SUMÁRIO. Pra começo de conversa

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1 SUMÁRIO Pra começo de conversa Introdução aos Vetores Conceitos Básicos O Conceito de Vetor Operações com Vetores Adição de vetores Diferença de Vetores Multiplicação por Escalar Vetores: Um Tratamento Algébrico Vetores no Plano Operações com Vetores Vetores no Espaço Produtos de Vetores Produto Escalar Ângulo entre Vetores Produto Vetorial Produto Misto Retas no Plano e no Espaço Algumas Formas de Escrever a Equação de uma Reta Posições Relativas de Retas

2 4.3 Ângulos entre Retas Distância de Ponto a Reta Planos Equação de um Plano Posições relativas de reta e plano Posições Relativas de Planos Ângulo entre Reta e Plano Ângulo entre Dois Planos Distância de Ponto a Plano Mudança de Coordenadas Coordenadas Polares Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas Rotação e Translação Rotação dos Eixos Coordenados Translação dos Eixos Coordenados Cônicas Introdução Elipse Equação da Elipse com Centro na Origem do Sistema Equação da Elipse com Centro no Ponto O (x 0, y 0 ) Hipérbole Equação da Hipérbole com Centro na Origem Equação da Hipérbole com Centro no Ponto O (x 0, y 0 )

3 7.4 Parábola Equação da Parábola com Vértice na Origem Parábola com Vértice no Ponto V (x 0, y 0 ) Superfícies Quádricas Introdução Elipsoide Hiperboloide de uma Folha Hiperboloide de Duas Folhas Paraboloide Elíptico Paraboloide Hiperbólico Superfície Cônica Superfície Cilíndrica Para Final de Conversa Referências

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5 Para Começo de Conversa... Prezado(a) Aluno(a): É com muita satisfação que estamos iniciando o estudo da disciplina de Geometria Analítica. Convido cada um de vocês para mergulharmos profundamente nesta disciplina. Todos nós já estudamos de alguma forma a disciplina chamada Geometria Analítica no ensino médio. Aqui, estudaremos a Geometria Analítica com tratamento vetorial. Estamos falando de Geometria Analítica, mas, você saberia dizer o que significa essa expressão? Como ela surgiu? A geometria analítica, se baseia nos estudos da geometria através da utilização da álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês, René Descartes ( ), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. De agora em diante, nosso principal objetivo será de aproveitar essa disciplina da melhor forma possível, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos, revisando alguns conceitos e conhecendo outros. Para elaboração deste texto, as principais referências utilizadas foram Winterle (2006) e Boulos (1997). Os conteúdos que abordaremos, nesta disciplina, são distribuídos em oito capítulos (ou

6 unidades). O tempo que você terá para cursar essa disciplina será de sessenta dias e você deverá se organizar para estudar os seguintes tópicos: Introdução aos Vetores Vetores: Um Tratamento Algébrico Produtos de Vetores Retas no Plano e no Espaço Planos Mudança de Coordenadas Cônicas Superfícies Quádricas Importante! Procure se organizar e dedicar da melhor forma possível a esta disciplina. Caso você tenha qualquer tipo de dificuldade, procure trocar ideias com o tutor presencial, com o tutor a distância ou com o professor da disciplina. Que cada um de vocês aproveitem o máximo esta disciplina. Bons estudos! Os Autores.

7 capítulo 1 Introdução aos Vetores Objetivo Construir vetores no plano usando as operações vetoriais. 9

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9 1.1 Conceitos Básicos Quando nós falamos em vetores, geralmente, o que nos vem em mente é uma seta. Mas não podemos ter isso como definição. Tal seta nos transmite uma ideia de deslocamento ou de translação. Basicamente, podemos imaginar um ponto se deslocando de A para B. Essa é a idéia mais simples que um vetor nos transmite. Assim, o deslocamento é retilíneo, nos dando ideia de direção associada a uma reta. A extremidade da seta nos dá ideia de sentido e o comprimento da seta nos mostra, segundo uma unidade, a distância entre os pontos A e B. Note que tal seta que estamos imaginando não é um vetor, mas representa a idéia que um vetor ou uma grandeza vetorial encerra. Vamos iniciar nossa conversa, para atingirmos a definição precisa de vetor. Segundo WINTERLE (2006), uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta, como mostra a figura abaixo. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo. Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos; o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. 11

10 Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por AB. Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura anterior é de 5 unidades de comprimento: AB = 5 u.c Agora, observe que: Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. AB = BA. Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes. Então, podemos enfatizar que: Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 12

11 Dois segmentos orientados, AB e CD, são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB CD. Propriedades da Equipolência 1. AB AB (reflexiva). 2. Se AB CD, CD AB (simétrica). 3. Se AB CD, CD EF, AB EF (transitiva). 4. Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB CD. 1.2 O Conceito de Vetor Definição Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. 13

12 Se indicarmos com v este conjunto, simbolicamente, poderemos escrever: v = XY/XY AB, em que XY é um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por AB é indicado por AB ou B A ou v. Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Portanto, com origem em cada ponto do espaço, podemos visualizar um representante de um vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos. As características de um vetor v são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. O módulo de v é denotado por v. Dois vetores AB e CD são iguais, se, e somente se, AB CD. Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é denotado por O. v. Dado um vetor v = AB, o vetor BA é o oposto de AB e se indica por AB ou por Um vetor v é unitário, se v = 1. Definição Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v. Os vetores u 1 e u 2 da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No 14

13 entanto, apenas u 1 tem a mesma direção e o mesmo sentido de v. Portanto, este é o versor de v. Dois vetores u e v são colineares, se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. Se os vetores não nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz-se que eles são coplanares. Guardemos bem o seguinte: dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois re- 15

14 presentantes de u e v pertencendo a um plano π que passa por este ponto.(winterle, 2006). 1.3 Operações com Vetores Adição de vetores Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam um vetor s que é, por definição, a soma dos vetores u e v, isto é, s = u + v. Propriedades da adição 1. Comutativa: u + v = v + u. 2. Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w ). 3. Existe um só vetor nulo O tal que para todo o vetor v se tem: v + O = O + v = v. 16

15 4. Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor v (vetor oposto de v ) tal que v + ( v ) = v + v = O Diferença de Vetores Chama-se diferença de dois vetores u e v, e se representa por d = u v, ao vetor u + ( v ). Dados dois vetores u e v, representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD, verifica-se que a soma s = u + v é representada pelo segmento orientado AD e que a diferença d = u v é representada pelo segmento orientado CB. Exemplo Dados dois vetores u e v não paralelos, construa, no mesmo gráfico, os vetores u + v, u v, v u e u v, todos com origem em um mesmo ponto. 17

16 1.3.3 Multiplicação por Escalar Dados um vetor v 0 e um número real (ou escalar) k 0, chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor p = k v, tal que: a) módulo: p = k v = k v ; b) direção: a mesma de v ; c) sentido: o mesmo de v, se k > 0, e contrário ao de v, se k < 0 Se k = 0 ou v = 0, o produto é o vetor O. Se k é um escalar não nulo, a notação v /k significa 1/k v. Se v é um vetor não nulo, o vetor v / v é o versor de v. Propriedades da Multiplicação por Escalar Se u e v são vetores quaisquer, e a e b, números reais, temos: 18

17 1. Associativa: a(b v ) = (ab) v. 2. Distributiva em relação à adição de escalares: (a + b) v = a v + b v. 3. Distributiva em relação à adição de vetores: a( u + v ) = a u + a v. 4. Identidade: 1 v = v. Dois vetores não nulos u e v são paralelos, se, e somente se, existe um escalar k tal que u = k v (e, consequentemente, k 0 e v = u /k). Atividade 1. Dados dois vetores u e v não paralelos, construa em uma mesma figura os vetores 2 u + 3 v, 3 u 2 v, v u e todos com origem em um mesmo ponto. 19

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19 capítulo 2 Vetores: Um Tratamento Algébrico Objetivos Estabelecer a igualdade entre dois vetores; Manipular operações entre vetores; Reconhecer vetores paralelos; Representar vetores no espaço. 21

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21 2.1 Vetores no Plano Segundo WINTERLE (2006), dados dois vetores v 1 e v 2, não colineares, qualquer vetor v (coplanar com v1 e v 2 ) pode ser decomposto segundo as direções de v 1 e v 2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, iremos determinar dois números reais a 1 e a 2 tais que: v = a1 v1 + a 2 v2 (2.1) Quando o vetor v estiver representado por 2.1 dizemos que v é combinação linear de v 1 e v 2. O par de vetores v 1 e v 2, não colineares, é chamado base do plano. Aliás, qualquer conjunto { v 1, v 2 } de vetores não colineares constitui uma base no plano. Os números a 1 e a 2 da representação 2.1 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base { v 1, v 2 }. O vetor a 1v1 é chamado projeção de v sobre v 1 segundo a direção de v 2. Do mesmo modo, a 2v2 é a projeção de v sobre v 2 segundo a direção de v1. Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base { e 1, e 2 } é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, e 1 e 2 e e 1 = e 2 = 1. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xoy. Os 23

22 vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i e j, ambos com origem em O e extremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente, sendo a base C = { i, j } chamada canônica. Portanto, i = (1, 0) e j = (0, 1). Daqui por diante, trataremos somente da base canônica. Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que v = x i + y j (2.2) Os números x e y são as componentes de v na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de v e a segunda componente y é a ordenada de v. O vetor v será também representado por v = (x, y) (2.3) dispensando-se a referência à base canônica C. 24

23 A igualdade anterior é chamado expressão analítica de v. Para exemplificar, veja alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas: 3 i 5 j = (3, 5) 3 j = (0, 3) 4 i = ( 4, 0) Parece óbvio o que se segue, mas a definição de igualdade de vetores é fundamental para continuarmos o estudo de Geometria Analítica.(WINTERLE,2006). Dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) são iguais se, e somente se, x 1 = x 2 e y 1 = y 2, escrevendo-se u = v. Exemplo O vetor u = (x + 1, 4) é igual ao vetor v = (5, 2y 6) se x + 1 = 5 e 2y 6 = 4. Assim, se u = v, então x = 4, y = 5 e u = v = (5, 4). Atividade Considere os vetores u = (m + 2n, n 7) e v = (4 m, n + m + 9). Existem valores de m e n de modo que u = v? 2.2 Operações com Vetores Você deve ter notado que já estudamos operações entre vetores. Por que então, tudo isso novamente? A questão é que estudamos operações entre vetores do ponto de vista geométrico. Agora daremos um enfoque algébrico para o que fizemos anteriormente. Sejam os vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) e α R. Define-se: 25

24 1. u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) 2. α u = (αx 1, αx 2 ) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número. Exemplo Determinar o vetor w na igualdade 3 w + 2 u = 1 2 v + w, sendo dados u = (3, 1) e v = ( 2, 4). A equação pode ser resolvida como uma equação numérica: 6 w + 4 u = v + 2 w = 6 w 2 w = v 4 u = 4 w = v 4 u = 1 w = v u 4 Substituindo u e v na equação acima, vem 1 w = 4 ( 2, 4) (3, 1) = w = ( 1 4, 1) (3, 1) = w = ( 1 + ( 3), 1 + 1) = 2 7 w = ( 2, 2) Vamos considerar agora o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade em B(x 2, y 2 ). 26

25 Os vetores OA e OB têm expressões analíticas OA = (x1, y 1 ) e OB = (x2, y 2 ). Por outro lado, do triângulo OAB da figura, vem OA + AB = OB em que AB = OB OA ou AB = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) e AB = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve AB = B A. É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que melhor o caracteriza é aquele que tem origem em O(0, 0) e extremidade em P = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). O vetor v = AB é também chamado vetor posição ou representante natural de AB. Por outro lado, sempre que tivermos v = AB ou v = B A podemos também concluir que B = A + v ou B = A + AB, isto é, o vetor v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B. Exemplo Dados os pontos A( 1, 2), B(3, 1) e C( 2, 4), determinar o ponto D de modo que 1 CD = AB. 2 Seja D(x, y). Então, CD = D C = (x, y) ( 2, 4) = (x + 2, y 4) e AB = B A = 27

26 (3, 1) ( 1, 2) = (4, 3). Logo, (x + 2, y 4) = 1 3 (4, 3) (x + 2, y 4) = (2, 2 2 ) Da igualdade anterior concluimos que x + 2 = 2 y 4 = 3 2 Portanto, D(0, 5 2 ). Para você Refletir: Pense outra forma de resolver este exercício. Vimos anteriormente, como determinar o vetor definido por dois pontos. Considere agora o segmento de extremos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como AM = MB ou (x x 1, y y 1 ) = (x 2 x, y 2 y) e daí x x 1 = x 2 x e y y 1 = y 2 y). Com isso, temos M( x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 ) 2 28

27 Exemplo Observe que o ponto médio do segmento de extremos A( 2, 3) e B(6, 2) é M( 2 + 6, ) ou M(2, 5 2 ) Você se lembra da definição de vetores paralelos? Pois bem, vamos voltar nesse assunto, mas agora, com a abordagem algébrica. Dois vetores são paralelos se existe um número real α tal que u = α v, ou seja, (x 1, y 1 ) = α(x 2, y 2 ) que pela condição de igualdade resulta em x 1 = αx 2 e y 1 = αy 2 donde x 1 x 2 = y 1 y 2 (= α) Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. Exemplo Os vetores u = ( 2, 3) e v = ( 4, 6) são paralelos pois 2 4 = 3 6. Atividades 1. Dados os vetores u = (3, 1) e v = ( 1, 2), obtenha o vetor w tal que 3 w (2 v u ) = 2(4 w 3 u ). 2. Dados os pontos A( 1, 3), B(1, 0) e C(2, 1), determine o ponto D de modo que DC = BA. 29

28 2.3 Vetores no Espaço Vamos refletir um pouco sobre o que vimos até agora. Iniciamos nossa disciplina dando aos vetores um tratamento geométrico. Em seguida, vimos que todo vetor de um plano possui uma representação em termos da chamada base canônina. Ou seja, passamos a manipular os vetores do ponto de vista algébrico. Uma questão fundamental, é que tudo o que fizemos para vetores em um plano se estende de maneira natural para vetores do espaço, bastanto para isso fazer algumas adptações. No espaço, de forma análoga, consideraremos a base canônica { i, j, k }, onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor i, o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetor k. As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo coordenado. Cada dupla de vetores de base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xoy ou xy, o plano xoz ou xz e o plano yoz ou yz. As figuras a seguir dão uma idéia dos planos xy e 30

29 xz, respectivamente. Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor OP = x i + y j + z k, isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. O vetor OP = v = x i + y j + z k também será expresso por OP = v = (x, y, z). Tomemos o paralelepípedo da figura: Com base nesta figura, temos: a) A(2, 0, 0) - um ponto P (x, y, z) está no eixo dos x, quando y = 0 e z = 0; b) C(0, 4, 0) - um ponto está no eixo dos y, quando x = 0 e z = 0; 31

