ) W ii) αu = (αy 1, αy 2, 2αt 1, αt 1 ) W W é subespaço vetorial de R 4 d) W = {(6 + 2y + 4z, y, z); y, z R} Tomando y = 0 e z = 0, temos (6, 0, 0) Como (0, 0, 0) W, W não é subespaço vetorial do R 3 e) W não é subespaço vetorial pois, considerando todas as matrizes identidade (qualquer ordem), não temos a soma definida quando, por exemplo, I 2 + I 4 f) Contra-exemplo: Sejam u = (2, - 1) W, α = - 1 α u = (- 1) (2, - 1) = (- 2, 1) W pois y = 1 > 0 Logo W não é subespaço vetorial de R 2 g) Sejam W, W e α R i) W ii) W W é um subespaço vetorial de M 22 h) Sejam u = (a, a,, a) W, v = (b, b,, b) W e α R i) u + v = (a + b, a + b,, a + b) W ii) αu = (αa, αa,, αa) W W é subespaço vetorial de R n i) Sejam u = (a, 2a, 3a) W, v = (b, 2b, 3b) W e α R i) u + v = (a + b, 2(a + b), 3(a + b)) W ii) αu = (αa, 2αa,, 3αa) W W é subespaço vetorial de R 3

32 32 2 Sejam u = f(x) G f(0) = 1, v = g(x) G g(0) = 1 e α R i) u + v = (f + g)(x) tal que (f + g)(0) = f(0) + g(0) = u + v G e G não é subespaço vetorial de F 3 a) nenhum Observe: b) W 1, W 2 e W 3 são subespaços vetoriais de R 3 W 1 = {(x, y, 0); x, y R} W 2 = {(x, x, x); x R} facilmente mostramos que, se u, v W e α R então, u + v W e αu W W 3 = {(x, x, z); x, z R} c) Sejam u = (1, 0) W e v = (0, 1) W u + v = (1, 1) W pois > 1 Logo, W não é subespaço vetorial de R 2 d) Tomando n = 2: W 1 = Sejam u = W 1, v = W 1 e α R i) u + v = W 1 ii) α u = W 1 W 1 é subespaço vetorial de M 22 W 2 = Sejam u = W 2, v = W 2 e α R i) u + v = W 2 ii) αu = W 2 W 2 é subespaço vetorial de M 22 W 3 = Sejam u = W 3 e v = W 3 e α R i) u + v = W 3 ii) αu = W 3 W 3 é subespaço vetorial de M 22

33 4 a) H 1 = Sejam u = H 1, v = H 1 e α R 33 i) u + v = H 1 ii) α u = H 1 H 1 é subespaço vetorial de M 22 H 2 = Sejam u = H 2, v = H 2 e α R i) u + v = H 2 ii) αu = H 2 H 2 é subespaço vetorial de M 22 b) Poderíamos reescrever H 1 e H 2 da seguinte maneira: H 1 = {A M 22 ; a 11 = 0} e H 2 = {A M 22 ; a 11 = - a 22 e a 21 = a 12 } Assim, H 1 H 2 = {A M 22 ; a 11 = a 22 = 0 e a 21 = a 12 } ou H 1 H 2 = vetorial de M 22 que é subespaço 5 a) H = {(x, y, 2x + 3y); x, y R} Sejam u = (x 1, y 1, 2x 1 + 3y 1 ) H, v = (x 2, y 2, 2x 2 + 3y 2 ) H e α R i) u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, 2(x 1 + x 2 ) + 3(y 1 + y 2 )) H ii) αu = (α x 1, α y 1, 2α x 1 + 3α y 1 ) H, H é subespaço vetorial de R 3 K = {(2y - 5z, y, z); y, z R} Sejam u = (2y 1-5z 1, y 1, z 1 ) K, v = (2y 2-5z 2, y 2, z 2 ) K e α R i) u + v = (2(y 1 + y 2 ) - 5(z 1 + z 2 ), y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) K ii) αu = (2α y 1-5α z 1, α y 1, α z 1 ) K, K é subespaço vetorial de R 3 b) H K = {(x, y, z); 2x + 3y - z = 0 ou x - 2y + 5z = 0} CE: (1, 1, 5) H K e (- 3, 1, 1) H K (1, 1, 5) + (- 3, 1, 1) = (- 2, 2, 6) H K, pois 2(- 2) + 3(2) - 6 = - 4 e (- 2) - 2(2) + 5(6) = 24 H K não é subespaço vetorial de R 3 c) H K = {(x, y z); 2x + 3y - z = 0 e x - 2y + 5z = 0} Como temos duas condições simultâneas, resolvendo o sistema obtemos o vetor genérico do conjunto H K Assim, H K = H K é uma reta, resultado da intersecção dos planos H e K

34 34 6 W 1 não é subespaço vetorial pois W 1 W 2 é subespaço vetorial conforme item (g) do exercício proposto 8 W 3 não é subespaço vetorial CE: é uma matriz triangular (superior) é uma matriz triangular (inferior) W 3 pois não é uma matriz triangular Exercícios Propostos Gabarito com a professora

35 Referências Bibliográficas BOLDRINI, José Luis Álgebra Linear São Paulo: Harper & Row, 1980 KOLMAN, Bernard Introdução à Álgebra Linear Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1998 STEINBRUCH, Alfredo & WINTERLE, Paulo Álgebra Linear São Paulo: McGraw-Hill,

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