MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 7 II SEMESTRE DE 00 Professores: Flávia, Gustavo e Lana. Suponha que uma força de newtons é aplicada em um objeto ao longo do semi-eixo negativo dos x e que uma força de 5 newtons é aplicada ao longo do semi-eixo positivo dos y. Encontre a intensidade, a direção e o sentido da força resultante. Represente graficamente.. Suponha que um barco está atravessando um rio na direção leste a uma velocidade de 4 quilômetros por hora, enquanto a corrente do rio está fluindo na direção sul a uma velocidade de quilômetros por hora. Encontre a velocidade resultante do barco e desenhe sua direção e sentido.. Suponha que um avião está voando a uma velocidade escalar de 60 km/h enquanto o vento, vindo do oeste, está soprando a uma velocidade de 00 km/h. Indique, em uma figura, a direção e sentido aproximados que o avião deve seguir para resultar em um vôo para o sul. Qual vai ser a velocidade escalar resultante? 4. O vetor u = (0,0,80,0) dá o número de amplificadores, tocadores de CD, alto-falantes e toca-fitas em uma loja. O vetor v = (00,0,80,70) dá o preço (em reais) de cada amplificador, tocador de CD, altofalante e toca-fitas, respectivamente. O que o produto escalar u v diz para o dono? 5. Sabendo que o ângulo entre os vetores u=(,,-) e v=(,-, m+) é π/, determine m. 6. Verifique que: n = <, >+, uv, R. u v u uv v 7. Sejam u e v vetores não-nulos no espaço bi ou tridimensional. Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo na figura, obtemos Mas, u v = u + v u v cosθ u v = u < uv, >+ v Logo, < uv, >= u v cosθ onde θ é o ângulo compreendido entre u e v. u θ u -v v Mostre que: a) θ é agudo se, e somente se, u v> 0 (Lembrete: b) θ é obtuso se, e somente se, u v< 0 c) π uv = θ = se, e somente se, 0 ~ notaçao < uv, > = u v ) 0 8. Considere os vetores u = (,,), v = (,,) e w = (,6, 4) : a) Calcule: a.) u + v a.) u + v a.4) w w a.5) ( uww ) b) Encontre dois vetores z e t tais que u= z+ t, z é paralelo a (,0,) e t é ortogonal a este último. 9. Encontre o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas faces. 0. Prove que se u é ortogonal a v - w, e v é ortogonal a w - u, então w é ortogonal a u - v.. Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 6 π, determine o ângulo formado pelos vetores: a. u e v; b. u e v.

2 , é correto cancelar u de ambos os lados da equação uv u w. Se u 0 Explique seu raciocínio. = e concluir que v w =?. Sejam u = (,,), v = (4,0, 8) e w = (6,, 4). Encontre escalares c tais que cu + cv + cw = (,0,4). 4. Encontre todos os escalares c tais que c (,,0) + c (,,) + c (0,,) = (0,0,0) 5. Nos problemas de a e b apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aquele que não foritar os axiomas que não se verificam. a. V = : ( a, b ) + (c, d ) = ( a+b, 0) e multiplicação escalar usual b. V = : ( a, b ) + (c, d ) = ( a+b+d) e α (a, b ) = (α a, α b) 6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais (com a soma e o produto por escalar usuais): a) Matrizes quaisquer de ordem X; b) Polinômios de grau menor ou igual a 4; c) Conjunto das funções contínuas de I R em I R. 7. Em cada item deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço do espaço vetorial V. V =, +,.,,, W = xyz R ; x+ y+ z = 0 ; a) ( ) b) V = (, +,., ) R R ( ) R R ( ) c) V = (, +,., ) d) = ( + ) { } {,, } W = xyz x+ y+ z R ; A= A M R W = conjunto de todas as matrizes simétricas, isto é, as matrizes t V M,,., R W = conjunto de todas as matrizes com determinante igual a zero; 8. Considere = { R ax + by + cz = d a, bcd,, R} abc,, conclusão. W (x,y,z) tal que, onde. Para que valores de e d, W é um subespaço vetorial do espaço vetorial R 9. Mostre que seguintes subconjuntos do 4 são subespaços do 4 a. {(x, y, z, t) 4 :x-y-z = 0 } b. {(x, y, z, t) 4 :x-y+z = 0 e t = 0 }? Interprete geometricamente sua 0. Sejam os vetores u = (, -, ) e v = (-,, 4) em. a. Escreva w = (7,-, ) como combinação linear de u e v. b. O vetor (, -5,4) pode ser escrito como combinação linear de u e v? Por que? c. Para que valor de k é w = (-8,4, k) uma combinação linear de u e v? d. Encontre condições sobre a, b, e c de modo que (a, b) seja uma combinação linear de u e v.. Quais dos subconjuntos seguintes são subespaços vetoriais de M? a b c a) W = ; d = a + b+ c ; 0 d 0 a b c b) W = 0 0 0,d < a + b + c ; 0 d 0

