n. 9 VERSOR_EXPRESSÃO CARTESIANA_PARALELISMO_COPLANARIDADE_ COLINEARIDADE Como o versor é um vetor unitário, temos que v = 1

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "n. 9 VERSOR_EXPRESSÃO CARTESIANA_PARALELISMO_COPLANARIDADE_ COLINEARIDADE Como o versor é um vetor unitário, temos que v = 1"

João Guilherme Bugalho Flores
6 Há anos
Visualizações:

1 n. 9 VERSOR_EXPRESSÃO CARTESIANA_PARALELISMO_COPLANARIDADE_ COLINEARIDADE Definição Dado um vetor u 0, chama-se versor do vetor u, um vetor unitário, paralelo e de mesmo sentido que u. Logo, se considerarmos um vetor v como sendo o versor de u, temos que v = α. u, por serem paralelos, logo, α > 0, pois, u 0. Então: v = α. u v = α. u v = α. u Como o versor é um vetor unitário, temos que v = 1 Portanto, α = v α = α = u 1 u 1 u Substituindo este valor de α em v = α. u, obtemos: v = α. u v = 1 u. u

2 v = u u Exercício: 1. Ache o versor de u = (2, 1, 2). v = u u u = (2) 2 + (1) 2 + ( 2) 2 = 9 = 3 Resposta: v = ( 2, 1, 2 ) EXPRESSÃO CARTESIANA DE UM VETOR Considere um sistema cartesiano ortogonal de eixos x, y e z, convencionou-se representar por i, j e k, nesta ordem, os versores dos eixos cartesianos ortogonais x, y e z.

3 Então: i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Pela definição de versor temos: um vetor unitário, paralelo e de mesmo sentido que o vetor dado. Assim, i = j = k = 1 Considere um sistema cartesiano ortogonal de eixos 0x, 0y e 0z e os respectivos versores destes eixos: i, j e k.

4 Considerando P um ponto qualquer e P(x, y, z) podemos escrever: v = OP = OA + OB + OC Como: Temos: OA = xi v = OP OB = yj e OC = zk = xi + yj + zk

5 Que é a expressão de um vetor: v = ( x, y, z) Operações com vetores na forma cartesiana: Adição: Dados os vetores v 1 = x 1 i + y 1 j + z 1 k e v 2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k tem-se: v 1 + v 2 = (x 1 + x 2 ) i + (y 1 + y 2 ) j + (z 1 + z 2 ) k Produto de um vetor por um escalar: Dado o vetor v = x i + y j + z k e o escalar α, tem-se: α. v = α( x i + y j + z k ) = α x i + α y j + α z k Exercícios: 1. Dados os vetores v 1 = 2i 3 j + k determine: e v 2 = 2i + j 2 k, v 1 = (2, 3, 1) e v 2 = (2, 1, 2 )

6 a. 5 v v 2 2 R: (11, 29, 4) 2 b. 2 v v 2 R: (10, 13, - 16)

8 2. Determine os escalares a e b, tais que u = a v + b w em que u = i + j, v = i + 5 j + 2 k e w = i + 2 j + k R: a = 1 e b = Determine o valor de a para que o vetor w = 3a i + a j + 3 k tenha módulo igual a 7. R: a = ± 2 w = 7 7 = (3a) 2 + (a) 2 + (3) 2 7 = 9a 2 + a = 10a = ( 10a 2 + 9) 2 49 = 10a = 10a 2 a 2 = 4 a = ± 2 PARALELISMO DE VETORES Dois vetores u e v são paralelos se possuem a mesma direção, logo, como possuem a mesma reta suporte, eles irão diferir: pelo módulo e pelo sentido.

