Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela. Araraquara, SP

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1 Vetores no Espaço Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP

2 1 Vetores no Espaço 2 3 4

3 Vetor no espaço Vetores no Espaço

4 Operações com vetores no espaço Sejam u = (x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) e k real. u = x y z2 1 u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1, z 2 ) k u = (kx 1, ky 1, kz 1 ) u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 u v cos θ = u v, 0 θ π

5 Produto vetorial Vetores no Espaço w = (y 1 z 2 y 2 z 1, x 2 z 1 x 1 z 2, x 1 y 2 x 2 y 1 ) é perpendicular aos vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ). Nesse caso dizemos que w é o produto vetorial de u por v e denotamos por w = u v.

6 Vetores canônicos Vetores no Espaço

7 Determinando o produto vetorial O produto vetorial de u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) pode ser determinado como se fosse o determinante de terceira ordem: u v = i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 u v = (y 1 z 2 y 2 z 1 )i + (x 2 z 1 x 1 z 2 )j + (x 1 y 2 x 2 y 1 )k u v = (y 1 z 2 y 2 z 1, x 2 z 1 x 1 z 2, x 1 y 2 x 2 y 1 )

8 Exemplo 1 Vetores no Espaço Determinar o produto vetorial de u = (1, 2, 3) e v = (2, 1, 1). u v = v u = i j k i j k = i + 5j 3k = ( 1, 5, 3) = i 5j + 3k = (1, 5, 3) v u = u v

9 Identidade de Lagrange Um cálculo direto (usando as coordenadas dos vetores) fornece a chamada identidade de Lagrange u 1 u 2 u 1 v 2 ( u 1 v 1 ) ( u 2 v 2 ) = v 1 u 2 v 1 v 2 Em particular, temos u v 2 = ( u v) ( u v) = u u v u u v v v

10 Exemplo 2 Vetores no Espaço Sejam u = (1, 2, 3) e v = (2, 1, 1). Então u v = ( 1, 5, 3) e u v = = 35 u v 2 = 35. Por outro lado tem-se: u v 2 u u = v u u v v v = = = 35

11 Relação entre o produto vetorial e o ângulo entre os vetores Como consequência da identidade de Lagrange tem-se: u v 2 = u 2 v 2 ( u v) 2 u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ u v 2 = u 2 v 2 ( 1 cos 2 θ ) u v 2 = u 2 v 2 sen 2 θ Portanto u v = u v senθ

12 O produto vetorial e a área de um paralelogramo Área = u h Área = u v senθ Área = u v

13 Volume do paralelepípedo

14 Produto misto Vetores no Espaço O produto ( u v) w é chamado de produto misto de u, v e w. Se u = (x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) e w = (x 3, y 3, z 3 ), então i j k ( u v) w = x 1 y 1 z 1 (x 3, y 3, z 3 ) x 2 y 2 z 2 Ou seja, ( u v) w = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3

15 Exercícios Vetores no Espaço 1) Encontre as componentes do vetor OP, onde O é a origem e P é o ponto médio do segmento RS, sendo R o ponto (2, 1) e S o ponto (-4,3). 2) Encontre a soma de AB e CD onde os pontos são A = (1, 1), B = (2, 0), C = ( 1, 3) e D = ( 2, 2). Represente graficamente. 3) Encontre o vetor unitário que forma um ângulo θ = 2π/3 com o eixo x positivo. 4) Encontre o vetor unitário obtido com a rotação do vetor (0, 1) 120 o no sentido anti-horário ao redor da origem.

16 5) Um avião está voando a 25 o oeste de norte a 800 km/h. Encontre as componentes do vetor velocidade do avião, considerando que o eixo x positivo representa o sentido leste e o eixo y positivo o sentido norte. 6) Suponha que A, B e C sejam os vértices de um triângulo em que a, b e c sejam, respectivamente, os pontos médios dos lados opostos. Mostre que Aa + Bb + Cc = 0. Represente a soma geometricamente. 7) Encontre o vetor unitário perpendicular ao plano PQR definido pelos pontos P = (1, 1, 2), Q = (2, 0, 1) e R = (0, 2, 1).

17 8) Determine o volume da caixa (paralelepípedo) determinada por u = i j k, v = 2i + j 2k e w = i + 2j k 9) Encontre uma fórmula para a área de um triângulo no plano xy com vértices A = (a 1, a 2 ), B = (b 1, b 2 ) e C = (c 1, c 2 ). Aplique ao triângulo com vértices em A = ( 1, 1), B = (3, 3) e C = (2, 1). 10) Sejam u = 5i j + k, v = j 5k, w = 15i + 3j 3k. Quais vetores (se é que existem) são (a) perpendiculares? (b) Paralelos? Justifique sua resposta.