u = ± v. Daí, u v v u = v u e v têm sentidos contrários Por outro lado, suponhamos que podemos escrever u como combinação linear de v

Transcrição

1 0 u o e v o Como u // v o o u = ± v Daí, o v u u u = ± u, ou seja, u = ± v ssim, se u e v têm mesmo v v u sentido podemos escrever u = v u e v têm sentidos contrários v u temos u = v v Por outro lado, suponhamos que podemos escrever u como combinação linear de v, ou seja, u = t v Pela definição de produto de um número real por vetor, temos que u e v têm a mesma direção, logo são paralelos Os vetores u, v e w são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros Prova: Suponhamos que u, v e w são coplanares, temos então os seguintes casos: ) Um deles sendo o vetor nulo, digamos u o Podemos escrever: u = 0v + 0w ) Dois deles são paralelos, digamos u // v e v o Podemos escrever: u = mv = mv + 0w, m IR ) Quaisquer dois desses vetores não paralelos Vamos considerar a figura ao lado, onde α é um plano que contém representantes dos vetores u, v e w v u w a P O C Tomemos O = v, O = u e OC = w Tracemos pelo ponto C uma reta paralela ao vetor O = u, que intercepta a reta O no ponto P ssim podemos escrever: w = OC = OP+ PC Como OP // O e PC // O temos: w = mv + nu, m,n IR

2 Por outro lado, suponhamos que w = mv + nu, n, m IR ssim, pela definição de adição de vetores, temos que u, v e w são coplanares 8 Dependência linear Definição : Dizemos que um vetor v é linearmente dependente, se v = o Definição : Dizemos que dois vetores dependentes se eles são paralelos Definição : Dizemos que três vetores dependentes se eles são coplanares u e v u, v e w são linearmente são linearmente Definição 4: Dizemos que mais de três vetores do espaço ( IR ), são sempre linearmente dependentes Quando os vetores do espaço não são linearmente dependentes (LD), dizemos que eles são linearmente independentes (LI) Exemplos: Considerando o paralelepípedo de arestas, D e E, temos: E H F G ) é LI ) + C+ C é LD ) D 4) e e E são LI são LD D C 5), 6) E, 7), 8), D D F e E são LI e DC são LD e FF são LD C e G são LD

3 Propriedades: Se um vetor v é LI, então dado u // v, temos que existe um único escalar m tal que u = mv Prova: Como v é LI, temos pela prova da propriedade de 7, que u = mv e m é único Se dois vetores v e v são LI, então dado v coplanar com v e v, temos que existe um único par de escalares (m, n), tal que v = mv + nv Prova: Como v, v e v são coplanares e, v e v são LI, temos pela prova da propriedade de 7, que v = mv + nv Para mostrar que esses escalares são únicos, vamos supor que existam m e n, tais que : v = m v + n v Então ( m m )v + (n n )v= o (n n ) Se m m 0, podemos escrever v = v Daí, v // v, o (m m ) que contradiz o fato de v e v serem LI Logo, m m = 0, ou seja, m = m nalogamente podemos mostrar que n = n Se três vetores v, v e v são LI, então dado um vetor v qualquer, temos que existe único terno de escalares (m, n, p), tal que v = mv + nv + p v Prova: Suponhamos que v, v e v são LI, temos então os seguintes casos: ) v = o Podemos escrever: v = 0v + 0v + 0v ) v paralelo a um dos vetores v, v e v, digamos v // v Então podemos escrever: v = mv + 0v + 0v ) v coplanar com dois dos vetores v, v e v, digamos v, v e v são coplanares ssim temos: v = mv + nv = mv + nv + 0v

