Geometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza

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1 Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza

2 Vetor Definido por dois pontos Seja o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade no ponto B(x 2, y 2 ). Qual é a expressão algébrica que representa AB?

3 Vetor Definido por dois pontos OA + AB = OB AB =(x 2 x 1, y 2 y 1 ) Tarefa: obter expressão algébrica para BA. Exemplo: Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar o ponto D de modo que CD = 1 2 AB.

4 Ponto Médio Seja o segmento de extremos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), Sendo M(x,y) o ponto médio de AB, podemos expressar que AM = MB ou (x x 1, y y 1 ) = (x 2, x, y 2 y), ou seja M( x 1+x 2 2, y 1+y 2 ) 2 Exemplo: o ponto médio do segmento de extremos A(-2,3) e B(6,2) é?

5 Paralelismos de Vetores Vimos que se dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) são paralelos, existe um número real α tal que u = α v, ou seja Donde temos, (x 1, y 1 )= α(x 2, y 2 ) x 1 x 2 = y 1 y 2 = α Exemplo: mostre que u = ( 2,3) e v = ( 4,6) são paralelos.

6 Seja o vetor v = (x, y), Módulo de um vetor o módulo de v é dado por, v = x 2 + y² Exemplo: calcule o módulo de v = (2, 3).

7 Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) é o comprimento (módulo) do vetor AB, ou seja, d(a,b)= AB mas AB= B A = (x 2 x 1, y 2 y 1 ), então, d(a,b)= x 2 x (y 2 y 1 )²

8 Vetor Unitário Para cada vetor v não nulo é possível associar dois vetores unitários paralelos: v/ v (versor) e seu oposto v/ v. Exemplo: calcule um vetor unitário de v = 3, 4. u = v v = (3 5, 4 5 ). Tarefa: mostre que u é de fato um vetor unitário.

9 Exercícios

10 Vetor no Espaço Da mesma forma que para vetores na reta, consideraremos que a base canônica { i, j, k} irá determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz, onde estes três vetores unitários e ortogonais dois a dois estão representados com origem no ponto O.

11 Vetor no Espaço Cada ponto P(x,y,z) do espaço corresponde o vetor OP = x i + y j + zk isto é, as próprias coordenadas x,y,z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica.

12 Vetor no Espaço Defina as coordenadas de cada ponto no espaço:

13 Vetor no Espaço Igualdade; Soma; Multiplicação por escalar; Vetor definidos por dois pontos; Ponto médio; Paralelismo; Módulo. As definições de cada uma delas para o espaço são análogas às do plano.

14 Vetor no Espaço Obs: como o sistema tem solução única, o conjunto {AB, u, v} é uma base deste espaço e, portanto, estes três vetores são não-coplanares.

15 Vetor no Espaço

16 Vetor no Espaço

17 Produto Escalar Chama-se produto escalar de dois vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ), e se representa u v, ao número real, u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Também indicamos o produto escalar por < u, v >. Exemplo:

18 Exercício: Produto Escalar

19 Produto Escalar Propriedades: para quaisquer u, v e w e α número real, temos que: u v = v u u v + w = u v + u w α(u v)= (αu) v u u > 0 se u 0 e u u = 0 se u = 0 u u = u ² Considere um vetor no espaço, e prove a última proposição.

20 e Exercícios

21 Produto Escalar Definição geométrica: se u e v são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles, então u v = u v cos(θ), 0º θ 180º Demonstre! Dica: aplicar a lei dos cossenos no seguinte triângulo:

22 Exemplo

23 Desigualdades Desigualdade de Schwarz: u v u v Desigualdade Triangular: u + v u + v

24 Produto escalar Em cada um dos casos, julgue o sinal de u escalar v.

25 Ortogonalidade Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, Exemplos: u v = 0

26 Ângulo entre dois vetores Da definição de produto escalar, temos cos θ = u v u v Exemplos:

27 Ângulo Diretos e Cossenos Diretores Consideramos o vetor v = x i + y j + zk, seus ângulos diretores são os ângulos α, β e γ que ele forma com os vetores i, j e k.

28 Ângulo Diretos e Cossenos Diretores Os cossenos diretores de v são cos α, cos β e cos(γ): Exemplo: calcule os ângulos diretores de v = 1, 1,0.

29 Projeção de um vetor sobre outro Sejam u e v não nulos e θ o ângulo entre eles. Suponha que v = v 1 + v 2, sendo v 1 // u e v 2 u. O vetor v 1 é chamado projeção ortogonal de v u e indicado por v 1 = proj u v sobre

30 Projeção de um vetor sobre outro Além disso, sendo v 1 = αu, conclui-se que, v u proj u v = u u u. Demonstração: Sendo v 1 // u, temos v 1 = αu e como v 2 = v v 1 = v αu é ortogonal a u, vem ( v αu ) u = 0 ou u v αu u = 0 e α = v u u u Portanto, sendo v 1 = αu, o resultado segue da equação do slide anterior.

31 Exemplos: Projeção de um vetor sobre outro

32 Produto Vetorial Chama-se produto vetorial de dois vetores u = x 1 i + y 1 j + z 1 k e v = x 2 i + y 2 j + z 2 k, se representa por u v, ao vetor u v = i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 Obs: o produto vetorial é um vetor, diferentemente do produto escalar, no qual tínhamos um numero real.

33 Exemplo: Produto Vetorial

34 Produto Vetorial Observações: u v = ( v u), logo o produto vetorial não é comutativo, assim, a ordem dos fatores é importante. u v = 0 se, e somente se, u// v.

35 Características do Produto Vetorial Considere os vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = x 2, y 2, z 2. Direção de u v : o vetor u v ortogonal a u e v. é simultaneamente Para provar isso basta mostrar que (u v) u = 0 e (u v) v = 0

36 Características do Produto Vetorial Sentido de u v : o sentido do vetor u v pode ser determinado utilizando a regra da mão direita. Sendo θ o ângulo entre os vetores, suponha que u sofra rotação de ângulo até v.

37 Características do Produto Vetorial Comprimento de u v: se θ é o ângulo entre os vetores u e v não nulos, então u v = u v sen θ A área desse paralelogramo é A=(base)(altura), ou seja A= u v sen θ = u v

38 Características do Produto Vetorial Exemplo: seja u = (2,0,0) e v = (0,3,0), calcule a área. Solução: u v = i j k = (0,0,6) u v = 6

39 Propriedades do Produto Vetorial O produto vetorial, em geral, não é associativo: u v w u ( v w) Propriedades válidas: u v + w = u v + (u w) α u v = αu v u v w = u v w

40 3) Exercícios

41 Exercícios 4) 5)

42 Produto Misto Chama-se produto misto dos vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = x 2, y 2, z 2 e w = x 3, y 3, z 3, o número real u v w. É também indicado por u, v, w. u v w = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3

43 Propriedades de Produto Misto u, v, w =0, se um dos vetores for nulo, ou dois deles são colineares, ou se os três são coplanares. u, v, w = v, w, u = w, u, v u, v, w + a = u, v, w + u, v, a αu, v, w = u, α v, w = u, v, αw = α u, v, w

44 Exercício

45 Interpretação Geométrica deproduto Misto O produto misto u v w é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não coplanares u, v e w.

46 Interpretação Geométrica de Produto Misto Pois, o volume de um paralelepípedo é dado por Ou seja, V = área da base altura V = v w u cos(θ) V = u v w cos(θ) V = u ( v w)

47 Interpretação Geométrica de Produto Misto Volume do prisma: V p = 1 2 V Volume do tetraedro: V t = 1 3 V p = 1 6 V

48 Exemplo