GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear. Definição (Segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido):

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1 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear 3 Vetores 3.1 Introdução efinição (Segmento orientado): Um segmento orientado é um par ordenado (,) de pontos do espaço. é a origem e é a etremidade do segmento orientado (,). Um segmento orientado do tipo (,) é chamado segmento orientado nulo. efinição (Segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido): (a) Os segmentos orientados(,) e(,) são de mesmo comprimento se os segmentos geométricos e têm comprimentos iguais. (b) Se os segmentos orientados (,) e(,) não são nulos, eles são de mesma direção, ou paralelos, se os segmentos geométricos e são paralelos (isto inclui o caso em que e são colineares). (c) Suponhamos que (, ) e (, ) sejam paralelos: No caso em que as retas e são distintas, os segmentos orientados (,) e (,) são de mesmo sentido se os segmentos geométricos e têm interseção vazia. Se não, (,) e (,) são de sentido contrário. Segmentos orientados de mesmo sentido Segmentos orientados de sentido contrário No caso em que as retas e coincidem, tomemos (E,F) tal que E não pertença à reta, e(e,f) e(,) sejam de mesmo sentido, de acordo com o critério anterior, Então, os segmentos orientados (,) e (,) são de mesmo sentido se (E, F) e (, ) são de mesmo sentido. Se não, (, ) e (, ) são de sentido contrário. F F E E Segmentos orientados de mesmo sentido Segmentos orientados de sentido contrário efinição (Segmentos orientados equipolentes): Os segmentos orientados (,) e (,) são equipolentes se forem ambos nulos, ou então, nenhum deles sendo nulo, se forem de mesma direção, mesmo comprimento e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre (,) e,) por (,) (,). 1

2 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear efinição (lasse de equipolência): ado o segmento orientado (, ), a classe de equipolência de (, ) é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (,). O segmento orientado (,) é chamado representante da classe. efinição (Vetor): Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se (,) é um segmento orientado, o vetor que tem (,) como representante será indicado por. Quando não se quer destacar nenhum representante em especial, usam-se letras latinas minúsculas com uma seta (,, etc.). O conjunto de todos os vetores será indicado por V 3. ado um vetor qualquer, e escolhido arbitrariamente um ponto P, eiste um segmento orientado representante de com origem em P, isto é, eiste um ponto tal que = P. efinição (Vetor nulo): Vetor nulo é o vetor que tem como representante um segmento orientado nulo. É indicado por 0. efinição (Vetor oposto): Se (, ) é representante de um vetor, vetor oposto de, indicado por, é o vetor que tem (, ), ou qualquer segmento orientado equipolente a (,), como representante. Portanto, = efinição (Vetores paralelos e de mesmo sentido): (a) Os vetores não-nulos e são paralelos se um representante de é paralelo a um representante de. Indica-se por. (b) Os vetores não-nulos e paralelos e são de mesmo sentido se um representante de e um de são de mesmo sentido. (c) Os vetores não-nulos e são de sentido contrário se um representante de e um de são de sentido contrário. (d) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. Observação: e são de mesma direção e sentido contrário. efinição (Norma): Norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus representantes. norma do vetor é indicada por. Um vetor é unitário se sua norma é 1. Segue-se das definições dadas até aqui, que se e são vetores não nulos, então = se, e somente se, e têm normas iguais, são de mesma direção e de mesmo sentido.

