Representação Gráfica

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1 Vetores Vetores: uma ferramenta matemática para expressar grandezas Grandezas escalares e vetoriais; Anotação vetorial; Álgebra vetorial; Produtos escalar e vetorial.

2 Grandezas Físicas Grandezas Escalares: necessitam apenas do módulo para expressar sua grandeza: Tempo, massa, temperatura, pressão, energia, potência,... Grandezas Vetoriais: necessitam de módulo direção e sentido para expressar sua grandeza: Posição, velocidade, aceleração, força, torque, campo elétrico,...

3 Representação Gráfica Um vetor é representado graficamente por um seta: Comprimento = módulo θ A ou A Sentido direção = ângulo com o eixo horizontal A = A (módulo)

4 Soma Gráfica A + B: B A B A A + B Vetor -B: é o vetor que somado a B resulta em um vetor de comprimento nulo -B B + (-B): B -B

5 Subtração Gráfica A B = A + (-B) : -B A -B A - B A

6 Propriedades Comutativa: A + B = B + A B A B A B + A A + B A B

7 Propriedades Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) B A B C A (A+B) (B+C) (A+B)+C = A+(B+C) C

8 Propriedades Trigonométricas Propriedades trigonométricas úteis para a construção de uma representação numérica para vetores: y a a 2 =a x 2 +a y 2 a x =a cosθ a y =a sin θ a y a a y tan θ= a y a x θ a x x

9 Propriedades Trigonométricas Nem sempre x é cosseno. Observe as regras trigonométricas: y a y cosseno= ca h a θ a x α a seno= co h a y x tangente= co ca a 2 =a x 2 +a y 2 a x =a sin α a y =a cos α tan α= a x a y

10 Sistema de Coordenadas Dextrogiro Sistema de coordenadas formado por três eixos ortogonais entre si. z r=(r x ;r y ;r z ) r z r r x... r y y x

11 Sistema de Coordenadas Dextrogiro Rotações cíclicas dos eixos x, y e z: y x z x y z z x y

12 Vetores Unitários São vetores de comprimento unitário, apontados nas direções dos eixos x, y e z. y i vetor unitário na direção do eixo-x j vetor unitário na direção do eixo-y z j... k i k vetor unitário na direção do eixo-z i = j = k =1 x

13 Vetores Unitários Um vetor em 3D é representado por uma soma de vetores nas direções dos vetores unitários como: z r=r x i+r y j+r z k r r z k r x i y x r y j

14 Álgebra Vetorial Dado dois vetores em notação de vetores unitários: a=a x i+a y j+a z k b= i+ j+ k a soma procede com as regras algébricas convencionais, a+b=(a x i+a y j+a z k)+( i+ j+ k) a+b=a x i+a y j+a z k+ i+ j+ k a+b=(a x + )i+(a y + ) j+(a z + )k

15 Álgebra Vetorial A subtração segue o mesmo procedimento: a b=(a x i+a y j+a z k) ( i+ j+ k) a b=a x i+a y j+a z k i j k a b=(a x )i+(a y ) j+(a z )k Produto por uma constante c: c a=c (a x i+a y j+a z k) c a=c a x i+c a y j+c a z k

16 Álgebra Vetorial Ex: Dados os vetores A=3 i 5 j+3 k B=2i 4 k C=6 k+7 j Resolva as expressões: (a) (b) (c) A+B+C 3 A 2 B 2C 3 B+5 A

17 Álgebra Vetorial (a) A+B+C A+B+C=(3 i 5 j+3 k)+(2 i 4 k)+(6 k+7 j) A+B+C=(3+2)i+( 5+7) j+(3 4+6)k A+B+C=5 i+2 j+5 k (b) 3 A 2 B 3 A 2 B=3(3 i 5 j+3 k) 2(2 i 4 k) 3 A 2 B=9 i 15 j+9 k 4 i+8 k 3 A 2 B=(9 4)i 15 j+(9+8)k 3 A 2 B=5i 15 j+17 k

18 Álgebra Vetorial (c) 2C 3 B+5 A 2C 3 B+5 A=2(6 k+7 j) 3(2i 4 k)+5(3 i 5 j+3 k) 2C 3 B+5 A=12 k+14 j 6 i+12 k+15i 25 j+15 k 2C 3 B+5 A=9 i 11 j+39 k

19 Produtos Vetoriais Será abordado dois tipos de produtos entre grandezas vetoriais: Produto Escalar: seu resultado é uma grandeza escalar (possui apenas módulo); Produto Vetorial: seu resultado é um terceiro vetor.