30 c) E(0, 0, 3) - um ponto está no eixo dos z, quando x = 0 e y = 0; d) B(2, 4, 0) - um ponto está no eixo dos xy quando z = 0; e) F (2, 0, 3) - um ponto está no eixo dos xz, quando y = 0; f) D(0, 4, 3) - um ponto está no eixo dos yz, quando x = 0. O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, 0, 0) é a projeção de P (2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z, respectivamente. Como todos os pontos da face a) P DEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 3, isto é, são pontos do tipo (x, y, 3); b) P BCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y = 4, isto é, são pontos do tipo (x, 4, z); c) P F AB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x = 2, isto é, são pontos do tipo (2, y, z). Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, 2, 4), procedemos assim: 1 o ) Marca-se o ponto A (3, 2) no plano xy; 2 o ) Desloca-se A paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse 4 seriam 4 unidades para baixo) para obter o ponto A. 32

31 Atividades 1. Considere os seguintes pontos: A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3). Represente cada um desses pontos no sistema cartesiano. Utilize o que aprendermos anteriormente, para demonstrar que esses pontos são vértices de um paralelogramo.( Lembre da definição de paralelogramo!). 2. Obtenha os valores de a e b de modo que os vetores u = (4, 1, 3) e v = (6, a, b) sejam paralelos. 33

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33 capítulo 3 Produtos de Vetores Objetivos Calcular a norma de um vetor a partir de sua expressão analítica; Calcular o ângulo formado entre dois vetores; Determinar o vetor projeção; Calcular o produto vetorial entre dois vetores; Utilizar o produto vetorial para calcular a área de um paralelogramo; Reconhecer vetores coplanares com o uso do produto misto. 35

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35 3.1 Produto Escalar Definição Chama-se produto escalar ou produto interno de dois vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k e v = x2 i + y2 j + z2 k, e se representa por u v, ao número real u v = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. v. O produto escalar de u por v também é denotado por < u, v > e se lê u escalar Exemplo Dados os vetores u = 3 i 5 j + 8 k e v = 4 i 2 j k, tem-se: u v = 3(4) 5( 2) + 8( 1) = = 14. Definição Módulo ou norma de um vetor v,denotado por v é o número real não negativo Caso v = (x, y), teremos v = v. v ou ainda v = (x, y).(x, y) v = x 2 + y 2 Apartir de cada vetor v não nulo é possível obter um vetor unitário u fazendo 37

36 u = v v Vamos agora explorarmos algumas propriedades básicas do produto escalar. Para quaisquer vetores u, v e w e o número real α, é fácil verificar que: 1. u v = v u 2. u ( v + w ) = u v + u w e ( u + v ) w = u w + v w 3. α( u v ) = (α u ) v = u (α v ) 4. u u > 0 se u 0 e u u = 0, se u = 0 = (0, 0, 0) 5. u u = u Ângulo entre Vetores Definição O ângulo de dois vetores não nulos u e v é o ângulo θ formado pelas semiretas OA e OB e tal que 0 θ π. A ideia, agora, é estabelecermos uma maneira de calcular o ângulo formado entre dois vetores, a partir de suas componentes. Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da 38

37 figura abaixo, temos u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ (3.1) Por outro lado, tem-se: u v 2 = u 2 + v 2 2 u v (3.2) Comparando as igualdades 3.1 e 3.2 resulta em: u 2 + v 2 2 u v = u 2 + v 2 2 u v cosθ e daí, u v = u v cos θ, (3.3) para 0 o θ 180 o. Conclusão: O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado. Exemplo Calcule o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e v = ( 1, 2, 2). u v cos θ = u (1, 1, 4) ( 1, 2, 2) = = = v = 1 = 1 2 = Como cos θ = 2 concluimos que θ = π radianos. 4 Agora, vamos questionar o seguinte fato: O que ocorre com a relação 3.3 caso u v = 0? Podemos verificar que neste caso cos θ deve ser igual a zero, isto é, cos θ = 0, o que implica θ = 90 o, ou seja, θ é ângulo reto

38 Assim, podemos afirmar que dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo, isto é, se: u v = 0 e esses vetores serão denotados por u v (lê-se vetor u ortogonal ao vetor v ). Exemplo Verifique que u = ( 2, 3 2) é ortogonal a v = ( 1, 2, 4). u v = 2( 1) + 3(2) + ( 2)4 = = 0 Portanto u v. Vamos discutir agora a questão da projeção vetorial. Mas o que vem a ser isso? Considere os vetores u e v não nulos e θ o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamos v, tal que v = v 1 + v 2 sendo v 1 // u e v 2 u. A figura a seguir ilustra as duas situações possíveis, podendo ser θ um ângulo agudo ou obtuso. O vetor v 1 é chamado projeção ortogonal de v sobre u e denotado por v 1 = proj u v. (3.4) 40

39 Ora, sendo v 1 // u, temos v 1 = α u e como v 2 = v v 1 = v α u é ortogonal a u, vem ou e α = ( v α u ) u = 0 v u α u u = 0 v u u u. Portanto, sendo v 1 = α u, por 3.4 conclui-se que proj u v = ( v u u u ) u (3.5) Exemplo Determine o vetor projeção de u = (2, 3, 4) sobre v = (1, 1, 0). u v proj v u = ( v ) (2, 3, 4) (1, 1, 0) v = ( )(1, 1, 0) = (2 v (1, 1, 0) (1, 1, 0) )(1, 1, 0) = 1 (1, 1, 0) 2 Atividades 1. Mostre que u + u = u 2 +2 u v + u Determine o valor de n para que o vetor u = (n, 2, 4 ) seja unitário Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B( 1, 0, 1) e C(2, 1, 0). 4. Determine os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, 1) e C( 1, 2, 1). 5. Determine o vetor projeção do vetor u (1, 2, 3) na direção de v = (2, 1, 2). 41

40 3.3 Produto Vetorial Faremos algumas considerações importantes antes de definirmos produto vetorial: O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar u v que é um escalar (número real); Para simplicidade do cálculo do produto vetorial, faremos uso de determinantes; Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção: a) a permutação de duas linhas de uma matriz inverte o sinal do determinante associado a essa matriz; b) se duas linhas de uma matriz forem constituídas de elementos proporcionais, seu determinante é igual a zero(duas linhas iguais é um caso particular). c) se uma das linhas de uma matriz for constituída de zeros, o determinante é igual a zero. O determinante associado a uma matriz de ordem 3 pode ser dado por det a b c x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = det y 1 z 1 a det x 1 z 1 b + det y 2 z 2 x 2 z 2 x 1 y 1 x 2 y 2 c A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha. 42

41 Definição Chama-se produto vetorial de dois vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k e v = x 2 i + y2 j + z2 k, tomados nesta ordem, e se representa por u v, ao vetor u v = det y 1 z 1 i det x 1 z 1 j + det x 1 y 1 k (3.6) y 2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 v. O produto vetorial de u por v também é denotado por u v e lê-se u vetorial Observemos que a definição de u v dada em 3.6 pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace (item d acima) substituindo-se a, b e c pelo vetores unitários i, j e k, fato que sugere a notação u v = det i j k x 1 y 1 z 1 (3.7) x 2 y 2 z 2 Atenção: O símbolo à direita de 3.7 não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial. Exemplo Calcular u v para u = 5 i + 4 j + 3 k e v = i + k. i j k det = det 4 3 i det 5 3 j + det 5 4 k = (4 0) i (5 3) j + (0 4) k = 4 i 2 j 4 k Agora, conforme fizemos com o produto escalar, vamos discutir algumas propriedades do produto vetorial. 43

42 Levando-se em conta as considerações feitas sobre as propriedades dos determinantes, concluímos de imediato que: 1. v u = ( u v ), isto é, os vetores v u e u v são opostos, pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial u v implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2, ou seja, troca de sinal de todas as suas componentes. 2. u v = 0 se, e somente se, u // v, pois neste caso, todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais. Estão aí também incluídos os casos particulares: I) u u = 0 (determinantes de ordem 2 com linhas iguais) II) u 0 = 0 (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros) Características do vetor u v Consideremos os vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) a) Direção de u v O vetor u v é simultaneamente ortogonal a u e v. b) Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determinado utilizando-se a regra da mão direita. Sendo θ o ângulo entre u e v, suponhamos que u (1 o vetor) sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v. Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de u v. A figura acima (b) mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida. Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de v para u se invertermos a posição da mão, quando então o dedo polegar estará apontando para baixo. 44

43 c) Comprimento de u v Se θ é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então u v = u v sen θ. Proposição O módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u = AB e v = AC Demonstração. De fato a área ABCD = u h = u v sin θ = u v sin θ Usando o fato que segue o resultado. u v = u v sin θ Atividades 1. Considere os vetores u = (2, 1, 1), v = (1, 1, 0) e w = ( 1, 2, 2). Calcule: v w, ( v + u ) w. 2. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, 1, 0). 45

44 3.4 Produto Misto Definição Chama-se produto misto dos vetores u = x 1 i + y1 j + z1 k, v = x 2 i + y2 j + z2 k e w = x3 i + y3 j + z3 k, tomados nesta ordem, ao número real u ( v w ). O produto misto de u, v e w também pode ser denotado por ( u, v, w ). Tendo em vista que i j k v w = det x 2 y 2 z 2 = det y 2 z 2 i det x 2 z 2 j +det y 3 z 3 x 3 z 3 x 3 y 3 z 3 vem u ( v w ) = x1 det y 1 z 1 y 1 det x 1 z 1 + z 1 det y 2 z 2 x 2 z 2 x 1 y 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 3 y 3 k e, portanto, u ( v w ) = det x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 (3.8) x 3 y 3 z 3 Exemplo Calcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k, v = i + 3 j + 3 k e w = 4 i 3 j + 2 k. u ( v w ) = det = 27 46

45 Vejamos agora algumas propriedades do produto misto. 1. O produto misto ( u, v, w ) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. Então, se em relação ao produto misto ( u, v, w ) ocorrer a) uma permutação - haverá troca de sinal; b) duas permutações - não altera o valor. Resulta desta propriedade que os sinais e podem ser permutados, isto é, u ( v w ) = ( u v ) w. 2. ( u + x, v, w ) = ( u, v, w ) + ( x, v, w ) ( u, v + x, w ) = ( u, v, w ) + ( u, x, w ) ( u, v, w + x ) = ( u, v, w ) + ( u, v, x ) 3. (α u, v, w ) = ( u, α v, w ) = ( u, v, α w ) = α( u, v, w ) 4. ( u, v, w ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. Exemplo Verificar se são coplanares os vetores u = (2, 1, 1), v = (1, 0, 1) e w = (2, 1, 4). ( u, v, w ) = det = 3 0 Portanto, os vetores não são coplanares. 47

46 Exemplo Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2, m, 0), v = (1, 1, 2) e w = ( 1, 3, 1) sejam coplanares? 2 m 0 Devemos ter ( u, v, w ) = 0, isto é, det e, portanto, m = 10. = 0 ou 2 2m 12+m = 0 Exemplo Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B( 1, 0, 2), C(0, 2, 2) e D( 2, 1, 3) estão no mesmo plano. Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB, AC e AD, e para tanto, deve-se ter ( AB, AC, AD) = 0. Como ( AB, AC, AD) = = 0 Portanto os pontos A, B, C e D são coplanares. Atividades 1. Verifique se os vetores u = (3, 1, 2), v = (1, 2, 1) e w = ( 2, 3, 4) são coplanares. 2. Para que valores de a os pontos A(a, 1, 2), B(2, 2, 3), C(5, 1, 1) e D(3, 2, 2) são coplanares? 48

47 capítulo 4 Retas no Plano e no Espaço Objetivos Identificar as diferentes formas de escrever a equação de uma reta; Calcular o ângulo formado por duas retas; Reconhecer a posição relativa de duas retas; Calcular a distância de um ponto a uma reta. 49

48

49 4.1 Algumas Formas de Escrever a Equação de uma Reta Consideremos um ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e um vetor não nulo v = (a, b, c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P (x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v, isto é, para algum real t. AP = t v (4.1) De 4.1, vem P A = t v ou P = A + t v (4.2) ou, em coordenadas (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c) (4.3) Qualquer uma das equações 4.1, 4.2 ou 4.3 é denominada equação vetorial de r. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. 51

50 Exemplo Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a direção do vetor v = 2 i + 2 j k. Seja P (x, y, z) um ponto genérico dessa reta, tem-se P = A + t v, isto é, (x, y, z) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1). Quando t varia de a +, P descreve a reta r. Assim, se t = 2, por exemplo: (x, y, z) = (3, 0, 5)+t(2, 2, 1) = (x, y, z) = (3, 0, 5)+(4, 4, 2) = (x, y, z) = (7, 4, 7) O ponto P (7, 4, 7) é um ponto da reta r. Reciprocamente, a cada ponto P r corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se que o ponto P (7, 4, 7) pertence à reta r : (x, y, z) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1), logo, é verdadeira a afirmação: (7, 4, 7) = (3, 0, 5) + t(2, 2, 1), para algum número real t. Dessa igualdade, vem: t(2, 2, 1) = (7, 4, 7) (3, 0, 5) = t(2, 2, 1) = (4, 4, 2) = (2t, 2t, 1t) = (4, 4, 2) Da definição de igualdade de vetores, vem: t = 2. Vamos agora apresentar uma outra maneira de escrever as equações de uma reta. Da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c) ou ainda (x, y, z) = (x 1 + at, y 1 + bt, z 1 + ct), pela condição de igualdade, obtém-se x = y = x 1 + at y 1 + bt (4.4) z = z 1 + ct As equações são chamadas equações paramétricas da reta. 52

51 Exemplo Dados o ponto A(2, 3, 4) e o vetor v = (1, 2, 3), pede-se: a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de v. b) Encontrar o ponto B de r de parâmetro t = 1. c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. d) Verificar se os pontos D(4, 1, 2) e E(5, 4, 3) pertencem a r. a) De acordo com a forma paramétrica da reta temos imediatamente: r : x = y = z = 2 + t 3 2t 4 + 3t b) Das equações acima tem-se para t = 1: x = 2 + (1) = 3 y = 3 2(1) = 1 z = 4 + 3(1) = 1 Portanto, B(3, 1, 1) r c) Como o ponto tem abscissa 4 (x = 4), temos y = 3 2(2) = 1 4 = 2 + t (1 o equação de r) e, portanto,t = 2. Como t = 2,= z = 4 + 3(2) = 2 O ponto procurado é (4, 1, 2). d) Um ponto pertence à reta r se existe um real t que satisfaz as equações de r. 53

