CVGA Edezio 1. k e v = x2. u, v = u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

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1 CVGA Edezio 1 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Produto de Vetores Produto Escalar (ou Interno) Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores x 1 i + y1 j + z1 k e x2 i + y2 j + z2 k, e se representa por ou, ao número real, x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Exemplo: Se i 2 j + k e 3 i + j 2 k, tem-se que ( 2) ( 2) 1 Propriedades: Sejam (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), w (x 3, y 3, z 3 ) e c R, temos: (a) 0 e 0 0 ; (b) ; (c) ( + w ) + w ; (d) (c ) c( ) (c ); (e) 2. Observações: (i) ; (usar (b), (c) e (e)) (ii) ; (usar (b), (c) e (e)) (iii) ; (Desigualdade de Schawarz) (iv) + +. (Desigualdade Triangular) Ângulo de Dois Vetores (não-nulos): Sejam 0, 0 : A C B Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC acima, cos e juntamente com a observação (b): , Obtemos a seguinte interpretação geométrica:

2 CVGA Edezio 2 Observações: cos cos, 0o 180 o (i) > 0 cos > 0 0 < π/2; (ii) < 0 cos < 0 π/2 < π; (iii) 0 cos 0 π/2. Da observação (iii) temos a importante conclusão: Em particular, 0,. 0 Exemplo: Determinar o valor de m de modo que sejam ortogonais os vetores 2 i 3 j + k e i + 2 j m k. Sabemos que 0. Assim 2 6 m 0 m 4 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um Vetor Seja o vetor x i + y j + z k não-nulo. Ângulos diretores de são os ângulos α, β e γ que forma com os vetores i, j e k, respectivamente. z k γ β i α j y x Co-senos diretores de são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, cos α, cos β e cos γ. Assim, cos α i i (x, y, z) (1, 0, 0) 1 x cos β j j (x, y, z) (0, 1, 0) 1 y

3 CVGA Edezio 3 cos γ k k (x, y, z) (0, 0, 1) 1 z Observação: Se é o versor do vetor então: (x, y, z) ( ) x, y, z (cos α, cos β, cos γ) v Assim, como é unitário, temos: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ 1 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ 1 Exemplo: Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45 o, 60 o e 90 o? Projeção de um Vetor sobre Outro Sejam os vetores e não-nulos e o ângulo entre eles. Vamos determinar o vetor w que é a projeção ortogonal de sobre o vetor. Suponhamos, inicialmente, que seja um ângulo agudo. w Temos que: w // w c com c > 0. (i) w c w c c w (ii) w cos (iii) cos De (i), (ii) e (iii) temos que c cos Portanto ( v u ) v v. ( u w P roj ) v v u Analogamente prova-se para ângulo obtuso.

4 CVGA Edezio 4 Produto Vetorial Dados dois vetores (x 1, y 1, z 1 ) e (x 2, y 2, z 2 ) tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial dos vetores e, e se representa por, ao vetor i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z (y 1z 2 z 1 y 2, (x 1 z 2 z 1 x 2 ), x 1 y 2 y 1 x 2 ) 2 Exemplo: (5, 4, 3) e (1, 0, 1). i j k i + 3 j 4 k 5 j 4 i 2 j 4 k (4, 2, 4) ( 4, 2, 4) ( ) (não é comutativo). Propriedades: (todas as propriedades seguem das propriedades dos determinantes) (i) 0 ; Obs.: i i j j k k 0. (ii) ( ); Obs.: (a) i j ( j i ); (b) j k ( k j ); (c) k i ( i k ). (iii) ( + w ) + w ; (iv) (m ) m( ) (m ); (v) 0 um dos vetores é nulo ou e são colineares; (vi) é simultaneamente ortogonal aos vetores e, isto é, ( ) 0 e ( ) 0. De fato, sejam (x 1, y 1, z 1 ) e (x 2, y 2, z 2 ) temos que ( i j k v ) (x1, y 1, z 1 ) x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 De forma análoga prova-se que ( ) 0. (vii) Sentido: Convencionou-se pela regra da mão direita. x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 0

5 CVGA Edezio 5 obs. : i j k j k i k i j (viii) ( ) 2 Dem.: Segue dos cálculos. (xix) 0, 0 e o ângulo dos vetores e sen Dem.: Segue da propriedade (viii) e da interpretação geométrica do produto escalar ( cos ) (x) Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial A(área do paralelogramo) D C h A B De fato, como h sen, temos: A base h sen.

6 CVGA Edezio 6 Produto Misto Chama-se produto misto dos vetores (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) e w (x 3, y 3, z 3 ), tomados nesta ordem, ao número real definido e denotado por x 1 y 1 z 1 ( w ) (,, w ) x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3. Exemplo: Calcule o produto misto dos vetores 2 i j + k, i k e w 2 i j +4 k. Solução: (,, w ) Propriedades: (todas as propriedades seguem das propriedades dos determinantes) (i) O produto misto (,, w ) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. (ii) Obs.: ( w ) (,, w ) ( w,, ) ( w,, ) w ( ) ( ) w ( + x,, w ) (,, w ) + ( x,, w ) (, + x, w ) (,, w ) + (, x, w ) (,, w + x ) (,, w ) + (,, x ) (iii) (α,, w ) (, α, w ) (,, α w ) α(,, w ) (iv) (,, w ) 0 se, e somente se os três vetores são coplanares. w w Exemplos: 1. Verificar se são coplanares os vetores (2, 1, 1), (1, 0, 1) e w (2, 1, 4). 2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores (2, m, 0), (1, 1, 2) e w ( 1, 3, 1) 3. Verificar se os pontos A(1, 2, 4), B( 1, 0, 2), C(0, 2, 2) e D( 2, 1, 3) estão no mesmo plano.

7 CVGA Edezio 7 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Geométricamente, o produto misto ( w ) é igual em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não-coplanares, e w. w h w Temos que a área da base do paralelepípedo é w. Sendo o ângulo entre os vetores e w, temos que h cos. Como sabemos o volume do paralelepípedo é: V (área da base)(altura) w cos w cos ( w ) Exemplo: Sejam os vetores (3, m, 2), (1, 1, 2) e w (2, 1, 2). Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por, e w seja 16 u.v.