Vetores de força. Objetivos da aula. Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.

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1 Objetivos da aula Vetores de força Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor. Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre outro. slide 1

2 Escalares e vetores Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente especificada por sua intensidade. Exemplos de quantidades escalares: Comprimento Massa Tempo slide 2

3 Escalares e vetores Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade e uma direção para sua completa descrição. Exemplos de vetores: Força Posição Momento slide 3

4 Multiplicação por um escalar Operações vetoriais slide 4

5 Adição de vetores Operações vetoriais Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da adição. Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo: slide 5

6 Adição de vetores Operações vetoriais No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar R = A + B: slide 6

7 Operações vetoriais Subtração de vetores R' = A B = A + ( B) slide 7

8 Determinando uma força resultante Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção. slide 8

9 Determinando as componentes de uma força Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas componentes para estudar seu efeito em duas direções específicas. As componentes da força F u e F v são estabelecidas simplesmente unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v. slide 9

10 Procedimento para análise Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidos da seguinte maneira: Lei do paralelogramo: Duas forças componentes, F 1 e F 2 se somam conforme a lei do paralelogramo, dando uma força resultante F R que forma a diagonal do paralelogramo. slide 10

11 Procedimento para análise Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao longo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade da força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as componentes, F u e F v. slide 11

12 Trigonometria Redesenhe metade do paralelogramo para a adição triangular extremidade-paraorigem das componentes. Procedimento para análise Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada pela lei dos cossenos, e sua direção, pela lei dos senos. As intensidades das duas componentes de força são determinadas pela lei dos senos. slide 12

13 Adição de um sistema de forças coplanares Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos eixos x e y, as componentes são chamadas de componentes retangulares. Estas componentes podem ser representadas utilizando: notação escalar. notação de vetor cartesiano. slide 13

14 Notação escalar Quando as componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser determinadas por: No entanto, no lugar de utilizar o ângulo θ, como o triângulo abc e o triângulo maior sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece: slide 14

15 Notação vetorial cartesiana Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j. Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) F x e F y, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano. slide 15

16 Resultante de forças coplanares Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo: slide 16

17 Resultante de forças coplanares Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada como um vetor cartesiano, ou seja, F 1 = F 1 x i + F 1 y j F 2 = F 2 x i + F 2 y j F 3 = F 3 x i F 3 y j O vetor resultante é, portanto, F R = F 1 + F 2 + F 3 = F 1 x i + F 1 y j F 2 x i + F 2 y j + F 3 x i F 3 y j = (F 1 x F 2 x + F 3 x) i + (F 1 y + F 2 y F 3 y) j = (F R x) i + (F R y) j slide 17

18 Se for usada a notação escalar, temos então ( +) (+ ) Resultante de forças coplanares F R x=f 1 x F 2 x+f 3 x F R y=f 1 y+f 2 y F 3 y As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja, Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição vetorial. slide 18

19 Resultante de forças coplanares Pelo esquema, a intensidade de F R é determinada pelo teorema de Pitágoras, ou seja, Além disso, o ânguloθ, que especifica a direção da força resultante, é determinado através da trigonometria: slide 19

20 Pontos importantes A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem decompostas ao longo dos eixos. A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação forma com um dos eixos. A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j. As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica das componentes de todas as forças coplanares. A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a direção é determinada por meio da trigonometria. slide 20

21 Vetores cartesianos As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro representados na forma de um vetor cartesiano. Sistema de coordenadas destro Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z, quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo. slide 21

22 Componentes retangulares de um vetor 3D Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes, como: e depois A = A + A z A = A x + A y. Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado pela soma vetorial de suas três componentes retangulares, A= A x + A y + A z slide 22

23 Componentes retangulares de um vetor 3D A = A x i + A y j + A z k Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente, simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em três dimensões. slide 23

24 Componentes retangulares de um vetor 3D É sempre possível obter a intensidade do vetor A, desde que ele seja expresso sob a forma de um vetor cartesiano. temos: slide 24

25 Direção de um vetor cartesiano 3D A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenadosα (alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre A e os eixos x, y, z positivos, desde que sejam concorrentes na origem de A. slide 25

26 Direção de um vetor cartesiano 3D Para determinarmosα,βeγ, vamos considerar as projeções de A sobre os eixos x, y, z. Os ângulos estão nos planos de projeção. slide 26

27 Direção de um vetor cartesiano 3D Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor unitário u A na direção de A. Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = A x i + A y j + A z k, então para que u A tenha uma intensidade unitária e seja adimensional, A será dividido pela sua intensidade, ou seja, vemos que as componentes i, j, k de u A representam os cossenos diretores de A, ou seja, u A =cosαi+cosβj+cosγk slide 27