3 . Sejam os vetores u = (-,, ), v = (,, 0) e w = (-,-, 0). Expressar cada um dos vetores v = (-8, 4, ), v =(0,, ) e v = ( 0, 0, 0) como combinação linear de u, v, e w.. Escreva E como combinação linear, se possível, de A = B = C =, 0 0, 0 0, onde (i) E = (ii) E = Que conjunto de vetores de M ( R ) que podem ser escritos como combinação linear de A, B e C? 4. Mostre que (,,), (0,,), (0,,-) geram o. O que isto significa? 5. Determine condições sobre a, b de modo que (a, b) pertença ao espaço gerado pelos vetores u = (,, 0), v = (,-, ) e w = (0,,-4). 6. Para qual valor de k o vetor u (,,k ) e w = (,, 5)? 7. Determine que condições b dos vetores u = (,,) e w = (,, ). = em R será uma combinação linear dos vetores v = (,0, ) a, e c devem satisfazer para que ovetor v ( a, b, c) = seja combinação linear 8. Mostre que o plano yz, isto é W = {(0, b), b IR } em é gerado por: a. (0,,) e ( 0,,-) b. (0,,), (0,,) e (0,,) c. Por que um mesmo plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram W e um conjunto de dois vetores que geram W. 9. Verifique se o vetor u = (,,) pertence ao subespaço do (,0,). R gerado pelos vetores v = (0,,) e w = 0. Verifique se o conjunto C = { ,,, } geram o espaço vet. M ( R ).. Mostre que os conjuntos {(,-,), (,0,)} e {(-,-,), (,,-4)} geram o mesmo subespaço vetorial do.. Determine um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do. a. U={(x,y,z) : x - y = 0} b. V={(x,y,z) : x + z = 0 e x - y = 0 } c. U V. Encontre um vetor em que gere a interseção de V e W onde V é o plano xy e W é o espaço gerado pelos vetores (,,) e (,-,). 4. Mostre que a interseção de subespaços é também um subespaço e verifique com um exemplo que a união de subespaços nem sempre é um subespaço.

4 4 5. Mostre com um exemplo que a união de dois subespaços de um espaço vetorial não precisa ser necessariamente um subespaço desse espaço. 6. Mostre que a união de subespaços de um espaço vetorial V é também um subespaço se, e somente se, um dos subespaços dados está contido no outro. 7. Seja S o subespaço do R 4 definido por S = {(x, y, z, t) R 4 / x+y-z = 0 e t = 0}.Pergunta-se: a. (-,,, 0) pertence a S? b. (,, 4, 0) pertence a S? c. Determine dois vetores que geram S. Eles são os únicos? Se não, apresente outros! 8. Determine [S], onde S = {(,,5,4),(,,, 4),(,8,, 5) }. 9. Verifique se o vetor p = t t pertence ao subespaço de P gerado por { t, t +, t}. 40. Determine para que valores de k os vetores do a) u = (,, ), v = (,, ) e w = ( k,,) ; b) = (, 0, 7), v = ( 4,5, k ), w = ( 0,4, ) R abaixo são l.i ou l.d. u e ( k,,) z = ; 4. Suponha que { u, v, w} é um conjunto l.i. Então { u + v u v, u v + w}, é l.i. ou l.d.? Justifique. 4. Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique (Faça contas somente quando for realmente necessário!) + + P ; a) { x x, x 4, 5x 7x, 4x 8, 6x} { } 5 b) (,0,,0, ), ( 0,,0,, ), (,,4, 6,5) c).{(,-,)} R ; d).{(,-,), (-,,)} e) {(,-,0), (-,,0),(,5,0)} f) {(,,), (0,0,0), (,5,)} 4. Suponha que S = {v, v,..., v n } seja LI mas {v, v,..., v n,w} seja LD. Então w é combinação linear dos vetores de S. 44. Sejam v, v,..., v n vetores LI de um espaço vetorial V. e suponha que u é uma combinação linear desses vetores, digamos u = α v + α v α v onde os α i são escalares. Mostre que a representação de u n n acima é única. Dê um exemplo em mostrando que se o conjunto de vetores for LD então a representação não será única.

