n. 15 ÁREA DE UM TRIÂNGULO Logo, a área do triângulo é obtida calculando-se a metade da área do S = 1 2

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1 n. 15 ÁREA DE UM TRIÂNGULO Do cálculo da área do paralelogramo temos: S ABCD = u x v Logo, a área do triângulo é obtida calculando-se a metade da área do paralelogramo, portanto S ABC = 1 u x v Assim, pela diferença entre os pontos do triângulo temos: S ABC = 1 (B A) x (C A) Seja θ o ângulo entre u e v, e h a altura relativa ao lado AB, temos: S = 1 u h h = v sen Ө S = 1 u v sen Ө 1 Como Ө está entre 0 o e 180 o e cos Ө = u.v u v temos: senθ = 1 (u.v ) ( u ) ( v ) senθ = u v (u.v ) u v Logo, em 1: S = 1 u v u v (u.v ) u v S = 1 u v (u. v) S = 1 (a + b )(c + d ) (ac + bd)

2 S = 1 a c + a d + b c + b d a c abcd b d S = 1 a d abcd + b c S = 1 S = 1 (ad bc) ad bc a b Como = = ad bc c d Concluímos que a área do triângulo é: S = 1 4 Mas, cos θ = u. v u. v cos θ = 1 sin θ usando a identidade trigonométrica temos que Igualando e : 1 sin θ = u. v u. v Para ser triângulo retângulo AB AC Logo, AB. AC = 0 os vetores devem ser ortogonais RESUMIDO:

3 ÁREA DE UM TRIÂNGULO Do cálculo da área do paralelogramo temos: S ABCD = u x v Logo, a área do triângulo é obtida calculando-se a metade da área do paralelogramo, portanto: S ABC = 1 u x v Logo a área do triângulo é: S = 1 Para ser triângulo retângulo em A: AB AC, os vetores devem ser ortogonais. Logo, AB. AC = 0 ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Dados três pontos A (x1, y1), B (x, y) e C (x, y), seja o determinante cujas linhas são formadas pelas componentes dos vetores AB e AC: AB = B A = (x - x1, y - y1) x x 1 y y 1 AC = C A = (x - x1, y - y1) = x x 1 y y 1

4 Se A, B e C são os vértices de um triângulo, então, a área desse triângulo é S = 1 e, portanto, 0. Assim, se = 0 podemos concluir que A, B e C não são vértices de um mesmo triângulo e, portanto, são colineares. A, B e C são colineares = 0 BARICENTRO O baricentro G é a intersecção das medianas do triângulo. G divide cada mediana na razão de para 1, no sentido do vértice para o ponto médio do lado oposto. AG = GM G A = (M G) G A = M G G + G = M + A Sendo M o ponto médio de BC temos: M = B+C G = A + ( B+C ) G = A + B + C Exercícios: 1. Sejam os vetores: u = (4, 4) e v = (-1, ), calcule a área do triângulo determinado por esses vetores. R: 8 u. a.

5 . Calcule a área do triângulo construído sobre u = i j + k v = i + j k R:. Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que AC = (1, 1, ) e CB = ( 1, 1, 0) R: u. a. e u. a. 4. Determine a área do triângulo de vértices A = (-1, 0, 1), B = (0, 1, ) e C = ( 1,, 4). R: 1 u. a. 5. Obter os pontos que dividem o segmento de extremidades A (, 4) e B (14, 1) em três partes iguais. R: C = (6, 7) e D = (10, 10) 6. Num triângulo de baricentro G (0, 1 ), dois dos vértices são A (1, 1) e B (-, ). Obtenha o outro vértice. R: C = (1, 1 6 ) 7. Obter y de modo que os pontos A (, y), B (0, 4) e C (4, 6) sejam vértices de um triângulo retângulo em A. R: y = 7 e y = 8. Para que valores de y os pontos A (-1, 1), B (, y) e C (4, 0) definem um triângulo de área igual a 0,5? R: y = 5 e y = 0 9. O vetor u = (m, 1 ) é um vetor unitário se m for igual a quanto? R: m = ± 10. Num triângulo de baricentro G (6, ), dois dos lados têm pontos médios M (7, 4) e N ( 7, 5 ). Obtenha os vértices do triângulo. R: C = (4, - ) ; A = (11, 1); B = (, 7) 11. Obter x para que o triângulo ABC seja triângulo retângulo em B. Dados A (5, 4), B ( x, ) e C ( 4, -). R: x = 9 ± 1. Dados A (, 1), B (7, 5) e C (, 4) qual a área do triângulo ABC? R: S = 8

6 Resolução: 1. Sejam os vetores: u = (4, 4) e v = (-1, ), calcule a área do triângulo determinado por esses vetores. = = 16 Logo, S = 1 16 = 8 R: 8 u. a.. Calcule a área do triângulo construído sobre u = i j + k v = i + j k e i j k 1 1 = i 1 1 j k = 0 i + j + k = ( 0, 1, 1) (0, 1, 1) = = Como Área é: S = 1 R: u. a =. Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que AC = (1, 1, ) e CB = ( 1, 1, 0) i j k 1 1 = i j k = i j + k = (,, ) (,, ) = ( ) + ( ) + = = Como Área é: S = 1 =