52 Para D(4, 1, 2) as equações 4 = 2 + t 1 = 3 2t 2 = 4 + 3t se verificam para t = 2 e, portanto, D r. Vamos pensar o seguinte fato: Dados dois pontos, por exemplo, no espaço, como determinar as equações paramétricas da reta que passa por esses pontos? Observe que a reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v = AB. Vejamos um exemplo. 0,3cm Exemplo Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, 1, 2) e B(1, 2, 4). Escolhendo o ponto A e o vetor v = AB = B A = ( 2, 3, 6), tem-se r : Das equações paramétricas x = x 1 + at y = y 1 + bt z = z 1 + ct x = y = z = 3 2t 1 + 3t 2 + 6t supondo abc 0, vem t = x x 1 a t = y y 1 b t = z z 1 c Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c (4.5) 54

53 As equações 4.5 são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x 1, y 1, z 1 ) e tem a direção do vetor v = (a, b, c). Exemplo A reta que passa pelo ponto A(3, 0, 5) e tem a direção do vetor v = (2, 2, 1), tem equações simétricas x 3 = y 2 2 = z Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis. Por exemplo, para x = 5, tem-se 5 3 = 1 = y 2 2 = z + 5 onde y = 2 e z = 6 1 e, portanto, o ponto (5, 2, 6) pertence à reta. Consideremos agora a seguinte situação Seja a reta r definida pelo ponto A(2, 4, 3) e pelo vetor diretor v = (1, 2, 3) e expressa pelas equações simétricas r : x 2 1 = y 4 2 = z (4.6) A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando, primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtém-se x 2 1 = y x 2 1 = z (y + 4) = 2(x 2) 1(z + 3) = 3(x 2) y + 4 = 2x 4 z + 3 = 3x + 6 (4.7) y = 2x 8 z = 3x + 3 Estas duas últimas equações são equações reduzidas da reta r, na variável x. Observações a) É fácil verificar que todo ponto P r é do tipo P (x, 2x 8, 3x + 3), onde x pode assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x = 3 tem-se o ponto P 1 (3, 2, 6) r. 55

54 y = b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma z = c) A partir das equações 4.6, pode-se obter as equações x = 1 2 y + 4 z = 3 (equações reduzidas na variável y) 2 y 9 ou x = 1 3 z + 1 y = 2 (equações reduzidas na variável z). 3 z 6 mx + n px + q d) A reta r das equações 4.6 pode ser representada pelas equações paramétricas x = 2 + t y = 4 + 2t z = 3 3t Da primeira equação obtém-se t = x 2 que, substituindo nas outras duas as transforma em y = 4 + 2(x 2) = 2x 8 z = 3 3(x 2) = 3x + 3 que são as equações reduzidas de 4.7. e) Para encontrar um vetor diretor da reta y = 2x 8 r : z = 3x + 3 uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o vetor AB = B A. Por exemplo, para x = 0, obtém-se o ponto A(0, 8, 3) e para x = 1, obtém-se o ponto B(1, 6, 0). Logo, AB = (1, 2, 3) é um vetor diretor de r. Atividades 1. Verifique se os pontos P 1 (5, 5, 6) e P 2 (4, 1, 12) pertencem à reta r : x 3 1 = y = z

55 2. O ponto P (2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, 1, 4) e B(4, 3, 1). Calcule P. 3. Determine as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4, 0, 3) e tem a direção do vetor v = 2 i + 4 j + 5 k. x = 2t 4. Cite um ponto e um vetor diretor da reta r : y = 1. z = 2 t 5. Determine a equação da reta que passa por A(1, 2, 4) e é paralela ao eixo dos x. 4.2 Posições Relativas de Retas Duas retas r 1 e r 2, no espaço, podem ser: a) concorrentes, isto é, situadas no mesmo plano. Nesse caso, as retas poderão ser: (a) concorrentes: r 1 r 2 = {P } (P é o ponto de intersecção das retas r 1 e r 2 ; (b) paralelas: r 1 r 2 = ( é o conjunto vazio) 57

56 A condição de paralelismo das retas r 1 e r 2 é a mesma dos vetores v 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ), que definem as direções dessas retas, isto é: v1 = m v 2 ou a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 (O caso de serem r 1 e r 2 coincidentes pode ser considerado como um caso particular de paralelismo). b) reversas, isto é, não situadas no mesmo plano. Nesse caso: r 1 r 2 = Observações A igualdade ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0 é a condição de coplanaridade de duas retas r 1 e r 2 que passam, respectivamente, pelos pontos A 1 e A 2, e tem por vetores diretores os vetores v 1 e v 2 : a) se r 1 e r 2 forem paralelas, serão coplanares, isto é, ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0, pois duas linhas do determinante utilizado para calcular ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) apresentam elementos proporcionais v 1 = k v 2. b) se r 1 e r 2 não forem paralelas, a igualdade ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = 0 exprime a condição de concorrência dessas retas. c) se o determinante utilizado para calcular ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) for diferente de zero, as retas r 1 e r 2 são reversas. 58

57 Exemplo Estude a posição relativa das retas: x = y = 2x 3 r 1 : e r 2 : y = z = x z = 1 3t 4 6t 3t São vetores diretores de r 1 e r 2 : v1 = (1, 2, 1) e v 2 = ( 3, 6, 3). Como v 2 = 3 v 1, as retas r 1 e r 2 são paralelas e não coincidentes (basta ver que o ponto A 1 (0, 3, 0) r 1 e A 1 (0, 3, 0) r 2. Exemplo Estude a posição relativa das retas x = r 1 : x 2 = y 2 3 = z 5 e r 2 : y = 4 z = 5 + t 2 t 7 2t As retas não são paralelas pois: Calculemos o produto misto ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) para A 1 (2, 0, 5) e A 2 (5, 2, 7): ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = = 0 o que significa que as retas r 1 e r 2 são concorrentes (se o determinante fosse diferente de zero, as retas seriam reversas). Conhecidas as equações de duas retas, podemos determinar o seu ponto de intersecção. Duas retas r 1 e r 2 coplanares e não paralelas são concorrentes. Consideremos as retas: x = t y = 3x + 2 r 1 : e r 2 : y = 1 + 2t z = 3x 1 z = 2t 59

58 e determinemos o seu ponto de intersecção. Se I(x, y, z) é este ponto, suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r 1 e r 2, isto é, I(x, y, z) é a solução do sistema: y = 3x + 2 z = 3x 1 x = y = z = t 1 + 2t 2t Eliminando t nas três últimas equações, temos o sistema equivalente y = 3x + 2 z = 3x 1 y = z = 1 2x 2x Resolvendo o sistema, encontramos: x = 1 y = z = 2 Logo, o ponto de intersecção das retas r 1 e r 2 é: I(1, 1, 2) Ângulos entre Retas Sejam as retas r 1, que passa pelo ponto A 1 (x 1, y 1, z 1 ) e tem direção de um vetor v1 = (a 1, b 1, c 1 ), e r 2, que passa pelo ponto A 2 (x 2, y 2, z 2 ) e tem direção de um vetor v2 = (a 2, b 2, c 2 ). 60

59 Definição Chama-se ângulo de duas retas r 1 e r 2 o menor ângulo de um vetor diretor de r 1 e de um vetor diretor de r 2. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2, com 0 θ π 2 (4.8) ou, em coordenadas: cos θ = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 a b c 2 1 a b c 2 2 Observação Na figura, o ângulo α é suplementar de θ e, portanto, cos α = cos θ. O ângulo α é o ângulo formado por v 1 e v 2 ou v 1 e v 2. Exemplo Calcular o ângulo entre as retas x = 3 + t r 1 : y = t e r 2 : x = y 3 = z 1 1 z = 1 2t Os vetores que definem as direções das retas r 1 e r 2 são, respectivamente: v1 = (1, 1, 2) e v 2 = ( 2, 1, 1). Logo, temos cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2 = (1, 1, 2) ( 2, 1, 1) ( 2) 2 ( 2)

60 cos θ = = 3 = = 1 2 Observemos que duas retas r 1 e r 2 com as direções de v 1 e v 2, respectivamente, são ortogonais se: r 1 r 2 v 1 v 2 = 0 Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na figura anterior, as retas r 1 e r 2 são ortogonais a r, porém, r 2 e r são concorrentes. Nesse caso, diz-se que são perpendiculares. Exemplo Verifique se as retas y = 2x + 1 r 1 : z = 4x e r 2 : x = y = z = 3 2t 4 + t t são ortogonais. Sendo v 1 = (1, 2, 4) e v 2 = ( 2, 1, 1) vetores diretores de r 1 e r 2 tem-se: v1 v 2 = 1( 2) 2(1) + 4(1) = 0, portanto as retas r 1 e r 2 são ortogonais. 62

61 Agora, sejam as retas r 1 e r 2 não paralelas, com as direções de v 1 e v 2, respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r 1 e r 2 terá a direção de um vetor v tal que v v1 = 0 v v2 = 0 (4.9) Em vez de tomarmos um vetor v 0 como uma solução particular do sistema 4.9, poderíamos utilizar o produto vetorial, isto é, v = v 1 v 2. Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos. Exemplo Determine equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, 1) e é ortogonal às retas r 1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3, 4) e r 2 : x = 5 y = t z = 1 t As direções de r 1 e r 2 são definidas pelos vetores v 1 = (2, 3, 4) e v 2 = (0, 1, 1). Então a reta r tem a direção do vetor i j k v1 v 2 = = (1, 2, 2) Logo, tem-se r : x = y = 3 + t 4 + 2t z = 1 + 2t 63

62 Atividades 1) Determine o ângulo entre as retas x = 2 2t r : y = 2t z = 3 4t e s : x 4 = y = z 1 2. y = mx + 3 2) A reta r : z = x 1 e B( 2, 2m, 2m). Calcule o valor de m. é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) 4.4 Distância de Ponto a Reta Dado um ponto P do espaço e uma reta r, quer-se calcular a distância d(p, r) de P a r. Consideremos na reta r um ponto a e um vetor diretor v. Os vetores v e AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(p, r). A área A do paralelogramo é dada por a) A = (base) (altura) = v d ou b) A = v AP. 64

63 Comparando a) e b), vem d = d(r 1, r 2 ) = v AP v (4.10) Exemplo Calcule a distância do ponto P (2, 1, 4) à reta x = 1 + 2t r : y = 2 t z = 3 2t A reta r passa pelo ponto A( 1, 2, 3) e tem a direção do vetor v = (2, 1, 2). Seja ainda o vetor AP = P A = (3, 1, 1). Calculemos Logo temos d(p, r) = i j j v AP = = ( 3, 8, 1) ( 3, 8, 1) (2, 1, 2) = ( 3)2 + ( 8) ( 1) 2 + ( 2) 2 = 74 3 Podemos utilizar do fato de que sabemos calcular a distância de um ponto a uma reta para calcularmos a distância entre duas retas paralelas.dadas as retas r 1 e r 2, quer-se calcular a distância d(r 1, r 2 ). Podemos ter os seguintes casos: (a) r 1 e r 2 são concorrentes. Neste caso : d(r 1, r 2 ) = 0. (b) r 1 e r 2 são paralelas. d(r 1, r 2 ) = d(p, r 2 ), com P r 1 ou d(r 1, r 2 ) = d(p, r 1 ) com P r 2. A figura a seguir ilustra esta situação, que se reduz ao cálculo da distância de ponto à reta. u.c. 65

64 (c) r 1 e r 2 são reversas. Seja r 1 a reta definida pelo ponto A 1 e pelo vetor diretor v 1 e a reta r 2 pelo ponto A 2 e pelo vetor diretor v 2. Os vetores v 1, v 2 e A 1 A 2, por serem não coplanares, determinam um paralelepípedo (figura??) cuja altura é a distância d(r 1, r 2 ) que se quer calcular (a reta r 2 é paralela ao plano da base do paralelepípedo definida por v 1 e v 2 ). Exemplo Calcule a distância entre as retas x = 1 + t y = x 3 r 1 : y = 3 2t e r 2 : z = x + 1 z = 1 t A reta r 1 passa pelo ponto A 1 ( 1, 3, 1) e tem a direção de v 1 = (1, 2, 1) e a reta r 2 pelo ponto A 2 (0, 3, 1) e tem a direção de v 2 = (1, 1, 1). 66

65 Então, A 1 A 2 = A 2 A 1 = (1, 6, 0) e Então temos d(r 1, r 2 ) = ( v 1, v 2, A 1 A 2 ) = = i j j v1 v 2 = = (3, 0, 3) = = (3, 0, 3) = = 6 6 Atividades x = 1 2t 1) Calcule a distância do ponto P (1, 2, 3) à reta s : y = 2t. z = 2 t x = 0 2) Calcule a distância entre as retas r : y = z y = 3 e s : z = 2x. 67

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67 capítulo 5 Planos Objetivos Identificar a equação de um plano; Determinar a equação de um plano sobre diferentes circunstâncias; Determinar a interseção de uma reta com um plano; Reconhecer planos paralelos e perpendiculares; Determinar o ângulo formado entre dois planos; Calcular a distância de um ponto a um plano. 69

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69 5.1 Equação de um Plano Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = (a, b, c), n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano. Como n π, n é ortogonal a todo vetor representado em π. então, um ponto P (x, y, z) pertence a π se, e somente se, o vetor AP é ortogonal a n, isto é, n (P A) = 0 ou (a, b, c) = (x x 1, y y 1, z z 1 ) = 0 ou a(x x 1 ) + b(y y 1 ) + c(z z 1 ) = 0 ou, ainda ax + by + cz ax 1 by 1 cz 1 = 0 Fazendo ax 1 by 1 cz 1 = d, obtemos ax + by + cz + d = 0 (5.1) Esta é a equação geral do plano π. Observações 71

70 a) Assim como n = (a, b, c) é um vetor normal a π, qualquer vetor k n, k 0, é também vetor normal ao plano. b) É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação 5.1 representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se um plano π é dado por π : 3x + 2y z + 1 = 0, um de seus vetores normais é n (3, 2, 1). c) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada. Assim, por exemplo, se na equação anterior fizermos x = 4 e y = 2, teremos: 3(4) + 2( 2) z + 1 = 0 = 12 4 z + 1 = 0 = z = 9 e, portanto, o ponto A(4, 2, 9) pertence a este plano. Exemplo Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e tem n = (3, 2, 4) como um vetor normal. Como n é normal a π, sua equação é do tipo: 3x + 2y 4z + d = 0 e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, isto é 3(2) + 2( 1) 4(3) + d = 0 = d = 0 = d = 8 Logo, uma equação geral do plano π é 3x + 2y 4z + 8 = 0. Observação Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, r) 72