3 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear 3. Operações com vetores - Forma geométrica 3..1 dição de vetores ados e, sejam(,) um representante qualquer de e(,) um representante de que tem origem em. O vetor soma de com, indicado por +, é o vetor que tem (,) por representante: + = + =. ados os vetores e, a soma de com o oposto de é chamada diferença entre e e é indicada por. ssim, = +( ). + + ( ) Propriedades: Sejam, e w vetores quaisquer. Valem as propriedades: 1 (+)+ w = +( + w) + = + 3 Eiste um único vetor que somado a dá como resultado o próprio ; trata-se do vetor nulo: + 0 = = Para cada, eiste um único vetor que somado a dá como resultado o vetor nulo; é o vetor oposto de : +( ) = 0 = Produto de número real por vetor Sejam α um número real e um vetor. (a) Se α = 0 ou = 0, então α = 0. (b) Se α 0 e 0, o vetor α caracteriza-se por: α//; α e são de mesmo sentido se α > 0, e de sentido contrário de α < 0; α = α. 1 u u 3

4 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Se β é um número real não-nulo, a notação significa 1. Se é um vetor não-nulo, β β o vetor é chamado versor de. Propriedades: Quaisquer que sejam os números reais α e β, e quaisquer que sejam os vetores, e w, valem as igualdades: M 1 α(+) = α+α M (α+β) = α +β M 3 1 = M 4 α(β) = (αβ) = β(α) Regras de sinais: Quaisquer que sejam o escalar α e o vetor, valem as igualdades: (a) ( α) = (α) (b) α( ) = (α) (a) ( α)( ) = α Proposição: ois vetores não-nulos e são paralelos se, e somente se, eiste um escalar λ tal que = λ. Eercício 3.1: ados os vetores, e w, de acordo com a figura abaio, construir o vetor w = s. w 4

5 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Eercício 3.: O paralelogramo é determinado pelos vetores e, sendo M e N pontos médios de e, respectivamente. M N eterminar: a) + b) + c) d) N + e) M + M f) M 1 Eercício 3.3: Na figura a seguir, representa-se um paralelepípedo EF GH. Sendo =, = e w = E, eprima G e E em função de, e w. H G E F w 3.3 Vetores no R ados dois vetores 1 e, não paralelos, qualquer vetor pode ser decomposto segundo as direções de 1 e. O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam as de 1 e e cuja soma seja. Em outras palavras, iremos determinar dois números reais a 1 e a tais que = a 1 1 +a a 1 a 1 1 5

6 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Neste caso, dizemos que é combinação linear de 1 e. O par ordenado de vetores 1 e, não paralelos, é chamado base no plano. liás, qualquer conjunto ordenado{ 1, } de vetores não paralelos constitui uma base no plano. Os números a 1 e a são chamados coordenadas de em relação à base ordenada { 1, }. Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base { e 1, e } é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, e 1 e e e 1 = e = 1. { ase canônica do plano i, j} Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em O e{ etremidade } nos pontos (1,0) e (0,1). Estes vetores são simbolizados com i e j e a base i, j é chamada canônica. j j (0,1) j O (1,0) i O i i { ado } um vetor = i + j no qual e são as componentes de em relação à base i, j, o vetor i é a projeção ortogonal de sobre i e j é a projeção ortogonal de sobre j Epressão analítica de um vetor no plano { Fiada a base ordenada i, j}, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados (,) de números reais. Nestas condições, a cada vetor do plano pode-se associar um par (,) de números reais, que são suas coordenadas na base dada, e se representa por = (,) Observação: Quando nos referimos a um ponto P = (,), ele pode ser identificado como = OP = i+ j, sendo O a origem do sistema. P O esta forma, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. 6

7 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Igualdade de vetores no plano ois vetores = ( 1, 1 ) e = (, ) são iguais se, e somente se, 1 = e 1 =, e escreve-se = Operações com vetores no plano - Forma algébrica Sejam os vetores = ( 1, 1 ) e = (, ) e α R. efine-se: a) + = ( 1 +, 1 + ) b) α = (α 1,α 1 ) Eercício 3.4: ados os vetores = (4, 1) e = (, 6), calcular + e ondição de paralelismo de dois vetores no plano Se dois vetores = ( 1, 1 ) e = (, ) são paralelos, eiste um número λ tal que = λ, ou seja, ( 1, 1 ) = (λ,λ ) ou 1 = 1 = λ Sendo assim, dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais Vetor definido por dois pontos no plano onsideremos o vetor de origem no ponto = ( 1, 1 ) e etremidade em = (, ) = O O = (, ) ( 1, 1 ) = ( 1, 1 ) O Eercício 3.5: ados os pontos = ( 1,), = (3, 1) e = (,4), determinar = (,) de modo que = 1. 7

