Vetores. Laura Goulart. 21 de Julho de 2018 UESB. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
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1 Vetores Laura Goulart UESB 21 de Julho de 2018 Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
2 Introdução Muitas grandezas físicas como força para serem completamente identicadas precisam de comprimento, direção e sentido. Essas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
3 Segmentos Equipolentes Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
4 Segmentos Equipolentes Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo. Denição Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são chamados equipolentes. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
5 Segmentos Equipolentes Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo. Denição Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são chamados equipolentes. Propriedade (Reexiva) AB AB Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
6 Segmentos Equipolentes Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo. Denição Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são chamados equipolentes. Propriedade (Reexiva) AB AB Propriedade (Simétrica) AB CD CD AB Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
7 Segmentos Equipolentes Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo. Denição Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são chamados equipolentes. Propriedade (Reexiva) AB AB Propriedade (Simétrica) AB CD CD AB Propriedade (Transitiva) AB CD e CD EF AB EF Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
8 Segmentos Equipolentes Fixemos o segmento orientado AB e considere o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. Esse conjunto é chamado de vetor e será denotado por AB. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
9 Denição de vetores Observação Dois vetores AB e CD são iguais sse AB CD. Portanto, um mesmo vetor AB é determinado por uma innidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes entre si. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
10 Denição de vetores Observação Dois vetores AB e CD são iguais sse AB CD. Portanto, um mesmo vetor AB é determinado por uma innidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes entre si. Por um abuso de linguagem, nos referimos ao segmento orientado como sendo o vetor. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
11 Casos particulares de vetores Vetores paralelos: São vetores que possuem a mesma direção, mas não necessariamente o mesmo sentido ou o mesmo comprimento. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
12 Casos particulares de vetores Vetores paralelos: São vetores que possuem a mesma direção, mas não necessariamente o mesmo sentido ou o mesmo comprimento. Vetores ortogonais: São vetores que formam um ângulo de Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
13 Casos particulares de vetores Vetores paralelos: São vetores que possuem a mesma direção, mas não necessariamente o mesmo sentido ou o mesmo comprimento. Vetores ortogonais: São vetores que formam um ângulo de Vetores coplanares: São vetores que pertencem ao mesmo plano. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
14 Notação de Grassmann Dado o ponto A e um vetor v, podemos, por meio de uma translação, obter um ponto B tal que B = v + A v = B A. Dessa forma, podemos dizer que um vetor é a diferença de dois pontos. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
15 Representação no Espaço Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
16 Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
17 Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
18 Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
19 Exercício de Fixação Represente os vetores abaixo no espaço: 1 u = (1, 3, 2) 2 u = ( 1, 3, 2) 3 u = (1, 3, 2) 4 u = (1, 3, 2) 5 u = (0, 3, 2) 6 u = (1, 0, 2) 7 u = (1, 3, 0) Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
20 Adição de Vetores Sejam u e v vetores no R 2. Vamos considerar um representante AB para o vetor u como origem para o vetor v Grassmann, existe um ponto C tal que v = BC. e escolhemos a extremidade B. Pela notação de Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
21 Adição de Vetores Sejam u e v vetores no R 2. Vamos considerar um representante AB para o vetor u e escolhemos como origem para o vetor v a extremidade B. Pela notação de Grassmann, existe um ponto C tal que v = BC. Logo, u + v = AB + BC = (B A) + (C B) = C A = AC. Essa maneira de somar é dita regra da poligonal. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
22 Regra da poligonal para mais de 2 vetores Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
23 Regra da poligonal para mais de 2 vetores Observação A adição de vetores independe dos representantes escolhidos. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
24 Regra do Paralelogramo Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra do paralelogramo dada por: Escolha representantes dos vetores u, v com a mesma origem, ie, u = AB e v = AC. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
25 Regra do Paralelogramo Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra do paralelogramo dada por: Escolha representantes dos vetores u, v com a mesma origem, ie, u = AB e v = AC. Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
26 Regra do Paralelogramo Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra do paralelogramo dada por: Escolha representantes dos vetores u, v com a mesma origem, ie, u = AB e v = AC. Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo. Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra é a diferença dos vetores. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
27 Regra do Paralelogramo Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra do paralelogramo dada por: Escolha representantes dos vetores u, v com a mesma origem, ie, u = AB e v = AC. Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo. Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra é a diferença dos vetores. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
28 Propriedades No R n, dados os vetores u = (x 1,..., x n ) e v = (y 1,..., y n ), denimos u + v = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
29 Propriedades No R n, dados os vetores u = (x 1,..., x n ) e v = (y 1,..., y n ), denimos u + v = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Propriedade (Comutativa) u + v = v + u Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