71 com p q r 0, então π admite a equação x p + y q + z r = 1 denominada equação segmentária do plano π. Vamos considerar agora um ponto A(x 0, y 0, z 0 ) um ponto pertencente a um plano π e u = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ) dois vetores paralelos a π (figura 5.2), porém, u e v não-paralelos. Para todo ponto P do plano, os vetores AP, u e v são coplanares. Um ponto P (x, y, z) pertence a π se, e somente se, existem números reais h e t tais que P A = h u + t v ou ou, em coordenadas P = A + h u + t v (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + h(a 1, b 1, c 1 ) + t(a 2, b 2, c 2 ), h, t R (5.2) Esta equação é denominada equação vetorial do plano π. Os vetores u e v são vetores diretores de π. Da equação 5.2 obtém-se (x, y, z) = (x 0 + a 1 h + a 2 t, y 0 + b 1 h + b 2 t, z 0 + c 1 h + c 2 t) que pela condição de igualdade, vem x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t, h, t R 73

72 Estas equações são chamadas equações paramétricas de π e h e t são variáveis auxiliares denominadas parâmetros. Exemplo Seja o plano π que passa pelo ponto A(2, 2, 1) e é paralelo aos vetores u = (2, 3, 1) e v = ( 1, 5, 3). Obtenha uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π Equação vetorial: (x, y, z) = (2, 2, 1) + h(2, 3, 1) + t( 1, 5, 3). Equações paramétricas: x = 2 + 2h t y = 2 3h + 5t z = 1 + h 3t Observação: Se quisermos algum ponto deste plano, basta atribuir valores reais para h e t. Por exemplo, para h = 0 e t = 1, vem: x = 1, y = 7 e z = 4. E, portanto, B(1, 7, 4) é um ponto do plano π. Equação geral: Como o vetor u v = i j k = (4, 5, 7) é simultaneamente ortogonal a u e v, ele é um vetor n normal ao plano π. Então, uma equação geral de π é da forma 4x + 5y + 7z + d = 0 e, como A π tem-se: 4(2)+5(2)+7( 1)+d = 0 = d = 11. Portanto, uma equação geral do plano π é dada por 4x + 5y + 7z 11 = 0. Exemplo Dado o plano π determinado pelos pontos A(1, 1, 2), B(2, 1, 3) e C( 1, 2, 6), obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π. 74

73 Equações paramétricas: Sabe-se que existe apenas um plano que contém três pontos não em linha reta. Os vetores não-paralelos u = AB = (1, 2, 5) e v = AC = ( 2, 1, 4) são vetores diretores de api e, portanto, as equações (utilizando o ponto A) x = 1 + h 2t y = 1 + 2h t z = 2 5h + 4t são equações paramétricas do plano Equação geral: Sendo u e v vetores diretores de π, o vetor i j k u v = = (3, 6, 3) é um vetor normal a π. Então, uma equação geral é da forma 3x+6y+3z+d = 0. Como A π (poderíamos tomar B ou C): 3(1) + 6( 1) + 3(2) + d = 0 = d = 3. Portanto, uma equação geral de π é 3x + 6y + 3z 3 = 0, ou multiplicando ambos os membros da equação por 1/3: x + 2y + z 1 = 0. Observações a) Como é possível encontrar infinitos ternos A, B e C de pontos não alinhados em π, existem infinitos sistemas de equações paramétricas que representam o mesmo plano. b) É importante observar que os vetores diretores sejam não-paralelos. Se ocorrer AB// AC, basta trocar um dos pontos de modo a garantir que AB e AC sejam não-paralelos. 75

74 c) Uma outra maneira de obter equações paramétricas a partir da equação geral, é substituindo duas das variáveis pelos parâmetros h e t e, posteriormente, isolar a terceira variável em função destes. Por exemplo, se na equação geral 2x y z + 4 = 0, fizermos y = h e z = t, teremos 2x h t + 4 = 0. Isolando x resulta, x = h + 1 t. Então, 2 x = y = z = h t h t são equações paramétricas do plano. Atividade 1) Dado o plano π determinado pelos pontos A(2, 1, 3), B(1, 1, 1) e C( 3, 2, 2), obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π. 5.2 Posições relativas de reta e plano Sejam v um vetor diretor da reta r, n um vetor normal ao plano π e P um ponto. As posições de uma reta r com o plano π são: i. r paralela a π r//π v n = 0 e P π ii. r contida em π r π v n = 0 e P π 76

75 iii. r e π concorrentes (ou transversais) r π = {P } v n 0 Exemplo Determine a intersecção da reta r com o plano π, nos seguintes casos: r : (x, y, z) = (1, 6, 2) + t(1, 1, 1); t R a) π : x z 3 = 0 b) r : x 1 = y 2 = 2(z 1) π : (x, y, z) = h(6, 2, 1) + t(1, 2, 1); t, h R 77

76 c) r : x = y = z = t 3 + 3t t ; t R π : x + y + 2z 1 = 0 a) v n = (1, 1, 1) (1, 0, 1) = 0. Logo, r π = r ou r π =. Como P (1, 6, 2) é um ponto de r, verificamos que P π. Portanto, r π = e conclui-se que r e π são paralelos. b) Sendo v = (1, 1, 1 2 ) e n = (6, 2, 1) (1, 2, 1) = (0, 5, 10), temos que v n = 0. Logo, r π = r ou r π =. Como P (1, 2, 1) é um ponto de r, verificamos que P π. Portanto, r π = r e conclui-se que r está contida em π. c) De v n = (1, 3, 1) (1, 1, 2) = 2 0 concluímos que r π são concorrentes. Seja r π = {P } = {(a, b, c)}. Temos então: a = t (1) a + b + 2c 1 = 0 e (2) b = 3 + 3t c = t De (1) e (2) obtemos t = 2 e P (2, 3, 2). para algum escalar t Atividade 1) Determine o ponto de interseção da reta r : (x = t, y = 1 2t, z = t) com o plano π : 2x + y z 4 = 0. 78

77 5.3 Posições Relativas de Planos Sejam π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 dois planos quaisquer: a) π 1 e π 2 são paralelos se, e somente se, a 1, b 1, c 1 e a 2, b 2, c 2 são proporcionais. b) Nas condições do item (a): se d 1 = d 2 estão na mesma proporção, isto é, se a 1, b 1, c 1, d 1 e a 2, b 2, c 2, d 2 são proporcionais, então π 1 = π 2. se d 1 = d 2 não seguem a proporcionalidade de a 1, b 1, c 1, d 1 e a 2, b 2, c 2, d 2, então π 1 e π 2 são paralelos distintos. c) π 1 e π 2 são concorrentes (ou transversais) se, e somente se, a 1, b 1, c 1, d 1 e a 2, b 2, c 2, d 2 não são proporcionais. Exemplo Estude a posição relativa dos planos: 79

78 a) π 1 : 2x + y z + 1 = 0 e π 2 : 4x + 2y 2z + 2 = 0. b) π 1 : (x, y, z) = (1, 0, 1)+h(0, 0, 1)+t(2, 1, 3); t, h R e π 2 : 2x+y z+1 = 0 x = 4t c) π 1 : (x, y, z) = (1, 0, 1)+h(0, 0, 1)+t(2, 1, 3); t, h R e π 2 : y = 1 + 2t z = 2 h + 5t a) Observemos que n π1 = 2 n π2, assim os planos π 1 e π 2 são paralelos. Além ; t disso, temos d 1 = 2d 2. Portanto, podemos concluir que π 1 e π 2 são coincidentes. b) Consideremos os vetores n π1 = (2, 1, 3) (0, 0, 1) = (1, 2, 0) e n π2 = (2, 1, 1). Como estes vetores não são paralelos, temos que os planos π 1 e π 2 são concorrentes. c) Consideremos os vetores n π1 = (1, 2, 0) e n π1 = ( 2, 4, 0). Observemos que n π1 = 2 n π2, daí os planos π 1 e π 2 são paralelos. No entanto, P (1, 0, 1) pertence ao plano π 1 e não pertence ao plano π 2. Consequentemente, π 1 e π 2 são estritamente paralelos. Podemos determinar o ponto de intersecção de uma reta com um plano. Observe o exemplo a seguir: Exemplo Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π, 80

79 em que r : x = y = 1 + 2t 5 + 3t e π : 2x y + 3z 4 = 0 z = 4 2t Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z) = ( 1 + 2t, 5 + 3t, 3 t). Se um deles é comum ao plano π, suas coordenadas verificam a equação de π: 2( 1 + 2t) (5 + 3t) + 3(3 t) 4 = 0 e daí resulta t = 1. Substituindo este valor nas equações de r obtém-se: x = 1 + 2( 1) = 3, y = 5 + 3( 1) = 2, z = 3 ( 1) = 4 Logo, a intersecção de r e π é o ponto ( 3, 2, 4). Observe agora, um exemplo em que estamos interessados em determinar a intersecção de dois planos. Exemplo Sejam os planos não-paralelos π 1 : 5x y + z 5 = 0 e π 2 : x + y + 2z 7 = 0 A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Para tanto, dentre os vários procedimentos, apresentaremos dois. A. Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto (x, y, z) r devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, os pontos de r constituem a solução do sistema: 5x y + z 5 = 0 r : x + y + 2z 7 = 0 (5.3) 81

80 O sistema tem infinitas soluções (são os infinitos pontos de r) e, em termos y = 3x 1 de x, sua solução é r : que são equações reduzidas de r. z = 2x + 4 B. Outra maneira de obter equações de r é determinar um de seus pontos e um vetor diretor. Seja determinar o ponto A r que tem abscissa zero. Então fazendo x = 0 nas equações do sistema 5.3 resulta o sistema y + z 5 = 0 y + 2z 7 = 0 cuja solução é y = 1 e z = 4. Logo, A(0, 1, 4). Como um vetor diretor v de r é simultaneamente ortogonal a n 1 = (5, 1, 1) e n 2 = (1, 1, 2), normais aos planos π 1 e π 2, respectivamente (figura??), o vetor v pode ser dado por v = n1 n 2 = i j k = ( 3, 9, 6) ou também 1 ( 3, 9, 6) = (1, 3, 2). 3 Escrevendo equações paramétricas de r, temos: x = t r : y = 1 + 3t z = 4 2t 82

81 Atividade 1) Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos π 1 : 2x y 3z + 5 = 0 e π 2 : x + y z 3 = 0. 2) Determine a e b, de modo que os planos π 1 : ax + by + 4z 1 = 0 e π 2 : 3x 5y 2z + 5 = 0 sejam paralelos. 5.4 Ângulo entre Reta e Plano Seja uma reta r com a direção do vetor v e um plano π, sendo n um vetor normal a π. O ângulo ϕ da reta r com o plano π é o complemento do ângulo θ que a reta r forma com uma reta normal no plano. 83

82 Tendo em vista que θ + ϕ = π e, portanto, cos θ = sen ϕ, e com isso, temos 2 sen ϕ = v n v n, 0 ϕ π 2 Exemplo Determinar o ângulo que a reta r : x = y = 1 2t t forma com o plano π : x + y 5 = 0. z = 3 + t A reta r tem a direção do vetor v = ( 2, 1, 1) e n = (1, 1, 0) é um vetor normal ao plano π. Assim, tem-se: sen ϕ = v n v n = ( 2, 1, 1) (1, 1, 0) ( 2)2 + ( 1) = = = Ângulo entre Dois Planos Sejam os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. Então, n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) são vetores normais a π 1 e π 2, respectivamente. Chama-se ângulo de dois planos π 1 e π 2 o menor ângulo que um vetor normal de π 1 forma com um vetor normal de π 2. Sendo θ este ângulo, tem-se: cos θ = n 1 n 2 n 1 n 2, com 0 θ π 2 (5.4) 84

83 ou, em coordenadas: cos θ = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 a b c 2 1 a b c 2 2 Como cos θ 0 quando 0 θ π, o numerador de 5.4 deve ser positivo, 2 razão pela qual tomou-se o produto escalar em módulo, pois que este poderá ser negativo quando o ângulo entre os vetores for o suplementar de θ. Exemplo Determine o ângulo entre os planos π 1 : 2x + y z + 3 = 0 e π 2 : x + y 4 = 0 Sendo n 1 = (2, 1, 1) e n 2 = (1, 1, 0) vetores normais a π 1 e π 2, de acordo com 5.4 tem-se cos θ = Logo, θ = arc cos( (2, 1, 1) (1, 1, 0) ( 1) ) = π = = 3 = = 2 Como verificar, a partir de suas equações, se dois planos são perpendiculares? Consideremos os planos π 1 e π 2, e sejam n 1 e n 2 vetores normais a π 1 e π 2, respectivamente. Logo π 1 π 2 n 1 n 2 n 1 n 2 = 0 Exemplo Verificar se π 1 : 3x + y 4z + 2 = 0 e π 2 : 2x + 6y + 3z = 0 são planos perpendiculares. Sendo n 1 = (3, 1, 4) e n 2 = (2, 6, 3) vetores normais a π 1 e π 2, respectivamente, e como n1 n 2 = 3(2) + 1(6) 4(3) = 0 85

84 conclui-se que π 1 e π 2 são perpendiculares. Atividades 1) Determine o ângulo entre os planos π 1 : x + 2y + z 10 = 0 e π 2 : 2x + y z + 1 = 0. 2) Determine o valor de m de modo que os planos π 1 : 2mx + 2y z = 0 e π 2 : 3x my + 2z 1 = 0 sejam perpendiculares. 5.6 Distância de Ponto a Plano Sejam um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e um plano π : ax + by + cz + d = 0. Sejam A o pé da perpendicular conduzida por P 0 sobre o plano π e P (x, y, z) um ponto qualquer desse plano. O vetor n (a, b, c) é normal ao plano π e, por conseguinte, o vetor AP 0 tem a mesma direção de n. A distância d do ponto P 0 ao plano π é: d(p 0, π) = AP 0 86

85 Observando que o vetor AP 0 é a projeção do vetor P P 0 na direção de n, de acordo com o dispositivo em 3.5, vem: d(p 0, π) = AP 0 = n P P 0 n mas e logo P P 0 = (x 0 x, y 0 y, z 0 z) n n = (a, b, c) a 2 + b 2 + c 2 d(p 0, π) = (x (a, b, c) 0 x, y 0 y, z 0 z) a2 + b 2 + c 2 d(p 0, π) = a(x 0 x) + b(y 0 y) + c(z 0 z) a2 + b 2 + c 2 d(p 0, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 ax by cz a2 + b 2 + c 2 Em virtude de P pertencer ao plano π: ax by cz = d e, portanto d(p 0, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a2 + b 2 + c 2 (5.5) 87

