Física B - Aula 3 Grandezas Escalares e Vetoriais

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1 Física B - Aula 3 Grandezas Escalares e Vetoriais Na Física tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais. Grandezas Escalares A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza física escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, ), a temperatura (por exemplo ), o volume (, por exemplo), a densidade (para a água, ), a pressão ( ), a energia (por exemplo ) e muitas outras. Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de operações algébricas comuns, arredondando-se quando necessário. Grandezas Vetoriais Dada a velocidade instantânea de um móvel qualquer (por exemplo, um carro a ), constatamos que apenas essa indicação é insuficiente para dizermos a direção em que o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma grandeza vetorial. Para uma grandeza física vetorial ficar totalmente caracterizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ) e o módulo ou intensidade, por ou simplesmente por. A grandeza física vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a direção da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicação de seu módulo ou intensidade). Tal representação é denominada vetor. No exemplo anterior do carro, poderíamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade, de módulo, na direção norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantânea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 7.1. Figura 7.1: Exemplo de representação vetorial

2 Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a direção e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicação utilizando um vetor (veja a figura 7.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que representa. Para melhor entendermos o significado e a representação de um vetor, observe a figura 7.3. Figura 7.2: A reta, que contém o vetor, indica a direção e a seta indica o sentido Figura 7.3: Representação de algums vetores Na figura de cima os vetores representados possuem mesma direção e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma direção são paralelos, o que não garante que tenham o mesmo sentido. Soma de Vetores Paralelos Quando os vetores tem a mesma direção, podemos determinar o módulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus módulos. Observe: Figura 7.4: De acordo com a convenção adotada, o módulo do vetor será. Os vetores, e possuem a mesma direção (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores e são positivos e o vetor é negativo. O módulo do vetor soma,, é dado por

3 Se obtermos um valor positivo para, isso significa que seu sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é horizontal para a esquerda. Vetores Perpendiculares Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto e sofre um deslocamento no sentido leste, atingindo um ponto e, em seguida, um deslocamento no sentido norte, atingindo um ponto (veja a figura 7.5) Figura: O deslocamento = +. Podemos notar facilmente que o deslocamento, de para, e o, de para, equivalem a um único deslocamento,, de para. Desta forma, o deslocamento é a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos e, ou seja, Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 7.6.

4 Figura: O vetor é a resultante ou soma vetorial de e. Os vetores e tem como vetor soma resultante o vetor. É crucial notar que a colocação do vetor na origem ou na extremidade do vetor não altera o vetor soma. Deve-se observar que os vetores, e formam um triângulo retângulo, em que é a hipotenusa e são catetos. Para obtermos o módulo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pitágoras: Soma de Vetores A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direções quaiaquer não apresenta muita diferença. Para um móvel, partir de e atingir num deslocamento e, em seguida, atingir num deslocamento equivale a partir de e atingir num deslocamento (veja figura 7.7). Desta forma, Figura: O deslocamento equivale aos deslocamentos e.

5 Na determinação do módulo do vetor resultante, não podemos aplicar o teorema de Pitágoras, tendo em vista que o ângulo entre e não é reto ( ). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 7.8. Figura: A diagonal do paralelogramo, cujos lados são os vetores e. Os vetores e formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante. De acordo com a regra do paralelogramo, se e formam entre si um ângulo, o módulo do vetor resultante será dado pela expressão: Decomposição de Vetores Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor, obtêm-se outros dois vetores e tal que (veja a figura 7.9). Figura: O vetor, sua componente horizontal e vertical.