9 Teorema: Dois vetores u e v, não nulos, são paralelos, se e somente se, existir um escalar a, tal que: u = a. v Obs.: na multiplicação de um número real por um vetor temos: α v e v com mesmo sentido se α 0; α v e v com sentido contrário se α 0; Corolário: Dois vetores u = x 1 i + y 1 j + z 1 k e v = x 2 i + y 2 j + z 2 k serão paralelos se e somente se suas coordenadas correspondentes forem proporcionais, isto é: x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = k Condição de paralelismo Dois vetores são paralelos quando podem ser expressos a partir de um determinante, cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores e o det = 0. Seja u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) logo: [ x 1 y 1 x 2 y 2 ] det = 0 ou seja, x 1 y 2 x 2 y 1 = 0 Exercícios: 1. Determine a e b para que os vetores u = i + 2 j 3 k e v = a i + 4 j + b k sejam.

10 R: a = 2 e b = Dados os pontos A (3, 1, 2) e B ( 3, 1, 1) determine o vetor w a AB, tal que w = 14 R: w = (12, 4, 6) 3. Determine o ponto simétrico de A (3, 1, 2) em relação ao ponto B ( 1, 0, 3). R: C = ( 5, 1, 4) 4. Verifique se os vetores u = (15, 21, 6), v = ( 5 3, 7 3, 2 3 ) e w = (5, 7, 2) são paralelos. R: u, v e w são paralelos. Exercícios resolvidos: 1. Determine a e b para que os vetores u = i + 2 j 3 k e v = a i + 4 j + b k sejam paralelos. 1 = 2 = 3 = k a 4 b 2 a = 4 a = 2 2 b = 12 b = 6 1 = 2 = 3 = k k = Dados os pontos A (3, 1, 2) e B ( 3, 1, 1) determine o vetor w a AB, tal que w = 14 Seja w = (a, b, c) AB

11 AB = B A = ( 3, 1, 1) (3, 1, 2) = ( 6, 2, 3) Logo, a = b = c a = 2 c e b = 2c 3 w = (2c) 2 + ( 2c 3 )2 + (c) 2 14 = 4c 2 + 4c2 9 + c2 49 c2 14 = 9 14 = 7 c 3 c = 6 a = 12 e b = - 4 Conferindo: w = (12) 2 + ( 4) 2 + (6) 2 14 = = = 14 Logo, w = (12, 4, 6) Outro modo de resolução: w = α ( (6) 2 + (2) 2 + ( 3 2 ) w = α ( ) 14 = α = α 7

12 Como w = (a, b, c) AB α = 14 7 = 2 w = α ( 6, 2, 3) (a, b, c) = 2 ( 6, 2, 3) (a, b, c) = ( 12, 4, 6) 3. Determine o ponto simétrico de A (3, 1, 2) em relação ao ponto B ( 1, 0, 3). Ponto médio: A+C = B 2 A (3, 1, 2) B ( 1, 0, 3) C (x, y, z) x+3 2 = 1 x = 5 y+1 2 = 0 y = 1 z+( 2) 2 = 3 z = 4 C = ( 5, 1, 4)

13 4. Verifique se os vetores u = (15, 21, 6), v = ( 5 3, 7 3, 2 3 ) e w = (5, 7, 2) são paralelos [ ] para serem paralelos: det = Logo, [ ] = ( 7 3 ). (2) + ( 21). (2 3 ). (5) + 6. (5 3 ). ( 7) 6. ( 7 3 ). (5) (15). (2 3 ). ( 7) ( 21). (5 3 ). (2) = 0

14 Logo, os vetores u, v e w são paralelos. COPLANARIDADE DE VETORES Três vetores u, v e w são coplanares se e somente se, existirem escalares a e b tais que: u = a v + b w, ou seja, um dos vetores seja combinação linear dos demais. Coplanar significa que pertencem ao mesmo plano. Logo, três vetores u = ( x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) e w = (x 3, y 3, z 3 ) são coplanares se e somente se, det = 0 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = 0 x 3 y 3 z 3

15 Exercícios: 1. Verifique se os vetores u = (3, 1, 2), v = (1, 2, 1) e w = ( 2, 3, 4) são coplanares. R: Não são coplanares. 2. Verifique se os pontos A (1, 1, 1), B ( 2, 1, 3 ), C (0, 2, 2) e D ( 1, 0, 2) são coplanares. R: São coplanares. 3. Determine o valor de m para que os pontos A (m, 1, 2), B (2, 2, 3 ), C (5, 1, 1) e D (3, 2, 2) sejam coplanares. R: m = 4. Exercícios resolvidos: 1. Verifique se os vetores u = (3, 1, 2), v = (1, 2, 1) e w = ( 2, 3, 4) são coplanares det = = 44 9 = 35 Como det 0, logo, u, v e w não são coplanares.