86 Examinando esta fórmula, vê-se que o numerador é o módulo do número que se obtém substituindo x, y e z no primeiro membro da equação geral do plano pela coordenadas do ponto P 0, e o denominador é o módulo do vetor normal ao plano. Observação Se o ponto considerado for a origem O(0, 0, 0) do sistema, tem-se: d(o, π) = d a2 + b 2 + c 2 Exemplo Calcule a distância do ponto P 0 ( 4, 2, 5) ao plano π : 2x + y + 2z + 8 = 0. No caso presente tem-se: I) coordenadas do ponto P 0 : x 0 = 4, y 0 = 2 e z 0 = 5 II) componentes do vetor normal n : a = 2, b = 1 e c = 2 Substituindo esse valores em 5.5, vem: d(p 0, π) = 2( 4) + 1(2) + 2(5) = = 12 3 = 4 u.c. Como caso particular da distância entre ponto e plano, podemos calcular a distância entre dois planos.essa distância só estará definida quando os planos forem paralelos. Dados dois planos π 1 e π 2, paralelos, a distância d entre eles é a distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro: d(π 1, π 2 ) = d(p 0, π 2 ) com P 0 π 1 ou d(π 1, π 2 ) = d(p 0, π 1 ) com P 0 π 2 88

87 Como se vê, a distância entre dois planos paralelos se reduz ao cálculo da distância de um ponto a um plano. Exemplo Calcule a distância entre os planos π 1 : 2x 2y + z 5 = 0 e π 2 : 4x 4y + 2z + 14 = 0 Um ponto de π 1 é P 0 (0, 0, 5) e um vetor normal a π 2 é n = (4, 4, 2). Portanto, de acordo com 5.5, vem: d(π 1, π 2 ) = d(p 0, π 2 ) = 4(0) 4(0) + 2(5) ( 4) = = 24 6 u.c. Atividades 1) Calcule a distância do ponto P (2, 3, 5) ao plano π : 3x + 2y + 6z 2 = 0. 2) Calcule a distância entre os planos paralelos π 1 : x 2z + 1 = 0 e π 2 : 3x 6z 8 = 0. x = 3 3) Determine a distância da reta r : y = 4 ao plano π : x + y 12 = 0. 4) Dado o tetraedro de vértices A(1, 2, 1), B(2, 1, 1), C(0, 1, 1) e D(3, 1, 0), calcule a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face ABC. 89

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89 capítulo 6 Mudança de Coordenadas Objetivos Reconhecer coordenadas polares, cilíndricas e esféricas; Efetuar mudança de coordenadas; Determinar rotações e translações no plano. 91

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91 6.1 Coordenadas Polares Até aqui, localizamos um ponto no plano por suas coordenadas cartesianas retangulares, em que um ponto do plano é localizado em relação a duas retas fixas perpendiculares entre si. Há outros sistemas de coordenadas que dão origem a posição de um ponto em um plano. O sistema de coordenadas polares é um deles, em que um ponto do plano é localizado em relação a um ponto e a uma reta que passa por esse ponto. No sistema polar, as coordenadas consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo relativo a um ponto fixo e a um semieixo fixo. Escolhemos um ponto O (usualmente a origem do sistema cartesiano), chamado pólo e uma reta orientada passando pelo polo chamada eixo polar (usualmente tomamos o próprio eixo x do sistema cartesiano). Seja P um ponto qualquer no plano, distinto de O. No sistema de coordenadas polares, um ponto no plano é localizado dando-se a distância do ponto ao polo, r = dist(p, O) e o ângulo, θ, entre os vetores OP e um vetor na direção e sentido do eixo polar, com a mesma direção e sentido do eixo polar, com a mesma convenção da trigonometria, ou seja, ele é positivo se medido no sentido anti-horário, a partir do eixo polar e negativo se medido no sentido horário a partir do eixo polar. As 93

92 coordenadas polares de um ponto P do plano são escritas na forma (r, θ). Segue facilmente as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares. Suponha que o polo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares coincidem com a origem e o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas, respectivamente. Então, a transformação entre os sistemas de coordenadas polares e o de coordenadas cartesianas pode ser realizada pelas equações x = r cos θ e y = r sen θ cos θ = r = x 2 + y 2 x x2 + y 2 e sen θ = y x2 + y 2, se x 2 + y 2 0. Estendemos as coordenadas polares para o caso no qual r é negativo da seguinte forma: (r, θ) = ( r, θ + π), para r < 0. Assim, (r, θ) e ( r, θ) estão na mesma reta que passa pelo pólo, à distância r do pólo, mas em lados opostos em relação ao pólo. Exemplo Encontre as coordenadas cartesianas retangulares para o ponto cujas coordenadas polares são ( 6, 7π/4). x = r cos θ = 6 cos 7π 4 = = 3 2 y = r sen θ = 6 sen 7π 4 = = 3 2 Assim, o ponto é ( 3 2, 3 2). Exemplo Escreva a equação x 2 + y 2 4x = 0 em coordenadas polares. Substituindo x = r cos θ e y = r sen θ temos: r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ 4rcos θ = 0 = r 2 4rcos θ = 0 = r(r 4cos θ) = 0. 94

93 Logo, r = 0 ou r(r 4cos θ) = 0. O gráfico de r = 0 é a origem, contudo, ela é um ponto do gráfico de r(r 4cos θ) = 0 pois r = 0 quando θ = π/2. Logo, a equação polar do gráfico é r = 4co θ. O gráfico de x 2 + y 2 4x = 0 é uma circunferência, podendo ser escrita como (x 2) 2 + y 2 = 4 que é a equação de uma circunferência com centro em (2, 0) e raio 2. Atividades 1) Encontre coordenadas cartesianas retangulares para o ponto cujas coordenadas polares são ( 1, π 3 ). 2) Escreva a equação x 2 + y 2 4x 2y 4 = 0 = 0 em coordenadas polares. 6.2 Coordenadas Cilíndricas Vamos definir um outro sistema de coordenadas, chamado de sistema de coordenadas cilíndricas, em que um ponto do espaço é localizado em relação a duas retas (usualmente, o eixo z e o eixo x do sistema cartesiano) e um ponto (usualmente a origem O do sistema cartesiano). No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é localizado da seguinte forma: passa-se por P uma reta paralela ao eixo z. Seja P o ponto em que esta reta intercepta o plano xy. Sejam (r, θ) as coordenadas polares de P no plano xy. As coordenadas cilíndricas do ponto P são as coordenadas polares de P juntamente com a terceira coordenada retangular, z, de P e são 95

94 escritas na forma (r, θ, z). Segue facilmente as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas. Suponha que o polo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares no plano xy coincidem com a origem e o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas no plano xy, respectivamente. Então, a transformação entre os sistemas de coordenadas cilíndricas e o de coordenadas cartesianas pode ser realizada pelas equações cos θ = x = r cos θ, y = r sen θ e z = z r = x 2 + y 2, x x2 + y 2 e sen θ = y x2 + y 2, se x 2 + y 2 0. Exemplo Ache uma equação em coordenadas cilíndricas para x 2 + y 2 = z. Basta substituir x = r cos θ e y = r sen θ, fazendo r 2 = x 2 + y 2 obtemos: r 2 = z. 96

95 Ache uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é r = sen θ. Multiplicando-se ambos os membros da equação por r obtemos r 2 = r sen θ. Como r 2 = x 2 + y 2 e r sen θ = y, então obtemos x 2 + y 2 = y, que é a equação de um cilindro gerado pela circunferência no plano xy de equação em coordenadas polares r = sen θ, ou seja, uma circunferência com raio α/2 e centro no ponto cujas coordenadas cartesianas são (0, α/2). Atividade 1) Determine uma equação em coordenadas cilíndricas para 3x 2y + 4z = Coordenadas Esféricas Vamos tratar de outro sistema de coordenadas, chamado de sistema de coordenadas esféricas em que um ponto do espaço é localizado em relação a duas retas (usualmente o eixo z e o eixo x do sistema cartesiano) e um ponto (usualmente a origem O do sistema cartesiano). No sistema de coordenadas esféricas, um ponto no espaço é localizado da seguinte forma: passa-se por P uma reta paralela ao eixo z. Seja P o ponto em que esta reta intercepta o plano xy. Seja θ a segunda coordenada polar de P no plano xy. As coordenadas esféricas do ponto P são a distância de P à origem, ρ = dist(p, O), o ângulo, ϕ, entre os vetores OP e k = (0, 0, 1) e a segunda coordenada polar de 97

96 P, θ. As coordenadas esféricas de um ponto P são escritas na forma (ρ, θ, ϕ). Segue facilmente as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas. Suponha que o pólo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares no plano xy coincidem com a origem e o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas no plano xy, respectivamente. Então, a transformação entre os sistemas de coordenadas esféricas e o de coordenadas cartesianas pode ser realizada pelas equações x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ e z = ρ cos ϕ ρ = x 2 + y 2 + z 2, tg ϕ = cos θ = x2 + y 2 z x x2 + y 2 e sen θ =, se z 0, ϕ = π, se z = 0, 2 y x2 + y 2, se x 2 + y 2 0. Se o ponto P (ρ, θ, ϕ) não for a origem, então, ρ > 0 e 0 ϕ π, em que ϕ = 0, se P estiver no lado positivo do eixo z e ϕ = π se P estiver no lado negativo do eixo z. 98

97 Exemplo Ache uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é ρ cos ϕ = 4. Como z = ρ cos ϕ, a equação torna-se z = 4. Logo, o gráfico é um plano paralelo ao plano xy e 4 unidades acima dele. Exemplo Ache uma equação em coordenadas esféricas para 3x + 2y + 6z = 0. Usando x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ e z = ρ cos ϕ temos: 3x + 2y + 6z = 0 = 3ρ sen ϕ cos θ + 2ρ sen ϕ sen θ + 6ρ cos ϕ = 0. Atividade 1) Determine uma equação em coordenadas esféricas para x 2 + y 2 = z. 6.4 Rotação e Translação Se as coordenadas de um ponto P no espaço são (x, y, z), então, as componentes do vetor OP também são (x, y, z) e, então, podemos escrever OP = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = x i + y j + z k, em que i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Ou seja, as coordenadas de um ponto P são iguais aos escalares que aparecem ao escrevermos OP como uma combinação linear dos vetores canônicos. Assim, o ponto O = (0, 0, 0) e os vetores i, j e k determinam um sistema de coordenadas ortogonal, {O, i, j, k }. Para resolver alguns problemas geométricos é 99

98 necessário usarmos um segundo sistema de coordenadas ortogonal, por exemplo, determinado por uma origem O = (2, 3/2, 3/2), U 1 = ( 3/2, 1/2, 0), U 2 = ( 1/2, 3/2, 0) e U 3 = (0, 0, 1) = k, então {O, U 1, U 2, U 3 } determina um novo sistema de coordenadas: aquele com origem no ponto O, cujos eixos x, y e z são retas que passam por O orientadas com os sentidos e direções de U 1, U 2 e U 3, respectivamente. As coordenadas de um ponto P no sistema de coordenadas {O, U 1, U 2, U 3 } são definidas como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos O P como combinação linear dos vetores U 1, U 2 e U 3, ou seja, se O P = x U 1 + y U 2 + z U 3, 100

99 então as coordenadas de P no sistema {O, U 1, U 2, U 3 } são dadas por [P ] {O,U1,U 2,U 3 } = Vamos considerar, inicialmente, o caso em que O = O. Assim, se OP = (x, y, z), então x U 1 + y U 2 + z U 3 = OP pode ser escrito como [ ] x x U 1 U 2 U 3 y = y z z [ Multiplicando-se à esquerda pela transposta da matriz Q = U 1 U 2 U 3 ], obtemos U t 1 U t 2 U t 3 [ ] U 1 U 2 U 3 x y z x y z. = U t 1 U t 2 U t 3 x y z Mas, como U 1, U 2 e U 3 são unitários e mutuamente ortogonais, então, U1 t [ ] U 1 U 1 U 1 U 2 U 1 U 3 Q t Q = U2 t U 1 U 2 U 3 = U 2 U 1 U 2 U 2 U 2 U 3 = I 3 U3 t U 3 U 1 U 3 U 2 U 3 U 3 [ ] Assim, a matriz Q = U 1 U 2 U 3 é invertível e Q 1 = Q t. Dessa forma as coordenadas de um ponto P no espaço em relação ao sistema {O, U 1, U 2, U 3 } estão bem definidas, ou seja, x, y e z estão unicamente determinados e são dados por [P ] {O,U1,U 2,U 3 } = x y z = Qt x y z = Qt [P ] {O, i, j, k }. 101

100 Também no plano temos o mesmo tipo de situação que é tratada de forma inteiramente análoga. As coordenadas de um ponto P no plano em relação a sum sistema de coordenadas {O, U 1, U 2 }, em que U 1 e U 2 são vetores unitários e ortogonais, é definido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos O P como combinação linear de U 1 e U 2, ou seja, se O P = x U 1 + y U 2, então as coordenadas de P no sistema {O, U 1, U 2 } são dadas por [P ] {O,U 1,U 2 } = x y Vamos considerar, também no plano, inicialmente o caso em que O = O. Assim, se OP = (x, y), então x U 1 + y U 2 = OP pode ser escrito como [ ] U 1 U 2 x = x y y [ Multiplicando-se à esquerda pela transposta da matriz Q = U 1 U 2 ], obtemos U t 1 U t 2 [ ] U 1 U 2 x y =. U t 1 U t 2 x y Novamente, como U 1 e U 2 são unitários e mutuamente ortogonais, então Q t Q = U 1 t [ ] U 1 U 2 = U 1U t 1 U1U t 2 = U 1 U 1 U 1 U 2 = I 2 U2 t U2U t 1 U2U t 2 U 2 U 1 U 2 U 2 Assim, a matriz Q = [ U 1 U 2 ]. é invertível e Q 1 = Q t. Desta forma as coordenadas de um ponto P no plano em relação a um sistema de coordenadas 102

101 {O, U 1, U 2 } estão bem definidas, ou seja, x e y estão unicamente determinados e são dados por [P ] {O,U1,U 2 } = x y = Q t x y = Q t [P ] {O,E1,E 2 }, em que E 1 = (1, 0) e E 2 = (0, 1). Observe que, tanto no caso do plano quanto no caso do espaço, a matriz Q satisfaz, Q 1 = Q t. Uma matriz que satisfaz esta propriedade é chamada matriz ortogonal. Exemplo Considere o sistema de coordenadas no plano em que O = O, U 1 = ( 3/2, 1/2) e U 2 = ( 1/2, 3/2). Se P = (2, 4), vamos determinar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas. Para isto temos que encontrar x e y tais que x U 1 + y U 2 = O P = OP, ou x ( 3/2, 1/2) + y ( 1/2, 3/2) = (2, 4). ( 3/2)x (1/2)y = 2 A equação acima é equivalente ao sistema linear (1/2)x + ( 3/2)y = 4 ou 3/2 1/2 x = 2 ou ainda, Q x = 2 1/2 3/2 y 4 y 4 [ ] em que Q = U 1 U 2 com U 1 e U 2 escritos como matrizes colunas. Como Q t 3/2 1/2 3/2 1/2 Q = 1/2 3/2 1/2 = I 2, 3/2 então as coordenadas de P, em relação ao novo sistema de coordenadas, são dadas por [P ] {O,U1,U 2 } = Q t 2 4 =