7 R: u. a. 4. Determine a área do triângulo de vértices A = (-1, 0, 1), B = (0, 1, ) e C = ( 1,, 4). AB = B A = (0, 1, ) - (-1, 0, 1) = (1, 1, ) AC = C A = ( 1,, 4) - (-1, 0, 1) = (,, ) i j k 1 1 = 1 1 i 1 j + 1 k = i + j + 0 k = ( 1, 1, 0) ( 1, 1, 0) = ( 1) + (1) + 0 = Como Área é: S = 1 = R: 1 u. a.

8 5. Obter os pontos que dividem o segmento de extremidades A (, 4) e B (14, 1) em três partes iguais. R: C = (6, 7) e D = (10, 10) A C D B Obter os pontos C e D tais que: AC = 1 AB e AD = AB Como, AC = 1 AB C A = 1 (B A) B A C = + A C = B A+A C = B+A Portanto, C = (14,1)+(,4) C = (18,1) C = (6, 7) Como, AD = AB D A = (B A) B A D = + A D = B A+A D = B+A

9 Portanto, D = (14,1)+(,4) D = (0,0) D = (10, 10) 6. Num triângulo de baricentro G (0, 1 ), dois dos vértices são A (1, 1) e B (-, ). Obtenha o outro vértice. R: C = (1, 1 6 ) G = A + B + C (0, 1 ) = (1,1)+(, )+(x,y) ( x, y ) = (0, 1 ) (1, 1 ) (, ) ( x, y ) = (0, 1 ) (1, 1 ) (, 9 ) x = y x = 1 = y = 1 6 Logo, o outro vértice é C = (1, 1 6 ) 7. Obter y de modo que os pontos A (, y), B (0, 4) e C (4, 6) sejam vértices de um triângulo retângulo em A. R: y = 7 e y = Se é triângulo retângulo vale Pitágoras (BC ) = (BA ) + (CA ) (C B) = (A B) + (A C) (4 0) + (6 4) = ( 0) + (y 4) + ( 4) + (y 6) 4 + = + y 8 y y 1 y + 6

10 R: y = 7 e y = y 0 y + 4 = 0 8. Para que valores de y os pontos A (-1, 1), B (, y) e C (4, 0) definem um triângulo de área igual a 0,5? R: y = 5 e y = 0 u = AB = B A = ( ( 1), y 1) = (4, y 1) v = CB = B C = ( 4, y 0) = ( 1, y) = 4 y 1 = 4y (y 1). ( 1) = 4y + y 1 = 5y 1 1 y = 5y 1 0,5 = 1 5y 1 1 = 5y 1 1) 1 = 5y 1 1 = 5y 1 y = 5 ) 1 = 5y 1 1= 5y = - 5y y = 0 9. O vetor u = (m, 1 ) é um vetor unitário se m for igual a quanto? R: m = ± u = m + ( 1 ) 1 = m = ( m ) 1 = m + 1 9

11 1 = 9m = 9m = 9m 8 = 9 m m = ± 10. Num triângulo de baricentro G (6, ), dois dos lados têm pontos médios M (7, 4) e N ( 7, 5 ). Obtenha os vértices do triângulo. MG = GC (G M) = (C G) G M = C G G + G M = C C = G M C = (6, ) (7, 4) C = (4, - ) AG = GN G A = (N G) - A = N G G A = - N + G A = - (7/, 5/) + (6, ) A = (-7, -5) + (18, 6) A = (11, 1) G = A + B + C G = A + B + C B = G A C B = (6, ) (11, 1) (4, - ) B = (18, 6) (11, 1) (4, -) B = (, 7) 11. Obter x para que o triângulo ABC seja triângulo retângulo em B. Dados A (5, 4), B ( x, ) e C ( 4, -). AC = BA + BC AC = C A = (4 5, - - 4) = (-1, -6) BA = A B = ( 5 x, 4 ) = (5 x, ) BC = C B = (4 x, - -) = (4 x, - 4) ( 1) + ( 6) = (5 x) + () + (4 x) + ( 4)

12 ( ( 1) + ( 6) ) = ( (5 x) + () ) + ( (4 x) + ( 4) ) = 5 10 x + x x + x = x 18 x + 61 x 18 x + 4 = 0 b± b 4ac a = 18 ± ( 18) 4 ()(4) () = 18 ± = 18 ± ± 4 = 9 ± 1. Dados A (, 1), B (7, 5) e C (, 4) qual a área do triângulo ABC? u = AB = B A = ( 7, 5 ) (, 1 ) = ( 4, 4 ) v = AC = C A = (, 4 ) (, 1 ) = ( - 1, ) = 4 4 det = = 16 1 S = 1 S = 1 16 = 8 Referências Bibliográficas BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 010. VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.