30 Propriedades No R n, dados os vetores u = (x 1,..., x n ) e v = (y 1,..., y n ), denimos u + v = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Propriedade (Comutativa) u + v = v + u Propriedade (Associativa) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
31 Propriedades No R n, dados os vetores u = (x 1,..., x n ) e v = (y 1,..., y n ), denimos u + v = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Propriedade (Comutativa) u + v = v + u Propriedade (Associativa) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w. Propriedade (Existência do Elemento Neutro) O vetor que tem a sua origem coincidindo com sua extremidade é chamado vetor nulo e denotado por 0. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
32 Propriedade (Existência do Elemento Oposto) Dado o vetor u = AB R n, existe o vetor BA chamado vetor oposto de u e denotado por u tal que u + ( u ) = 0. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
33 Propriedade (Existência do Elemento Oposto) Dado o vetor u = AB R n, existe o vetor BA chamado vetor oposto de u e denotado por u tal que u + ( u ) = 0. Observação O vetor u é um vetor de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário ao vetor u. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
34 Multiplicação por Escalar É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de um número real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor que conserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e o comprimento dependem do número real. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
35 Multiplicação por Escalar É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de um número real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor que conserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e o comprimento dependem do número real. Se α = 0 ou u = 0 então α u = 0 Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
36 Multiplicação por Escalar É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de um número real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor que conserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e o comprimento dependem do número real. Se α = 0 ou u = 0 então α u = 0 Se α > 0 então α v e v tem o mesmo sentido. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
37 Multiplicação por Escalar É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de um número real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor que conserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e o comprimento dependem do número real. Se α = 0 ou u = 0 então α u = 0 Se α > 0 então α v e v tem o mesmo sentido. Se α < 0 então α v e v tem sentidos opostos. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
38 Multiplicação por Escalar É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de um número real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor que conserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e o comprimento dependem do número real. Se α = 0 ou u = 0 então α u = 0 Se α > 0 então α v e v tem o mesmo sentido. Se α < 0 então α v e v tem sentidos opostos. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
39 Propriedades Em R n, dados α escalar real e um vetor v = (x 1,..., x n ), denimos α v = (α x 1,..., α x n ). Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
40 Propriedades Em R n, dados α escalar real e um vetor v = (x 1,..., x n ), denimos α v = (α x 1,..., α x n ). Propriedade α(β v ) = (αβ) v. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
41 Propriedades Em R n, dados α escalar real e um vetor v = (x 1,..., x n ), denimos α v = (α x 1,..., α x n ). Propriedade α(β v ) = (αβ) v. Propriedade 1 v = v Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
42 Propriedades Em R n, dados α escalar real e um vetor v = (x 1,..., x n ), denimos α v = (α x 1,..., α x n ). Propriedade α(β v ) = (αβ) v. Propriedade 1 v = v Propriedade α( u + v ) = α u + α v. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
43 Propriedades Em R n, dados α escalar real e um vetor v = (x 1,..., x n ), denimos α v = (α x 1,..., α x n ). Propriedade α(β v ) = (αβ) v. Propriedade 1 v = v Propriedade α( u + v ) = α u + α v. Propriedade (α + β) u = α u + β u. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
44 Módulo de um vetor A medida do comprimento de um vetor v é denominado módulo ou norma e denota-se por v. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
45 Módulo de um vetor A medida do comprimento de um vetor v é denominado módulo ou norma e denota-se por v. Suponhamos que v = (a, b) R 2 conforme gura abaixo: Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
46 Módulo de um vetor A medida do comprimento de um vetor v é denominado módulo ou norma e denota-se por v. Suponhamos que v = (a, b) R 2 conforme gura abaixo: Em geral, dado v = (x 1,..., x n ); denimos v = x x 2 n. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
47 Propriedades Propriedade v > 0 quando v 0. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
48 Propriedades Propriedade v > 0 quando v 0. Propriedade α v = α v. Propriedade (Desigualde Triangular) u + v u + v. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
49 Propriedades Propriedade v > 0 quando v 0. Propriedade α v = α v. Propriedade (Desigualde Triangular) u + v u + v. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
50 Observação Um vetor v é dito versor quando v = 1. Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
51 Notação ijk Consideremos os versores î = (1, 0, 0); ĵ = (0, 1, 0) e ˆk = (0, 0, 1). Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
52 Notação ijk Consideremos os versores î = (1, 0, 0); ĵ = (0, 1, 0) e ˆk = (0, 0, 1). Logo, (x, y, z) = (x, 0, 0)+(0, y, 0)+(0, 0, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1). Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
53 Notação ijk Consideremos os versores î = (1, 0, 0); ĵ = (0, 1, 0) e ˆk = (0, 0, 1). Logo, (x, y, z) = (x, 0, 0)+(0, y, 0)+(0, 0, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1). Portanto, (x, y, z) = xî + yĵ + z ˆk Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
54 Notação ijk Consideremos os versores î = (1, 0, 0); ĵ = (0, 1, 0) e ˆk = (0, 0, 1). Logo, (x, y, z) = (x, 0, 0)+(0, y, 0)+(0, 0, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1). Portanto, (x, y, z) = xî + yĵ + z ˆk Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de / 1
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