102 Exemplo Considere o mesmo sistema de coordenadas do exemplo anterior, mas, agora, seja P (x, y) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de P, em relação ao novo sistema de coordenadas. Para isto temos que encontrar x e y tais que x U 1 + y U 2 = O P = OP, ou x ( 3/2, 1/2) + y ( 1/2, 3/2) = (x, y). A equação acima é equivalente ao sistema linear nas variáveis x e y 3/2 1/2 x = x ou ainda, Q x = x 1/2 3/2 y y y y [ ] em que Q = U 1 U 2 com U 1 e U 2 escritos como matrizes colunas. Como Q t Q = I 2, então, as coordenadas de P, em relação ao novo sistema de coordenadas, são dadas por [P ] {O,U1,U 2 } = Q t x y = U t 1 U t 2 x y = ( 3x + y)/2 ( x + 3y)/ Rotação dos Eixos Coordenados Suponha que o novo sistema de coordenadas {O, U 1, U 2 } seja obtido do sistema original {O, E 1 = (1, 0), E 2 = (0, 1)} por uma rotação de um ângulo θ. Observando a figura abaixo, obtemos U 1 = (cos θ, sen θ) e U 2 = ( sen θ, cos θ). Seja 104

103 P = (x, y) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de P, em relação ao novo sistema de coordenadas. Para isso temos que encontrar x e y tais que x U 1 + y U 2 = OP. A equação acima é equivalente ao sistema linear (cos θ)x (sen θ)y (sen θ)x + (cos θ)y = x = y ou em que R θ = cos θ sen θ x y sen θ cos θ R θ X = P, e P = = R 1 θ P = Rt θp = x y. A solução é dada por cos θ sen θ A matriz R θ é chamada matriz de rotação. sen θ cos θ x y. 105

104 6.4.2 Translação dos Eixos Coordenados Vamos considerar, agora, o caso em que O O, ou seja, em que ocorre uma translação dos eixos coordenados. Observando a figura seguinte, obtemos Assim, se OO = (h, k), então O P = OP OO. O P = (x, y ) = (x, y) (h, k) = (x h, y k) Logo, as coordenadas de P, em relação ao novo sistema são dadas por [P ] {O,E1,E 2 } = x y = x h y k O eixo x tem equação y = 0, ou seja, y = k e o eixo y, x = 0, ou seja, x = h.. 106

105 Atividades 1) Ache (r, θ), se r > 0 e 0 θ 2π para o ponto cuja representação cartesiana é ( 3, 1). 2) Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é x 2 = 6y y 2. 3) Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície de equação x 2 + y 2 + 4z 2 = 16. 4) Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície de equação x 2 + y 2 + z 2 8x = 0. 5) Encontre o ponto P, se as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas S, P [S] são: 1 P [S] = 1, em que S = {O, (0, 1/ 2, 1/ 2), (1, 0, 0), (0, 1/ 2, 1/ 2)} 2 6) Determine qual a rotação do plano em que as coordenadas do ponto P = ( 3 3, 1) são

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107 capítulo 7 Cônicas Objetivos Reconhecer a equação de uma elipse, de uma hipérbole e de uma parábola e seus elementos; Determinar a equação de uma elipse, de uma hipérbole e de uma parábola em diferentes situações; 109

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109 7.1 Introdução Você já ouviu falar de certas curvas chamadas elipse, parábola e hipérbole? O objetivo deste capítulo é buscarmos uma compreensão dessas curvas do ponto de vista da geometria analítica. Imagine duas retas que não são perpendiculares e que se interceptam no ponto V. Se fixarmos uma das retas como eixo e fizermos uma rotação com a outra ao redor desse eixo, obtemos um sólido denominado cone circular reto com vértice V, como ilustrado abaixo. Note que o ponto V divide o cone em duas partes, chamadas folhas. Mas, você deve estar se perguntando, qual é a relação que existe entre esse tal cone circular reto e as curvas citadas? O fato é que a elipse, a hipérbole e a parábola são originadas a partir desse tal cone. Com isso, podemos definir uma secção cônica ( ou simplesmente cônica) sendo a intersecção de um plano com um cone circular reto. As três secções cônicas básicas são a parábola, a elipse e a hipérbole. 111

110 Percebeu o aspecto geométrico dessas curvas? Pois bem! Vamos conhecer um breve histórico das cônicas. Historicamente, o matemático grego, Pappus de Alexandria ( ), atribuiu ao geômetra grego, Aristeu (o Ancião) ( ) a.c., o crédito de ter publicado o primeiro tratado sobre as seções cônicas, referindo-se aos Cinco livros sobre seções cônicas de Aristeu, nos quais foi apresentado um estudo cuidadoso das curvas cônicas e as suas propriedades. Segundo Pappus, o matemático grego, Euclides de Alexandria ( ) a.c., contemporâneo de Aristeu, conhecia muito bem os cinco livros sobre as curvas cônicas e evitou aprofundar-se sobre esse assunto na sua obra, Os elementos, de modo a obrigar os leitores interessados a consultar a obra original de Aristeu. Duzentos anos mais tarde, o astrônomo e matemático grego, Apolônio de Perga ( )a.C., recompilou e aprimorou os resultados de Aristeu e de Euclides nos oito livros da sua obra Seções Cônicas. No entanto, a História indica que as cônicas foram descobertas pelo matemático grego, Menaecmus ( ) a.c. aproximadamente quando estudava como resolver os três problemas famosos da Geometria grega: a trisseção do ângulo, a duplicação do cubo e a quadratura do círculo. Segundo o historiador Proclus, Menaecmus nasceu em Alopeconnesus, na Ásia Menor (o que hoje é a Turquia), foi aluno de Eudóxio na academia de 112

111 Platão. Menaecmus foi o primeiro em mostrar que as elipses, parábolas e hipérrboles são obtidas cortando um cone com um plano não paralelo a sua base. Mesmo assim, pensava-se que os nomes dessas curvas foram inventados por Apolônio, porém traduções de antigos escritos árabes indicam a existência desses nomes em épocas anteriores a Apolônio. Gostou da história? Vamos, então, inicar nossa tarefa de compreendermos as cônicas do ponto de vista da geometria analítica. 7.2 Elipse O jardineiro, senhor Antônio, cuidava do jardim da praça com muito carinho. Certo dia, quando fazia a manutenção semanal do jardim, resolveu fazer uma curva no gramado de modo a plantar rosas na região delimitada por essa curva. O senhor Antônio construiu a curva da seguinte forma: Fincou duas estacas no terreno e amarrou nelas as extremidades de uma corda maior do que a distância entre as estacas. Assim, desenhou a curva no solo com o auxílio de um graveto apoiado na corda, mantendo-a o mais esticada possível. 113

112 Essa curva, que o senhor Antônio construiu com tanto carinho, é denominada elípse. Apresentaremos, agora, a definição precisa e formal da elipse. Definição Uma elipse, E, de focos F 1 e F 2, é o conjunto de pontos P de um plano, cuja soma das distâncias a F 1 e F 2 é igual a uma constante, que será denotada por 2a > 0, maior do que a distância entre os focos 2c, ou seja E = {P ; dist(p, F 1 ) + dist(p, F 2 ) = 2a > dist(f 1, F 2 ) = 2c} Você deve ter notado que, a definição anterior representa a elaboração matemática da curva que o senhor Antônio construiu em seu jardim. Observe que, comparando a definição dada com a curva que o senhor Antônio construiu, as estacas representam os focos da elipse. Isso sugere descrevermos os elementos notáveis de uma elipse. Terminologia: Como dissemos na definição, os pontos F 1 e F 2 são os focos da elipse. A reta que contém os focos é a reta focal, que será denotada por l; A intersecção da elipse com a reta focal l consiste de exatamente dois pontos 114

113 A 1 e A 2, chamados vértices da elipse sobre a reta focal. O segmento A 1 A 2 é denominado eixo focal da elipse. O seu comprimento é 2a. O ponto médio C do eixo focal A 1 A 2 é o centro da elipse. Esse ponto é, também, o ponto médio do segmento F 1 F 2, delimitado pelos focos. A reta l que passa pelo centro C e é perpendicular a reta focal é a reta não focal. A elipse intercepta a reta não focal l em exatamente dois pontos, B 1 e B 2, denominados vértices da elipse sobre a reta não focal. O segmento B 1 B 2 é denominado eixo não focal da elipse e seu comprimento é 2b, em que b 2 = a 2 c 2. O número a é a distância do centro aos vértices sobre a reta focal, b é a distância do centro aos vértices sobre a reta não focal e c é distância do centro aos focos. O número e = c a é chamado excentricidade da elipse. Note que 0 e < 1. Antes de prosseguirmos, o que significa, de fato, a excentricidade de uma elipse? Você tem alguma ideia? A excentricidade é uma medida que mostra o quanto os pontos da elipse estão próximos de uma circunferência ou de um segmento de reta. Fixada a medida 2a do eixo focal, tem-se que: quanto mais próximos estiverem os focos, mais próximos de uma circunferência estarão os pontos da elipse e, quanto mais distintas estiverem os focos, mais próximos de um segmento de reta estarão os pontos da elipse. 115

114 Assim, quanto mais próximo de zero estiver o número e = c, mais próximos a de uma circunferência estarão os pontos da elipse, e, quanto mais próximo de 1 estiver o número e, mais próximos de um segmento de reta estarão os pontos da elipse. Caso c = 0, a elipse se reduz a uma circunferência de centro em C e raio a, pois, nesse caso, F 1 = F 2 = C e, portanto, E = {P ; dist(p, C) = a} Em particular, e = 0, se, e somente se, a elipse é uma circunferência Equação da Elipse com Centro na Origem do Sistema Quando você se depara com a expressão equação da elipse, o que lhe vem à mente? Pense no significado dessa expressão. Com isso, vamos considerar xoy um sistema de eixos ortogonais no plano. Nosso objetivo é obter a equação da elipse em relação a esse sistema de eixos para alguns casos especiais. Proposição A elipse de focos, nos pontos F 1 = ( c, 0) e F 2 = (c, 0) e vértices em A 1 = ( a, 0), A 2 = (a, 0), B 1 = (0, b) e B 2 = (0, b), tem por equação x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Demonstração. Seja E a elipse mencionada, e P um ponto de E. Então, usando 116

115 a definição de elipse, temos: P E dist(p, F 1 ) + dist(p, F 2 ) = 2a e, agora, utilizando a distância entre dois pontos, segue que (x + c)2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a o que equivale escrever que e, após simplificar (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 logo, temos que 4xc = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 de onde concluimos que (a 2 cx) 2 = a 2 ((x c) 2 + y 2 ) b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 x2 a 2 + y2 b 2 = 1 117

116 E, então, você já tem em mente o significado da equação de uma elipse? Essa reflexão é de fundamental importância antes de prosseguir. Proposição A elipse de focos nos pontos F 1 = (0, c) e F 2 = (0, c) e vértices em A 1 = (0, a), A 2 = (0, a), B 1 = ( b, 0) e B 2 = (b, 0) tem por equação x 2 b 2 + y2 a 2 = 1 Demonstração. Análoga à anterior. Exemplo Os focos de uma elipse são os pontos (2, 0) e ( 2, 0) e sua excentricidade é igual a 2. Determinar a equação da elipse. 3 Temos que a reta focal é o eixo das abscissas, o centro da elipse é a origem C(0, 0), c = 2 e e = 2 3 = c a = a =

117 Logo, b 2 = a 2 c 2 = 9 4 = 5 Portanto a equação da elipse é x2 9 + y2 5 = 1 Exemplo Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é (0, 7). Se a elipse passa pelo ponto ( 5, 14 ), determinar 3 sua equação. A reta focal, que contém o centro e o vértice dados, é o eixo das ordenadas. A distância do centro C(0, 0) ao vértice A 2 = (0, 7) é a = 7, e o outro vértice na reta focal é A 1 (0, 7). Logo, a equação da elipse é da forma x 2 b 2 + y2 7 2 = 1 Como ( 5, 14 3 ) E, temos que Assim, a equação da elipse é 5 14 b = 1 = 5 b = = b2 = 9 x y2 49 = 1 Antes de prosseguirmos, vamos questionar o seguinte: Como obter as equações descritas anteriormente, caso as elipses não possuíssem centro na origem do sistema? Poderíamos proceder da mesma forma, porém teríamos muito mais trabalho para alcançarmos as equações desejadas. Você se lembra da translação de eixos 119

118 que estudamos anteriormente? Pois bem, faremos uso da translação de eixos para obtermos as equações de uma elipse com centro em um ponto qualquer Equação da Elipse com Centro no Ponto O (x 0, y 0 ) Usando a translação de eixos, vamos estudar agora as equações de uma elipse com centro fora da origem. Proposição A equação da elipse com centro no ponto O (x 0, y 0 ) e eixo focal paralelo ao eixo ox é (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Demonstração. Como o centro O (x 0, y 0 ) pertence à reta focal, temos que y = y 0 é a equação cartesiana da reta focal. Além disso, como dist(f 1, O ) = dist(f 2, O ) = c, em que F 1 e F 2 são os focos da elipse, temos que F 1 = (x 0 c, y 0 ) e F 2 = (x 0 + c, y 0 ). Seja um ponto P (x + x 0, y + y 0 ) pertencente à elipse, em que x e y são suas coordenadas no sistema xoy e x e y são suas coordenadas no sistema x O y, obtido transladando o sistema xoy para a origem (x 0, y 0 ). Então, P E dist(p, F 1 ) + dist(p, F 2 ) = 2a 120

119 ou seja, dist((x + x 0, y + y 0 ), (x 0 c, y 0 )) + dist((x + x 0, y + y 0 ), (x 0 + c, y 0 )) = 2a o que equivale escrever que portanto dist((x, y ), ( c, 0)) + dist((x, y ), (c, 0)) = 2a (x ) 2 a 2 + (y ) 2 b 2 = 1 (x x 0) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Proposição A equação da elipse com centro no ponto O (x 0, y 0 ) e eixo focal paralelo ao eixo oy é (x x 0 ) 2 b 2 + (y y 0) 2 a 2 = 1 121

120 Demonstração. Análoga ao caso anterior. Exemplo Determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação 4x 2 + 9y 2 8x 36y + 4 = 0 Para que a equação possa ser analisada, devemos colocá-la na forma (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primeiramente, vamos agrupar os termos de mesma variável ou (4x 2 8x) + (9y 2 36y) = 4 4(x 2 2x) + 9(y 2 4y) = 4 onde colocamos em evidência os números 4 e 9 para facilitar a construção de trinômios quadrados nestes dois parênteses. 4(x 2 2x + 1) + 9(y 2 4y + 4) = 4 + 4(1) + 9(4) 122