20 Produto Escalar ( ) Definição: A B=A B cosθ Visão gráfica: A B cos θ A θ A cosθ B projeção de A em B θ B projeção de B em A Busca-se o produto entre duas grandezas colineares (mesma direção).

21 Produto Escalar ( ) Produto Escalar, via vetores unitários: Dado os vetores: a=a x i+a y j+a z k b= i+ j+ k a b=(a x i+a y j+a z k) ( i+ j+ k) +a y j i+a y j j+a y j k a b=a x i i+a x i j+a x i k +a z k i+a z k j+a z k k

22 Produto Escalar ( ) Os produtos: a x ; a x ; a x ; a y ;... são produtos convencionais entre números. Já os produtos entre vetores: i i ; i j ; i k ; j i;... são produtos entre vetores e devem seguir a regra de produto escalar. A B=A B cosθ i i= i i cos 0 =1 i j= i j cos 90 =0 i k= i k cos 90 =0 j i= j i cos 90 =0 j j= j j cos0 =1 j k= j k cos 90 =0 k i= k i cos 90 =0 k j= k j cos 90 =0 k k= k k cos0 =1

23 Produto Escalar ( ) Aplicando ao produto: a b=a x i i+a x i j+a x i k +a y j i+a y j j+a y j k +a z k i+a z k j+a z k k a b=a x +a y +a z

24 Produto Escalar ( ) Exemplos: (d) A B A B=(3 i 5 j+3 k) (2i 4 k) A B= ( 4) A B= 6 (e) A (B+C) A (B+C)=(3 i 5 j+3 k) [(2i 4 k)+(6 k+7 j)] A (B+C)=(3 i 5 j+3 k) (2i+7 j+2k) A (B+C)=3 2+( 5) A (B+C)= 23

25 Produto Vetorial (x) Definição: {Módulo; Direção; Sentido} Módulo: A B =A Bsin θ Direção: Sentido: ortogonal ao plano formado pelo vetores A e B regra da mão direita

26 Produto Vetorial (x) Módulo: A B =A Bsin θ A A B sin θ θ A sin θ θ B Projeção ortogonal de A em relação a B B projeção ortogonal de B em relação a A Busca-se o produto entre duas grandezas ortogonais entre si.

27 Produto Vetorial (x) Produto Vetorial via vetores unitários: Dado os vetores: a=a x i+a y j+a z k b= i+ j+ k a b=(a x i+a y j+a z k) ( i+ j+ k) +a y j i+a y j j+a y j k a b=a x i i+a x i j+a x i k +a z k i+a z k j+a z k k

28 Produto Vetorial (x) Módulo dos produtos vetoriais entre os vetores unitários: A B =A Bsin θ i i = i i sin 0 =0 i j = i j sin 90 =1 i k = i k sin 90 =1 j i = j i sin 90 =1 j j = j j sin 0 =0 j k = j k sin 90 =1 k i = k i sin 90 =1 k j = k j sin 90 =1 k k = k k sin 0 =0 Somente os produtos cruzados permanecem.

29 Produto Vetorial (x) Direção ortogonal ao plano formado pelos vetores: i j plano xy ±k j k plano yz ±i k i plano zx ± j Sentido, regra da mão direita i j +k k j i k + i j i j=k j i= k Rotações no sentido anti-horário +

30 Produto Vetorial (x) Aplicando estas regras: a b=a x i i+a x i j+a x i k +a y j i+a y j j+a y j k +a z k i+a z k j+a z k k a b=0+a x k+a x ( j) +a y ( k)+0+a y i +a z j+a z ( i)+0 k + i j a b=(a y a z )i+(a z a x ) j+(a x +a y )k

31 Produto Vetorial (x) Exemplos: (e) A B A B=(3 i 5 j+3 k) (2i 4 k) A B=3 ( 4)i k+( 5) 2 j i+( 5) ( 4) j k+3 2 k i A B= 12( j) 10( k)+20 i+6 j=20 i+18 j+10 k (f) A (B+C) A (B+C)=(3 i 5 j+3 k) (2i+7 j+2 k) A (B+C)=21 i j+6 i k 10 j i 10 j k+6 k i+21 k j A (B+C)=21k 6 j+10 k 10 i+6 j 21i A (B+C)= 31 i+31 k

32 Exercícios Exemplos: A=3 i 5 j+3 k B=2i 4 k C=6 k+7 j (d) (e) (f) (g) (h) (i) A B= 6 A (B+C)= 23 A B=20 i+18 j+10 k A (B+C)= 31 i+31 k A(B C)= 72i+120 j 72 k A (B C)=186