4 4) v não é coplanar com quaisquer dois dos vetores v, v e v Vamos considerar a figura a seguir, onde α é o plano paralelo ao plano O passando pelo ponto Seja é o ponto de interseção da reta O com o plano α v v a Temos então: v = O = O + Como O // v e é coplanar com v e v, temos: O = pv, = mv + nv O v v Logo v = mv + nv + pv Para mostrarmos que esses escalares são únicos, vamos supor que v = m v + n v + p Então temos: v ( m m )v + (n n )v + (p p )v = o Se m m 0, podemos escrever: v n n p p =, m m m m v v ou seja, v é coplanar com v e v O que contradiz o fato de v, v e serem LI Logo m m = 0, ou seja, m = m v nalogamente podemos mostrar que n = n e p = p 9 ase Coordenadas de vetor Definição : Dado um vetor v LI, dizemos que { v } é uma base para o conjunto de vetores paralelos a v

5 Definição : Dados dois vetores v e v v, uma base para o conjunto de vetores coplanares com v e v LI, dizemos que { } v Definição : Dados três vetores v, v e v LI, dizemos que v, v, é uma base para o conjunto de vetores do espaço ( IR ) { } v Definição 4: Dizemos que uma base é ortogonal, quando seus vetores são dois a dois ortogonais Definição 5: Dizemos que uma base é ortonormal, se ela for ortogonal e seus vetores unitários Costumamos representar uma base ortonormal por { i, j, k} v v mv + nv + pv mv, nv e pv v, v e v do espaço, pela propriedade de 8, para todo vetor v, temos =, onde m, n e p são únicos Dizemos que são as componentes de v na direção dos vetores, respectivamente Os escalares m, n e p são as coordenadas de v em relação à base { v, v, v} Geralmente, representamos o vetor v através de suas coordenadas, ou v = m, n, p Fixada uma base { v,v, } seja, ( ) 4 é Exemplo : H G Consideremos o cubo ao lado e fixemos a base {, C, E} Podemos escrever: E D F = + 0 C+ 0 E, daí = (,0,0) nalogamente, C = ( 0,,0) e E = ( 0,0, ) v Podemos concluir então que, dada uma base qualquer { v,v, } coordenadas desses vetores em relação a esta base são: v = C (,0,0), v = ( 0,,0) e v = ( 0,0, ), as

6 5 F = + 0 C+ E, daí F = (,0,) Observamos que se a base considerada for {, E, C}, temos F =,,0 ( ) G = 0 + C+ E, daí G = ( 0,, ) Exemplo : Consideremos v = (,, ) anterior ssim, em relação base {, C, E} v = + C+ E = H do exemplo nalogamente ao que foi feito para o conjunto dos vetores no espaço, podemos fazer para conjuntos de vetores coplanares e colineares ssim, um vetor num conjunto de vetores coplanares tem duas coordenadas e um vetor num conjunto de vetores colineares tem uma coordenada Propriedades: Seja { v, v, v } uma base do espaço Consideremos os vetores u, v e w, representados através de suas coordenadas em relação a esta base Se u = ( a, a, a ), v = ( b, b, b ) e t IR então: a) u = v a = b, a = b e a = b b) u + v = ( a + b, a + b, a + b ) c) t u = (t a, t a, t a ) Prova: a) Como u = av + a v + av e v = bv + bv + bv, temos: ( a b)v + (a b )v + (a b )v = o Daí, = (a b, a b, a b ) o Logo, b = 0, a b = 0 e a b 0 a = De maneira análoga podemos mostrar os itens b) e c)

7 6 Observamos que os vetores u = (0, 0, 0) e v = ( b, b, b ) são LD, visto que o vetor nulo é paralelo a todo vetor do espaço Sejam u = ( a, a, a ) e v = ( b, b, b ) vetores não nulos Os vetores u e v são LD se, e somente se, existe um t IR tal que : a = t b a = t b a = t b Prova: Se u e v são LD, então u // v Como v é LI, podemos escrever: u = t v, ou seja, a = t b a = t b a = t b Por outro lado, se existe t IR, tal que a = t b a = t b a = t b então u = t v Logo u // v e portanto u e v são LD Três vetores u = (a, a, a ), v = (b, b, b ) são LD se, e somente se, a a a = b c b c b c = 0 e = (c, c, c ) w Esta propriedades pode ser demonstrada através de propriedades de determinantes Concluímos que se t não existe na propriedade, ou se é diferente de zero, na propriedade, temos que os vetores considerados nessas propriedades são LI