121 ou 4(x 1) 2 + 9(y 2) 2 = 36 Dividindo ambos os membros da equação anterior por 36 obtemos (x 1) (y 2)2 4 = 1 Agora, comparando esta última equação com a equação padrão, temos que O centro da elípse é o ponto C(1, 2). mas a 2 = 9 = a = 3 b 2 = 4 = b = 2 Logo, os vértices são dados por A 1 ( 2, 2), A 2 (4, 2), B 1 (1, 0), B 2 (1, 4) Para determinarmos os focos, precisamos do valor de c: 123

122 9 = 4 + c 2 = c = 5 Portanto, os focos são : e a excentricidade é dada por F 1 (1 5, 2), F 2 (1 + 5, 2) e = c a = 5 3. Atividades 1) Determine os vértices A 1 e A 2, os focos e a excentricidade das elipses dadas. a) x y2 81 = 1 b) x y2 100 = 1 c) x y 2 = 25 d) 9x 2 + 5y 2 45 = 0 e) 4x 2 + y 2 = 1 2) Apresente a equação da elipse que satisfaz as condições dadas: a) Centro C(0, 0), um foco F ( 3, 0) e um vértice A(1, 0) 4 124

123 b) vértices A(0, ±6) e passando por P (3, 2) c) vértices A 1 (1, 4) e A 2 (1, 8) e excentricidade e = 2. 3 d) centro C(2, 1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados. e) centro C(2, 4), um foco F (5, 4) e excentricidade e = ) Determine o centro, os focos e a excentricidade de cada elipse a seguir: a) (x 2) (y + 3)2 9 = 1 b) 25x y x + 64y 311 = 0 c) 4x 2 + 9y 2 24x + 18y + 9 = 0 d) 4x 2 + 9y 2 8x 36y + 4 = 0 e) 16x 2 + 9y 2 96x + 72y = 0 125

124 7.3 Hipérbole Definição Uma hipérbole, H,de focos F 1 e F 2, é o conjunto de pontos P de um plano tais que o módulo da diferença das distâncias a F 1 e a F 2 é igual a uma constante 2a > 0, menor do que a distância entre os focos. H = {P ; dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = 2a < dist(f 1, F 2 )} Terminologia: Os pontos F 1 e F 2 são os focos da hipérbole; A reta l que contém os focos é a reta focal. A intersecção da hipérbole com a reta focal l consiste de exatamente dois pontos A 1 e A 2, chamados de vértices da hipérbole. O segmento A 1 A 2 é denominado eixo focal da hipérbole e seu comprimento é dist(a 1 A 2 ) = 2a. O ponto médio C do eixo focal A 1 A 2 é o centro da hipérbole. Esse ponto é, também, o ponto médio do segmento F 1 F 2, delimitado pelos focos. A reta l que passa pelo centro C e é perpendicular a reta focal é a reta não 126

125 focal da hipérbole. Como l é a mediatriz do segmento F 1 F 2, a hipérbole não interce a reta não focal l, pois se P l, temos dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = 0 2a O segmento B 1 B 2 perpendicular ao eixo focal que tem C como ponto médio e comprimento 2b, em que b 2 = c 2 a 2, é denominado eixo não focal da hipérbole, e B 1 e B 2 são os vértices imaginários da hipérbole. O número e = c a é denominado a excentricidade da hipérbole. Note que e > 1, pois c > a. A excentricidade é uma medida que mostra o quanto os pontos da hipérbole se aproximam de duas retas que passam pelos seus vértices paralelamente ao eixo não focal ou o quanto esses pontos se aproximam da reta que contém o eixo focal. Quanto maior o número e = c, mais próximos de duas retas a paralelas estarão os pontos da hipérbole; quanto menor o número e = c a, mais próximos da reta que contém o eixo focal estarão os pontos da hipérbole. O retângulo de base da hipérbole H é o retângulo que tem os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2 como pontos médios de seus lados e as retas que contém as diagonais de retângulo de base da hipérbole H são as assíntotas de H. Portanto as assíntotas da hipérbole H são as retas que passam pelo centro da hípérbole e tem coeficinte angular ± b a em relação a reta focal. 127

126 Pelo teorema de Pitágoras, as diagonais do retângulo de base de H tem comprimento 2c e a distância do centro de H a qualquer vértice do retângulo de base é igual a c. Uma hipérbole é denominada equilátera, se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não focal, isto é, a = b. Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas. Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais, elas tem o mesmo centro, mesmas assíntotas e os focos de uma mesma distância do centro Equação da Hipérbole com Centro na Origem Proposição A equação da hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo das abscissas é dada por x 2 a 2 y2 b 2 = 1 Demonstração. Neste caso, temos F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0), A 1 ( a, 0), A 2 (a, 0), B 1 (0, b), B 2 (0, b) e C(0, 0). Logo, mas P (x, y) H dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = 2a dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = ±2a 128

127 Continuando o desenvolvimento de maneira análoga ao caso da elípse, e lembrando que b 2 = c 2 a 2, chegamos a P (x, y) H (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ) b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 Dividindo ambos os membros da última igualdade por a 2 b 2 temos que x 2 a 2 y2 b 2 = 1 Proposição A equação da hipérbole de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo das ordenadas é dada por y 2 a 2 x2 b 2 = 1 Demonstração. Neste caso, temos F 1 (0, c), F 2 (0, c), A 1 (0, a), A 2 (0, a), B 1 ( b, 0) e B 2 (b, 0). Procendendo como no caso anterior, obtemos a equação da hipérbole. Exemplo Considere a hipérbole 9x 2 7y 2 63 = 0. Determinar as coordenadas de seus focos e sua excentricidade. Observe que a equação dada pode ser escrita da seguinte forma 129

128 x 2 7 y2 9 = 1. Agora, a 2 = 7 = a = 7 b 2 = 9 = b = 3 e, para determinarmos os focos, precisamos do valor de c: Logo, os focos são F 1 ( 4, 0) e F 2 (4, 0). c 2 = = c = 4 A excentricidade da hipérbole é dada por e = c a =

129 Exemplo Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos ( 8, 0) e ( 8, 0). Como F 1 ( 8, 0) e F 2 ( 8, 0), temos que o centro da hipérbole é C = F 1 + F 2 = 2 (0, 0) e a reta focal é o eixo das abscissas. Sendo a hipérbole equilátera, temos que a = b. Como c = 8 e c 2 = a 2 + b 2, obtemos 8 = a 2 + a 2 = 2a 2, isto é, a 2 = 4. Logo, a = b = 2 e é a equação da hipérbole. H : x2 4 y2 4 = 1 Exemplo Mostre que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é 2. Como a = b e c 2 = a 2 + b 2 temos que c 2 = 2a 2, ou seja, c = 2a. Logo, e = c a = 2a a = 2. Exemplo Os vértices de uma hipérbole são os pontos (0, 3) e (0, 3)e, um de seus focos é o ponto (0, 5). Determine a equação da hipérbole, o comprimento do seu eixo focal e suas assíntotas. A hipérbole tem centro C(0, 0); reta focal dada por x = 0; c = 5, a = 3 e o ponto (0, 5) representa as coordenadas do outro foco. Com isso, temos que, b 2 = c 2 a 2 = 16. Então, H : y2 9 x2 16 = 1 é a equação da hipérbole, y = ± 4y 3 e 2a = 6 é o comprimento do seu eixo focal. são suas assíntotas 131

130 7.3.2 Equação da Hipérbole com Centro no Ponto O (x 0, y 0 ) Proposição A equação da hipérbole com centro no ponto (x 0, y 0 ) e reta focal paralela ao eixo das abscissas é dada por (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1 Demonstração. Como o centro O (x 0, y 0 ) pertence a reta focal, temos que l : y = y 0 é a equação cartesiana da reta focal. Além disso, como dist(f 1, O ) = dist(f 2, O ) = c onde F 1 e F 2 são os focos da elípse, temos que F 1 (x 0 c, y 0 ) e F 2 (x 0 + c, y 0 ). Seja P (x + x 0, y + y 0 ) um ponto pertencente a hipérbole, onde x = x + x 0 y = y + y 0 são suas coordenadas no sistema xoy e x e y são suas coordenadas no sistema x O y, obtido transladando o sistema xoy para a origem O (x 0, y 0 ). Então, P H dist(p, F 1 ) dist(p, F 2 ) = 2a 132

131 ou seja dist((x + x 0, y + y 0 ), (x 0 c, y 0 )) dist((x + x 0, y + y 0 ), (x 0 + c, y 0 )) = 2a que é equivalente a dist((x, y ), ( c, 0)) dist((x, y ), (c, 0)) = 2a Logo, temos (x ) 2 a 2 (y ) 2 b 2 = 1 (x x 0) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1 Proposição A equação da hipérbole com centro no ponto (x 0, y 0 ) e reta focal paralela ao eixo das ordenadas é dada por 133

132 (y y 0 ) 2 a 2 (x x 0) 2 b 2 = 1 Demonstração. Análoga ao caso anterior. Exemplo A equação x 2 2y 2 +6x+4y+9 = 0 representa uma hipérbole. Apresentar seus elementos principais. Separando os termos de mesma variável e completando os quadrados, obtemos: (y 1) 2 (x + 3)2 2 = 1 Logo, a equação representa uma hipérbole com: a = 1, b = 2 e c = a 2 + b 2 = = 3. centro: C( 3, 1). reta focal: l : x = 3 paralela ao eixo das ordenadas. reta não focal: l : y = 1 paralela ao eixo das abscissas. vértices: A 1 ( 3, 0) e A 2 ( 3, 2). vétices imaginários ( na reta não focal): B 1 ( 3 2, 1) e B 2 ( 3 + 2, 1) focos: F 1 ( 3, 1 3, ) e F 2 ( 3, 1 + 3). assíntotas: (x + 3) = ± 2(y 1), ou seja, x + 2y = e x 2y =

133 Exemplo Mostre que as assíntotas de uma hipérbole não se intersectam. Podemos supor, sem perda de generalidade ( escolhendo o sistema de coordenadas de maneira adequada), que a hipérbole é dada pela equação ou seja, H : b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2. H : x2 a 2 y2 b 2 = 1 Como r + : bx ay = 0 e r : bx + ay = 0 são as assíntotas da hipérbole e H : (bx ay)(bx + ay) = a 2 b 2, temos que r + H = e r H =, pois (bx ay)(bx + ay) = 0 a 2 b 2 se (x, y) r + r. Atividades 1) As equações a seguir representam hipérboles. Para cada uma delas, determine os vértices, os focos e a excentricidade. a) x2 100 y2 64 = 1 b) y2 100 x2 64 = 1 c) 9x 2 16y 2 = 144 d) x 2 2y 2 8 = 0 135

134 e) x 2 4y 2 18x 16y 43 = 0 2) Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas: a) focos F (±5, 0), vértices A(±3, 0). b) vértices em (5, 2) e (3, 2), um foco em (7, 2). c) focos em (3, 4) e (3, 2), excentricidade e = 2. d) centro C( 2, 1), eixo focal paralelo ao eixo das abscissas, passando por (0, 2) e ( 5, 6) e) vértices A(±3, 0), equações das assíntotas y = ±2x. 136

135 7.4 Parábola Com uma mangueira de água, dirija o jato obliquamente para cima e observe a trajetória percorrida pela água. Essa trajetória é parte de uma curva denominada parábola. Pense outras situações reais que você acredita ser uma parábola e depois compare suas situações com a definição formal dessa curva que é dada se seguir. Definição Seja L uma reta no plano e F um ponto no plano não pertencente a L. A parábola P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano que são equidistantes do ponto F e da reta L, ou seja P = {P ; dist(p, F ) = dist(p, L)} Terminologia Como apresentamos na definição, o ponto F é o foco e a reta L é chamada diretriz da parábola. A reta l que contém o foco e é perpendicular à diretriz L é chamada reta focal da parábola. O vértice da parábola é o ponto V da reta focal que equidista de F e de L. Se A é o ponto em que L intersecta l, então, V é o ponto médio do segmento AF, ou seja, V = A + F 2 137

136 O número dist(p, L) = 2p é o parâmetro da parábola. Note que dist(v, F ) = dist(v, L) = p Equação da Parábola com Vértice na Origem Vamos estabelecer as equações da parábola em relação a um sistema de coordenadas xoy no plano. Consideremos, primeiro, os casos em que o vértice da parábola é a origem, e a reta focal é um dos eixos coordenados, e, depois, os casos em que o vértice é um ponto qualquer, e a reta focal é paralela a um dos eixos coordenados. Proposição A equação da parábola com vértice na origem, reta focal coincidente com o eixo das abscissas e foco à direita da diretriz é dada por y 2 = 4px Demonstração. Como o vértice da parábola P é V (0, 0), temos que o foco é F (p, 0) e a diretriz é L : x = p onde 2p = dist(f, L). Logo, 138

137 Da última igualdade segue que P (x, y) P dist(p, F ) = dist(p, L) (x p)2 + y 2 = x + p que é o mesmo que escrever e com isso temos (x p) 2 + y 2 = (x + p) 2 y 2 = 4px Proposição A equação da parábola com vértice na origem, reta focal coincidente com o eixo das abscissas e foco à esquerda da diretriz é dada por y 2 = 4px Demonstração. Neste caso, temos F ( p, 0) e L : x = p, em que 2p = dist(f, L). Então, Da última igualdade segue que P (x, y) P dist(p, F ) = dist(p, L) 139

138 (x + p)2 + y 2 = x p que é o mesmo que escrever e com isso temos (x + p) 2 + y 2 = (x p) 2 y 2 = 4px Proposição A equação da parábola com vértice na origem, reta focal coincidente com o eixo das ordenadas e foco acima da reta diretriz é dada por x 2 = 4py Demonstração. Neste caso, F (0, p) e L : y = p, onde dist(f, L) = 2p. Logo, 140

139 P (x, y) P dist(p, F ) = dist(p, L) x 2 + (y p) 2 x 2 = 4py Proposição A equação da parábola com vértice na origem, reta focal coincidente com o eixo das ordenadas e foco abaixo da diretriz é dada por x 2 = 4py Demonstração. Neste caso, F (0, p) e L : y = p, onde dist(f, L) = 2p. Logo, P (x, y) P dist(p, F ) = dist(p, L) x 2 + (y + p) 2 x 2 = 4py Exemplo Determinar os elementos principais da parábola x 2 8y = 0. Como x 2 = 8y, a equação representa uma parábola com vértice: V (0, 0); reta focal: eixo Oy: x = 0; parâmetro: p = 2; foco: F (0, 2); acima da diretriz; diretriz: y =