8 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Norma de um vetor no plano Se = i+ j, então = Vetores no R 3 No plano, qualquer conjunto ordenado { 1, } de dois vetores, não paralelos, é uma base ordenada e, portanto, todo vetor deste plano é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre eistem os números a 1 e a reais tais que = a 1 1 +a. No espaço, qualquer conjunto ordenado { 1, 3, 3 } de três vetores não paralelos a um mesmo plano é uma base ordenada e, de forma análoga, demonstra-se que todo vetor do espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre eistem números reais a 1, a e a 3 tais que = a 1 1 +a +a 3 3 onde a 1, a e a 3 são as componentes de em relação à base considerada. Uma base { e 1, e, e 3 } no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e, dois a dois, ortogonais. { ase canônica do espaço i, j, k} onsideremos os vetores i, j e k representados com origem no mesmo ponto O, pelo qual passam três retas como mostra a figura a seguir. z 1 k O 1 j i 1 reta com a direção do vetor i é o eio dos (das abscissas), a reta com a direção do vetor j é o eio dos (das ordenadas) e a reta com a direção do vetor k é o eio dos z (das cotas). s setas indicam o sentido positivo de cada eio. Estes eios são chamados eios coordenados. ada dupla de eios determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano O ou, o plano Oz ou z e o plano Oz ou z. Estes três planos se interceptam segundo os três eios dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas chamada octante. cada ponto P do espaço vai corresponder uma tripla (,,z) de números reais, chamadas coordenadas de P. 8

9 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Eemplo: z 3 E P = (,4,3) F P O Epressão analítica de um vetor no espaço onsideremos { um vetor = i+ j +z k, onde, e z são as coordenadas de na base canônica i, j, } k. Para simplificar, escrevemos: = (,,z) Observação: Tendo em vista a correspondência biunívoca entre o conjunto de pontos P = (,,z) do espaço e o conjunto de vetores = i + j + z k, o espaço pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores Igualdade de vetores no espaço ois vetores = ( 1, 1,z 1 ) e = (,,z ) são iguais se, e somente se, 1 =, 1 = e z 1 = z Operações com vetores no espaço - Forma algébrica ados os vetores = ( 1, 1,z 1 ) e = (,,z ) e α R. efine-se: a) + = ( 1 +, 1 +,z 1 +z ) b) α = (α 1,α 1,αz 1 ) Eercício 3.6: Sendo = ( 1,, 0) e = (3, 3, 4), calcule a tripla de coordenadas de w = 3+. 9

10 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear ondição de paralelismo entre dois vetores no espaço Se dois vetores = ( 1, 1,z 1 ) e = (,,z ) são paralelos, eiste um número λ tal que = λ, ou seja, ( 1, 1,z 1 ) = (λ,λ,λz ) ou 1 = 1 = z 1 z = λ Sendo assim, dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais. Eercício 3.7: Verifique se os vetores e são paralelos. a) = (3,10,11), = (4,7, 1) b) = (1,7,1), = ( 1, 7, 1 ) Vetor definido por dois pontos no espaço Se = ( 1, 1,z 1 ) e = (,,z ) são dois pontos quaisquer no espaço, então: Norma de um vetor no espaço Se = i+ j +z k, então = ( 1, 1,z z 1 ) = + +z Eercício 3.8: Seja = (, 1, 3). alcule. 10

11 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Referências MRGO, I.; OULOS, P. Geometria nalítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Prentice Hall, 005. STEINRUH,.; WINTERLE, P. Geometria nalítica. São Paulo: Pearson Education do rasil,