Expressão cartesiana de um vetor

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1 Expressão cartesiana de um vetor Seja o vetor : Todo vetor em três dimensões pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de base

2 Multiplicação de vetores Expressões analíticas para multiplicação de vetores. Produto Escalar Produto escalar de dois vetores e é o produto das intensidades dos vetores pelo cosseno do ângulo θ entre eles. Lê-se escalar e escreve-se: O produto escalar de dois vetores não é vetor, é um escalar (número). O produto escalar segue as seguintes propriedades:

3 Multiplicação de vetores O produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado do módulo do vetor, e equivale ao quadrado da intensidade do vetor. Se Como consequência, para os vetores de base temos que: Dois vetores e são perpendiculares ou ortogonais entre si, se, pois neste caso, θ =90 o, ou seja:

4 Multiplicação de vetores Renato Semmler Condição de Ortogonalidade Como consequência, para os vetores de base temos que:

5 Multiplicação de vetores A expressão cartesiana do produto escalar decorre da propriedade distributiva. Sejam dados os vetores e : Exceto os da diagonal principal, os termos são todos nulos. Sendo, resulta: O produto escalar aplica-se, por exemplo, no cálculo do ângulo entre dois vetores, no cálculo da projeção de um vetor sobre um eixo, no cálculo do trabalho, etc.

6 Aplicação: Lei dos cossenos Renato Semmler y Soma vetorial 0 x

7 Multiplicação de vetores Renato Semmler Produto Vetorial, ou Produto vetorial de dois vetores e é um vetor ortogonal aos vetores e, e possui módulo dado por: onde θ é o ângulo entre os vetores e sendo. Lê-se vetor. O produto vetorial de dois vetores é um vetor. O produto vetorial segue as seguintes propriedades:

8 Multiplicação de vetores Renato Semmler O produto vetorial de um vetor por ele mesmo é o vetor nulo. Dois vetores não nulos e são paralelos se o produto vetorial entre eles for igual a zero. Se o vetor é paralelo ao vetor ou Como consequência, para os vetores de base temos que: Podemos ainda verificar os seguintes produtos vetoriais para os vetores de base:

9 Multiplicação de vetores Renato Semmler A expressão cartesiana do produto vetorial decorre da propriedade distributiva. Sejam dados os vetores e : Os termos da diagonal principal são todos nulos. Sendo os demais termos definidos na página anterior, podemos escrever:

10 Multiplicação de vetores Renato Semmler Esse resultado pode ser colocado sob a forma: e pode ser interpretado como sendo a expansão de um determinante: O módulo do produto vetorial é um escalar que pode ser interpretado como a área de um paralelogramo. O produto vetorial aparece na mecânica, especialmente com relação a momentos e velocidades angulares.

11 Multiplicação de vetores Renato Semmler o sentido do vetor é dado pela regra da mão direita.

12 Vetores - exercícios 1) Determine a resultante dos vetores e mostrados na figura. y Solução: O vetor resultante é obtido pela regra do paralelogramo: y x θ x 2) Sendo s 1 = 4 unidades e s 2 = 3 unidades, determine o módulo e a direção do vetor resultante. Solução: unidades O vetor resultante apresenta um módulo igual a 5 unidades na direção que forma um ângulo de 37 o com o eixo x (norte do leste).

13 Vetores - exercícios Renato Semmler 3) Três forças que atuam sobre um ponto são representadas pelos vetores,, e. Determine o módulo e a direção do vetor. Solução: O módulo é igual a N z θ y O vetor não tem componente na direção x. Está no plano yz.

14 Vetores - exercícios Renato Semmler 4) Considere o vetor. a) Determine o módulo do vetor. b) Qual o módulo da projeção do vetor no plano xy? c) Sendo, determine o produto escalar entre e. d) Determine o produto vetorial entre e.

15 Vetores - exercícios 5) Mostre que a área de um paralelogramo, cujos lados são formados pelos vetores e, é dada por. b h θ A área do paralelogramo mostrado na figura é dada por Área = b h. Da figura temos que e, Assim, a área do paralelogramo pode ser escrita como. Como, temos que

16 Vetores - exercícios 6) Se uma pessoa caminha 1 km para o norte, 5 km para oeste, 3 km para o sul, e 7 km para o leste, determine o vetor deslocamento e o seu respecti- vo módulo. y norte d x =2km d y =2km d 2 =5km d 1 =1km leste oeste d 3 =3km d d x x d y d 4 =7km sul e

17 Vetores - exercícios Outro método: y norte d 2 =5km oeste d 3 =3km d 1 =1km d leste x d 4 =7km sul e

18 Vetores - exercícios 7) Um avião está decolando, com uma velocidade constante de 200m/s, em uma linha reta que forma um ângulo de 20º com a horizontal. Determine os módulos das componentes horizontal e vertical dessa velocidade. y x Obs.:

19 Vetores - exercícios 8) Um piloto amador tenta dirigir um avião rumo norte com uma velocidade de 120 km/h, mas existem fortes rajadas de vento vindas do leste a 80km/h. Qual é a velocidade resultante do avião?