140 Exemplo Considere uma parábola P com vértice na origem, cuja reta focal é o eixo Oy e que passa pelo ponto (4, 2). Determine sua equação, o foco F e a equação de sua diretriz L. A parábola tem equação x 2 = ±4py, com p = dist(v, P ) > 0. Como (4, 2) P, temos que P : x 2 = 4py e 16 = 8p. Logo, p = 2; F (0, 2), L : y = 2 e a equação da parábola é P : x 2 = 8y Parábola com Vértice no Ponto V (x 0, y 0 ) Proposição A equação da parábola com vértice no ponto V (x 0, y 0 ), reta focal paralela ao eixo das abscissas e foco a direita da diretriz é dada por (y y 0 ) 2 = 4p(x x 0 ) Demonstração. Sabemos que a equação da parábola no sistema de coordenadas x O y é dada por (y ) 2 = 4px. Além disso, nesse sistema de coordenadas, o foco é F (p, 0), o vértice V (0, 0), a diretriz é L : x = p e a reta focal é l : y = 0. Como x = x + x 0 e y = y + y 0, temos que a equação da parábola no sistema xoy é (y y 0 ) 2 = 4p(x x 0 ). Proposição A equação da parábola com vértice na origem, reta focal paralela ao eixo das abscissas e foco a esquerda da diretriz é dada por 142

141 (y y 0 ) 2 = 4p(x x 0 ) Demonstração. Análoga ao caso anterior. Como nos casos anteriores, considerando um sistema de eixos ortogonais x O y com origem O = V (x 0, y 0 ) e eixos O x e O y paralelos e de igual sentido aos eixos Ox e Oy, respectivamente, obtemos as equações e os elemntos das parábolas com vértice V (x 0, y 0 ) e reta focal paralela ao eixo das ordenadas. Proposição A equação da parábola com vértice V (x 0, y 0 ), reta focal paralela ao eixo das ordenadas e foco acima da diretriz é dada por (x x 0 ) 2 = 4p(y y 0 ) Demonstração. Basta considerar F (x 0, y 0 + p), diretriz L : y = y 0 p e usar a definição de parábola. 143

142 Proposição A equação da parábola com vértice no ponto V (x 0, y 0 ), reta focal paralela ao eixo das ordenadas e foco abaixo da diretriz é dada por (x x 0 ) 2 = 4p(y y 0 ) Demonstração. Basta considerar F (x 0, y 0 p), diretriz L : y = y 0 + p e usar a definição de parábola. Exemplo Considere a parábola 2y 2 + 5x + 8y 7 = 0. Determine seus elementos principais. A equação dada pode ser escrita da seguinte forma Após completar o quadrado, obtemos 2(y 2 + 4y) = 5x + 7 logo 2(y + 2) 2 = 5x + 15 representa uma parábola com: vértice: V (3, 2); reta focal: l = y = 2; parâmetro: 2p = 10 8, então, p = 5 8 ; (y + 2) 2 = 5 (x 3) 2 144

143 foco: (3 5, 2) = (19, 2) à esquerda da diretriz; 8 8 diretriz: L : x = = 29 8 Exemplo Determine a equação da parábola P de vértice V (3, 4) e foco F (3, 2). Determine, também, a equação de sua diretriz. Como V (3, 4) e F (3, 2), a reta focal é l : x = 3 e, nessa reta, F está abaixo de V e, portanto, abaixo da diretriz L. Logo, a equação da parábola é da forma P : (x 3) 2 = 4p(y 4) Temos que p = dist(v, F ) = dist((3, 4), (3, 2)) = 2. Logo a diretriz é L : y = 6 e é a equação da parábola. P : (x 3) 2 = 8(y 4) Atividades 1) Determine os elementos principais de cada parábola a seguir: a) x 2 = 12y b) y 2 = 100x c) x 2 + 4x + 8y + 12 = 0 d) y 2 + 4y + 16x 44 = 0 e) y 2 + 2y 16x 31 = 0 145

144 2) Estabeleça a equação de cada uma das parábolas sabendo que: a) vértice: V (0, 0) e diretriz y = 2 b) foco: F (2, 0) e diretriz x + 2 = 0 c) vértice: V ( 4, 3) e foco F ( 4, 1) d) foco F (6, 4) e diretriz y = 2 e) foco F (3, 1) e diretriz x =

145 capítulo 8 Superfícies Quádricas Objetivo Reconhecer superfícies quádricas, superfícies cônicas e superfícies cilíndricas. 147

146

147 8.1 Introdução Pelo nome genérico de quádrica, vamos designar algumas superfícies do espaço que podem ser consideradas, por assim dizer, a versão tridimensional das cônicas. Veremos, no decorrer de nossa conversa, que tais superfícies podem ser encontradas no mundo a nossa volta. Definição Uma quádrica é uma superfície cuja equação cartesiana é uma equação de segundo grau, nas variáveis x, y e z, isto é, uma equação da forma ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q = 0 em que pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f, é diferente de zero. Observemos que, se a superfície quádrica, dada na definição anterior, for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de intersecção será uma cônica. A intersecção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano. Por exemplo, o traço da superfície da definição no plano z = 0 é a cônica ax 2 + by 2 + 2dxy + mx + ny + q = 0 contida no plano z = 0, isto é, no plano xoy. Estaremos interessados em estudar alguns casos particulares que a equação dada na definição acima assume, por meio de translação e rotação. 149

148 8.2 Elipsoide Definição O elipsoide é a superfície representada pela equação x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 em que todos os coeficientes dos termos do primeiro membro dessa equação são positivos, sendo que a, b e c representam as medidas dos semieixos do elipsoide. Embora a terra seja usualmente modelada por uma esfera, um modelo mais preciso é o elipsoide, pois a rotação da terra causa um achatamento nos polos. O traço no plano xoy é a elipse x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 e os traços nos planos xoz e yoz são as elípses x 2 a 2 + z2 c 2 = 1 e y 2 b 2 + z2 c 2 = 1 150

149 respectivamente. Se pelo menos dois dos valores a, b e c são iguais, o elipsoide é de revolução. Por exemplo, se a = c, o elipsoide é obtido girando a elipse y 2 b 2 + z2 c 2 = 1 do plano yoz em torno do eixo das ordenadas. O traço no plano xoz é a circunferência No caso de a = b = c a equação x z2 4 = 1 toma a forma x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e representa uma superfície esférica de centro C(0, 0, 0) e raio a. Se o centro do elipsoide é o ponto C(x 0, y 0, z 0 ) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, sua equação assumirá a forma (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 + (z z 0) 2 c 2 = 1 obtida através de uma translação de eixos. De maneira análoga, a superfície esférica de centro C(x 0, y 0, z 0 ) e raio a tem equação 151

150 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = a Hiperboloide de uma Folha Definição A equação x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 representa um hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z. As outras formas e x 2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 representam hiperbolóides de uma folha ao longo dos eixos das ordenadas e das abscissas, respectivamente. Você sabia que torres de resfriamento para reatores nucleares são usualmente projetadas na forma de hiperboloides de uma folha, por razões de estabilidade estrutural? 152

151 O traço no plano xoy da equação é a elípse x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 e os traços nos planos xoz e yoz são as hipérboles e x 2 a 2 z2 c 2 = 1 respectivamente. y 2 b 2 z2 c 2 = 1 Um traço no plano z = k é uma elípse que aumenta de tamanho a medida que o plano se afasta do plano xoy. Os traços nos planos x = k e y = k são hipérboles. Se na equação x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 tivermos a = b, o hiperboloide é de revolução, gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo não focal, no caso, o eixo z. 153

152 8.4 Hiperboloide de Duas Folhas Definição A equação x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 representa um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo das ordenadas. As equações e x 2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1 x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 representam hiperboloides de duas folhas ao longo do eixo das abscissas e do eixo Oz, respectivamente. Os traços da superfície x a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 nos planos xoy e yoz são, respectivamente, as hipérboles 154

153 y 2 b 2 x2 a 2 = 1 y 2 b 2 z2 c 2 = 1 O plano xoy não intercepta a superfície, nem qualquer plano y = k, onde k < b. Se x > b, o traço no plano y = k é a elípse x 2 a 2 + z2 c 2 = k2 b 2 1 Os traços nos planos x = k e z = k são hipérboles. Se na equação x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 tivermos a = c, o hiperboloide é denominado de revolução, gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo focal. O traço no plano y = k, x > b, é a circunferência ou x2 a 2 + k2 b 2 z2 a 2 = 1 x 2 a 2 + z2 a 2 = k2 b

154 8.5 Paraboloide Elíptico Definição A equação x 2 a 2 + y2 b 2 = cz representa um paraboloide elíptico ao longo do eixo z. As equações e x 2 a 2 + z2 c 2 = bz y 2 b 2 + z2 c 2 = az representam paraboloides elípticos ao longo dos eixos das ordenadas e abscissas, respectivamente. Os chamados paraboloides circulares, que são obtidos pela rotação de uma parábola em torno de seu eixo, são usados para coletar e refletir luz, som e sinais de rádio e televisão. Em um radiotelescópio, por exemplo, sinais das estrelas distantes que atingem a bacia são refletidos para o receptor no foco e assim amplificados. O mesmo princípio se aplica a microfones e antenas de satélite na forma de paraboloides. 156

155 Agora, se tomarmos a superfície de equação x 2 a 2 + y2 b 2 = cz seu traço, no plano xoy, é a origem (0, 0, 0), e os traços, nos planos xoz e yoz são as parábolas respectivamente. x 2 a 2 = cz, y 2 b 2 = cz Caso c > 0, a superfície situa-se inteiramente acima do plano xoy e, para c < 0, a superfície situa-se inteiramente abaixo desse plano. Assim, o sinal de c coincide com o de z, pois, caso contrário, não haveria tal superfície. Um traço no plano z = k, k > 0 é uma elipse que aumenta de tamanho à medida que o plano se afasta do plano xoy. Os traços nos planos x = k e y = k são parábolas. Se na equação x 2 a 2 + y2 b 2 = cz tivermos a = b, o paraboloide é dito de revolução e pode ser gerado pela rotação da parábola y 2 b 2 = cz em torno do eixo z. Nesse caso, o traço no plano z = k é uma circunferência. 157

156 8.6 Paraboloide Hiperbólico Definição A equação y 2 b 2 x2 a 2 = cz representa um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z e as equações z 2 c 2 x2 a 2 = by z 2 c 2 y2 b 2 = ax representam paraboloides hiperbólicos situados ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. O traço da superfície no plano xoy é o par de retas y 2 b 2 x2 a 2 = cz y 2 b 2 x2 a 2 = 0 e os traços, nos planos xoz e yoz, são as parábolas 158

157 x2 a 2 = cz y 2 b 2 = cz que têm o eixo z como eixo de simetria e concavidade para baixo e para cima, respectivamente. O traço no plano z = k é uma hipérbole cujo eixo focal é paralelo ao eixo das ordenadas caso k seja positivo e paralelo ao eixo das abscissas caso k seja negativo. Os traços nos planos x = k e y + k são parábolas. 8.7 Superfície Cônica A expressão superfície cônica nos lembra algo familiar. A ideia de superfície cônica é uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano desta curva. Vamos traduzir isso para uma linguagem mais adequada. Definição Seja γ uma curva contida num plano π do espaço e V um ponto não pertencente a π. A superfície cônica S de diretriz γ e vértice V é a superfície gerada por todas as retas que passam por V e por algum ponto de γ, ou seja S = {V + t V P ; P γ, t R} As retas S = {V + t V P ; t R} com P γ são as geratrizes da superfície cônica. Geometricamente a definição anterior pode ser ilustrada da forma a seguir: Consideremos o caso particular da superfície cônica cuja diretriz é uma elipse 159

158 ( ou circunferência) com o vértice na origem do sistema e com seu eixo sendo um dos eixos coordenados. Nestas condições, a superfície cônica cujo eixo é o eixo z tem equação x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 O traço no plano xoy é o ponto (0, 0, 0). O traço no plano yoz tem equações y 2 b 2 z2 c 2 = 0 de onde obtemos duas retas que passam pela origem e y = b a z y = b a z O traço no plano xoz, de forma análoga, é constituido por duas retas que passam pela origem. Os traços nos planos z = k são elipses e se a = b são circunfrências. Nesse caso, temos a superfície cônica circular reta. Os traços nos planos x = k e y = k são hipérboles. As superfícies cônicas cujos eixos são os eixos das abscissas e das ordenadas, tem equações 160

159 e x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 0 respectivamente. x 2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = Superfície Cilíndrica Informalmente, uma superfície cilíndrica é uma superfície gerada por uma reta que se move paralelamente a uma outra reta fixa em contato permanente com uma curva plana. De uma forma mais precisa, temos: Definição Seja γ uma curva contida num plano π do espaço e v um vetor não nulo e não paralelo ao plano π. A superfície cilíndrica S de diretriz γ e geratrizes paralelas ao vetor v é o conjunto S = {P + t v ; P γ, t R} Iremos considerar apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se encontra em um dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo coordenado não contido no plano. Neste caso a equação da superfície cilíndrica é a mesma de sua diretriz. Exemplo Se a equação da diretriz for x 2 = 2y, a equação da superfície cilíndrica também será x 2 = 2y. Conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilíndrica é chamada de circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica. 161

160 Agora, note que, em geral, o gráfico de uma equação que não contém uma determinada variável corresponde a uma superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao eixo ausente e cuja diretriz é o gráfico da equação dada no plano correspondente. Exemplo A equação x z2 9 = 1 representa uma superfície cilíndrica com geratrizes paralelas ao eixo das ordenadas, sendo a diretriz uma elipse no plano xoz. Atividades 1) Identifique as quádricas representadas pelas equações: a) x 2 + y 2 + z 2 = 25 b) 2x 2 + 4y 2 + z 2 16 = 0 c) x 2 4y 2 + 2z 2 = 8 d) z 2 = x 2 + y 2 e) x 2 + y 2 = 9 162

161 Para Final de Conversa... Que bom que você chegou ao final desta disciplina. Essa chegada é fruto de sua vontade, dedicação e persistência. Sabemos que não foi fácil essa caminhada. Certamente, ao cursar esta disciplina, você revisou vários conteudos e adquiriu novos conhecimentos, que serão indispensáveis para você continuar seus estudos em Matemática, além de proporcionar a você mais autoconfiança em sua vida profissional. Desejamos-lhe muito sucesso em seus estudos. Estamos felizes por termos feito parte dessa etapa de sua vida. Os Autores. 163

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163 Referências WINTERLE,P.; STEINBRUCH, A. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, BOULOS,P.; CAMARGO, I. Introdução a Geometria Analítica no Espaço. São Paulo: Makron Books, LIMA, E. L. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: Projeto Euclides, VENTURI, J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. Editora Unificado, Curitiba, VENTURI, J. Cônicas e Quádricas. Editora Unificado, Curitiba,