5 45. Prove que o subconjunto S = {v, v,..., v n } de vetores de um espaço vetorial V e LD k (inteiro ), k n tal que v k é combinação linear dos demais vetores do subconjunto S Mostre que: a. Se u, v, w são LI então u+v, u+w e v+w são LI b. Se um conjunto A V contém o vetor nulo então A é LD c. Se uma parte de um conjunto A V é LD então A é LD d. Se um conjunto A V é LI, qualquer parte de A é LI 47. Consideremos no espaço vetorial os vetores u = (-a,+a) e v = (+a, -a) onde a 0. Mostre que {u, v} é L.I. 48. Mostre que o conjunto {(, 0, a), (,, a), (,, a )} de vetores do é L.I. se que a 0 e a. 49. Se u, v, e w são vetores de um espaço vetorial V tais que u [w] e v [w] mostrar que {u,v} é L.I. 50. Determine uma base e a dimensão do subespaço de M 44 formado por todas as matrizes diagonais. 5. Determine uma base e a dimensão dos subespaços vetoriais a. b. a b c W = d 0 d M ; abcd,,, R ; 0 d 0 a b c W = M ; abc,, ; c b a R c. 4 W = {( xy, ) ; x y = 0 } R ; d. W = (,, ), ( 0,0, ), (, 4, ) 4 ; e. 4 W = {( xyzt,,, ) ; x y = 0 t+ x= z 5 } f. W 6 = {(x,y,z) : y = x} R e ; 5. Sendo v =(, ), determinar v tal que {v, v} seja base do. 5. Quais dos seguintes conjuntos formam uma base do? Nos que formarem, escrever um vetor genérico do como combinação linear dos elementos desse conjunto. (a) {(, 0, ), (0, -, ),(-,, -4)} (b) {(,, -), (-, 0, ), (0, 0, )} (c) {(,, -), (-,, ), (, 0, )}

6 54. Mostre que π 6 é uma base de M ( ) Mostre que os vetores v =(,, ), v =(,, ), v =(, 0, ), v 4 =(, -, ) geram o e encontrar uma base dentre esses vetores. 56. Determinar o vetor coordenada de v=(6, ) em relação às seguintes bases: (a) {(, 0), (0, )} (b) {(, ), (, )} (c) {(, 0),(0, )} 57. Considere a seguinte base do espaço vetorial B = {(, 0, 0), (0,, 0), (, -, )}. Determine o vetor coordenada de v em relação à base B se: (a) v = (, -, 4) (b) v = (, 5, 6) (c) v = (,-, ) 58. Determine uma base de 4 que contenha os seguintes vetores (,,, 0), (,,, ) 59. Seja W o subespaço do 4 gerado pelos vetores (,-, 5,-), (,,,-4) e (,8,-,-5). (i) Encontre uma base e a dimensão de W (ii) Estenda a base de W a uma base do espaço todo 4 (iii) Faça agora o caminho inverso, encontre os vetores da base canônica do 4 que geram W. Qualquer combinação de três vetores da base canônica do 4 vai gerar W? 60. Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M ( ) a (a) c b ; c=a-b e d=0 (b) a d c b ; a+d = b+c d 6. Sejam v =(-,0,) e v =(,4,-). Determine um sistema de equações homogêneo para o qual o espaço solução seja [v,v ] 6. Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas: (a) 4x + y - z + 5t = 0 x - y + z - t = 0 6x + y + 4t = 0 (b) x y + z = 0 x y + z = 0 x z = 0 6. Achar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do 4 : (a) U = {(x, y, z, t) 4 : x - z = 0 e x + y + t = 0} (b) U = {(x, y, z, t) 4 :x y + z = 0}

7 7 64. Em consideremos os seguintes subespaços os subespaços U e V, Em cada item abaixo, determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U V (a) U={(x, y, z): x = 0}, V={(x, y, z): y-z = 0} (b) U={(x,y,z) : x + y = 4x-z = 0} e V=[(,-,), (,,)], 65. Sejam U e W os subespaços do 4 R gerados por S R = {(,,0, ), (,,,0),(,,, )} e respectivamente. = {(,,, ),(,,, ),(,,4, )} 66. Determine uma base para cada um dos espaços U e W, e determine dim U, dim W, dim ( W ) (U+W). 67. Determine uma base para cada um dos espaços U e W,( W ) dim ( U W ) e dim (U+W). 68. Sejam U e W os subespaços do { at + bt + ct + d,d = a + b + c} W =. 69. Determine uma base para cada um dos espaços U e W,( W ) dim ( U W ) e dim (U+W). U e dim U e U+W, e determine dim U, dim W, P dados por U { at + bt + ct + d,a = b c} = e U e U+W, e determine dim U, dim W, 70. Quais as coordenadas do vetor v=(,0,0) em relação à base β = {(,,),(,,0),(,0, )}? 7. Determine as coordenadas do vetor u=(4,-5,) do em relação às seguintes bases: (a) canônica (b) {(,,), (,,0), (,,0)} (c) {(,,),(0,,), (,,4)} 7. Quais as coordenadas do vetor p = t t + em relação à base β = { t +, t, t,}? 7. Sejam β = {(,0),(0,)}, β = {(,0),(, )} e β = {(, ),(0, )} três bases ordenadas de Determine [ I],[ I] β I β. β β e [ ] β β R. I β α 74. Se [ ] 0 = 0 0 e β é a base canônica do R, determine a base α.