28 Direção de um vetor cartesiano 3D Existe uma relação importante entre os cossenos diretores: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como: A= A u A A= A cos α i + A cos β j+ A cos γ k A= A x i+ A y j + A z k A direção de A também pode ser especificada usando só dois ângulos:θeϕ slide 28

29 Pontos importantes A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas em três dimensões. A intensidade de um vetor cartesiano é dada por A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção coordenadosα, β, γ que o vetor forma com os eixos x, y, z positivos, respectivamente. As componentes do vetor unitário u A = A/A representam os cossenos diretoresα,β,γ. Apenas dois dos ângulosα,β, γ precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulos θ e ϕ. Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por decomposição vetorial usando trigonometria. Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes (que se interceptam em um ponto), expresse cada força como um vetor cartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as forças do sistema. slide 29

30 Coordenadas x, y, z Vetor posição As coordenadas do ponto A são obtidas a partir de O, medindo-se x A = +4 m ao longo do eixo x, depois y A = +2 m ao longo do eixo y e, finalmente, z A = 6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, 6 m). De modo semelhante, as medidas ao longo dos eixos x, y, z desde O até B resultam nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, 1 m, 4 m). slide 30

31 Vetor posição Se r estende-se da origem de coordenadas O até o ponto P (x, y, z), então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como: slide 31

32 Vetor posição Observe como a adição vetorial das três componentes produz o vetor r. slide 32

33 Vetor posição Na maioria dos casos, o vetor posição podem ser direcionado de um ponto A para um ponto B no espaço. Também podemos obter essas componentes diretamente. slide 33

34 Produto escalar O produto escalar dos vetores A e B, escrito A Belido A escalar B, é definido como o produto das intensidades de A e B e do cosseno do ânguloθentre eles. Expresso na forma de equação, A B = AB cos θ slide 34

35 Propriedades do produto escalar 1. Lei comutativa: A B = B A 2. Multiplicação por escalar: a (A B) = (aa) B = A (ab) 3. Lei distributiva: A (B + D) = (A B) + (A D) slide 35

36 Formulação cartesiana do produto escalar Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e B expressos na forma de um vetor cartesiano, teremos: A B = (A x i + A y j + A z k) (B x i + B y j + B z k) = A x B x (i i) + A x B y (i j) + A x B z (i k) + A y B x (j i) + A y B y (j j) + A y B z (j k) + A z B x (k i) + A z B y (k j) + A z B z (k k) Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final: A B = A x B x + A y B y + A z B z slide 36

37 Aplicações O produto escalar tem duas aplicações importantes na mecânica. O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam. As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha. A a = A cos θ = A u a slide 37

38 Pontos importantes O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor em uma direção especificada. Se os vetores A e B são expressos na forma de vetores cartesianos, o produto escalar será determinado multiplicando-se as respectivas componentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente os resultados, ou seja, A B = A x B x + A y B y + A z B z. Da definição do produto escalar, o ângulo formado entre as origens dos vetores A e B éθ=cos 1 (A B/AB). A intensidade da projeção do vetor A ao longo de uma linha, cuja direção é especificada pelo vetor unitário u a, é determinada pelo produto escalar A a = A u a. Exemplos e exercícios slide 38

39 Exemplo 1 Considerando que θ = 60 0 e que T = 5 kn determine a magnitude da força resultante e sua direção slide 39

40 Exemplo 1 slide 40

41 Exemplo 2 Decomponha as forças F 1 e F 2 nas direções u e v. determine os valores destas componentes. Para F 1 teremos: slide 41

42 Exemplo 2 Para F 2 : slide 42

43 resolver 1. Três cabos puxam uma tubulação de forma a criar uma força resultante de 1800 N. Se dois cabos estão submetidos a forças conhecidas, como indicado na figura, determine o ângulo θ do terceiro cabo de forma que a magnitude da força F seja mínima. Todas as forças se encontram no plano x-y. QualéovalordaFmínima? 2. Se a magnitude da força resultante no suporte da figura é de 600 N e sua direção medida a partir do eixo positivo x na direção horária é 30 o, qual a magnitude da F 1 e qual é sua direção φ? 3. Determine a magnitude e a direção (os ângulos coordenados ou diretores) da força resultante no suporte da figura. slide 43

44 resolver 4. Se a força resultante atuando no suporte é F R = {-300 i j k} determine a magnitude e os ângulos diretores def 5. O candelabro é suportado por três braços com correntes congruentes no ponto O. se a força resultante em O e de 650 N direcionada segundo o eixo negativo z, determine a força emcadaumdostrêsbraços. 6. Uma torre é mantida no seu lugar por três cabos. Se a força que atua em cada cabo é indicada, determine os ângulos diretores α, β, γ da força resultante. Considere x = 20 m e y = 15m slide 44

45 resolver 7.DetermineamagnitudedacomponentedaforçaF AB atuandonadireçãodoeixoz. slide 45