16 2. Verifique se os pontos A (1, 1, 1), B ( 2, 1, 3 ), C (0, 2, 2) e D ( 1, 0, 2) são coplanares. AB = B A = ( 2, 1, 3 ) (1, 1, 1) = ( 3, 2, 4) AC = C A = (0, 2, 2 ) (1, 1, 1) = ( 1, 1, 3) AD = D A = ( 1, 0, 2 ) (1, 1, 1) = ( 2, 1, 3) det = = = 0 Logo, os pontos são coplanares.

17 3. Determine o valor de m para que os pontos A (m, 1, 2), B(2, 2, 3), C (5, 1, 1) e D (3, 2, 2) sejam coplanares. Para que sejam coplanares, det = 0 AB = B A = (2, 2, 3 ) (m, 1, 2) = (2 m, 3, 5) AC = C A = (5, 1, 1 ) (m, 1, 2) = (5 m, 2, 1) AD = D A = (3, 2, 2 ) (m, 1, 2) = (3 m, 3, 4) 2 m m 3 5 m m 2 3 m m 3 det = (2 m) ( 2) ( 4) + ( 3) ( 1) (3 m) + ( 5) (5 m) ( 3) ( 5)( 2)(3 m) (2 m) ( 1) ( 3) ( 3) (5 m) ( 4) = 0 0 = (2 m) 8 + (3 m) (5 m) 10 (3 m) 3 (2 m) 12 (5 m) 0 = 16 8 m m m m m m

18 0 = 26 m + 25 m = m +4 m = 4 Logo, para que os vetores sejam coplanares, m = 4. COLINEARIDADE ENTRE PONTOS Para verificar se alguns pontos são colineares, ou seja, estão alinhados, calculamos o determinante. Se o determinante for igual à zero, os pontos são colineares. det = 0 colinearidade Também podemos verificar se temos dois pontos colineares, observando se são paralelos e, portanto, se possuem a mesma constante de proporcionalidade. Exercícios: 1. Verifique se são colineares os pontos: a. A (-1, -5, 0), B (2, 1, 3) e C (-2, -7, -1) R: São colineares. b. L (2, 1, -1), P (3, -1, 0) e J (1, 0, 4) R: Não são colineares. 2. Calcule a e b de modo que sejam colineares os pontos A (3, 1, -2), B (1, 5, 1) e C (a, b, 7). R: a = - 3 b =13

19 Exercícios resolvidos: 1. Verifique se são colineares os pontos: a. A (-1, -5, 0), B (2, 1, 3) e C (-2, -7, -1) R: São colineares det = = = 0 b. L (2, 1, -1), P (3, -1, 0) e J (1, 0, 4) R: Não são colineares det = = Calcule a e b de modo que sejam colineares os pontos A (3, 1, -2), B (1, 5, 1) e C (a, b, 7) a b a b det = a 2b + 10 a 3 b 7

20 0 = a 5 b Como temos um equação e 2 incógnitas, o melhor é fazer pela constante de proporcionalidade: AB AC = B A C A = (1, 5, 1) (3, 1, 2) (a, b, 7) (3, 1, 2) = ( 2, 4, 3) (a 3, b 1, 9) 2 a 3 = 4 b 1 = a 3 = 4 b 1 = 1 3 Logo, a constante de proporcionalidade é a 3 = = a 3 a = 3 4 b 1 = = b 1 b = 13 Referências Bibliográficas BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw- Hill, NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba

Documentos relacionados

n. 20 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO O plano π pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do

n. 20 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO O plano π pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do n. 20 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Seja A (x 1, y 1, z 1 ) um ponto que pertence ao plano π e n = a i + b j + c k, sendo n (0, 0, 0) um vetor ortogonal ao plano. O plano π pode ser definido como o conjunto de