6 Figura: O vetor e seus componentes e. O vetor pode ser deslocado para a extremidade do vetor de tal forma que o vetor e seus vetores componentes e formem um triângulo retângulo (figura 7.10). Aplicando a trigonometria ao triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes (horizontal) e (vertical) de em função do ângulo. Desta forma, no triângulo rachurado da figura 7.10, temos onde é o módulo da componente horizontal do vetor. Temos ainda onde é o módulo da componente vertical do vetor. Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por e seus componentes e :

7 Pense um Pouco! Qual a condição para que a soma de dois vetores seja nula? O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à soma de seus módulos? Quando? O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê? Exercícios de Aplicação 1. Um móvel desloca-se no sentido oeste-leste, e em seguida, no sentido norte-sul. a) Represente esquematicamente esses deslocamentos. b) Determine o módulo do deslocamento resultante. 2. Na figura,. Determine o módulo da resultante de e. (Dado: = - 0,50.) 3. Um projétil é atirado com velocidade de fazendo um ângulo de com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil. Exercícios Complementares 4. Na figura abaixo estão representadas duas forças:, de módulo e, de módulo, formando entre si um ângulo. Determine a força resultante para o sistema de forças mostrado.

8 5. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor é e que um dos componentes tem módulo igual a, determine o módulo do vetor correspondente ao outro componente. 6. Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que forma com a horizontal com uma velocidade de (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal,, e vertical,, dessa velocidade. (Dados: ) 7. Um avião voa no sentido sul-norte com uma velocidade de. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade, no sentido sudoeste-nordeste. a) Faça um esquema gráfico representando a velocidade do avião e do vento. b) Determine o módulo da velocidade resultante. (Dados: ).

9 08. (UnB) São grandezas escalares todas as quantidades físicas a seguir, EXCETO: a) massa do átomo de hidrogênio; b) intervalo de tempo entre dois eclipses solares; c) peso de um corpo; d) densidade de uma liga de ferro; e) n.d.a. RESPOSTA: C 09. (UEPG - PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza: a) escalar b) algébrica c) linear d) vetorial e) n.d.a. RESPOSTA: D 10. (UFAL) Considere as grandezas físicas: I. Velocidade II. Temperatura III. Quantidade de movimento IV. Deslocamento V. Força Destas, a grandeza escalar é: a) I b) II c) III d) IV e) V RESPOSTA: B 11. (CESGRANRIO) Das grandezas citadas nas opções a seguir assinale aquela que é de natureza vetorial: a) pressão b) força eletromotriz c) corrente elétrica d) campo elétrico e) trabalho RESPOSTA: D 12. (FESP) Num corpo estão aplicadas apenas duas forças de intensidades 12N e 8,0N. Uma possível intensidade da resultante será: a) 22N b) 3,0N c) 10N d) zero e) 21N RESPOSTA: C 13. (FUND. CARLOS CHAGAS) O módulo da resultante de duas forças de módulos F 1 = 6kgf e F 2 = 8kgf que formam entre si um ângulo de 90 graus vale: a) 2kgf b) 10kgf c) 14kgf d) 28kgf e) 100kgf

10 RESPOSTA: B 14. (INATEL) Dois corpos A e B se deslocam segundo trajetória perpendiculares, com velocidades constantes, conforme está ilustrado na figura adiante. As velocidades dos corpos medidas por um observador fixo têm intensidades iguais a: V A = 5,0 (m/s) e V B = 12 (m/s). Quanto mede a velocidade do corpo A em relação ao corpo B? RESOLUÇÃO: 13 m/s 15. (UFAL) Uma partícula está sob ação das forças coplanares conforme o esquema abaixo. A resultante delas é uma força, de intensidade, em N, igual a: a) 110 b) 70 c) 60 d) 50 e) 30 RESPOSTA: D 16. (ACAFE) Os módulos das forças representadas na figura são F 1 = 30N, F 2 = 20 N e F 3 = 10N. Determine o módulo da força resultante: a) 14,2 N b) 18,6 N c) 25,0 N d) 21,3 N e) 28,1 N RESPOSTA: D

11 17. Um projétil é lançado com uma velocidade de módulo 20 m/s e formando com o plano horizontal um ângulo de 60. Calcule os componentes horizontal e vertical da velocidade. RESOLUÇÃO: V x = 10m/s