Vetores Forças Cap. 2

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João Henrique Tomé
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1 Objetivos MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro. Prof Dr. Cláudio Curotto Adaptado por: Prof Dr. onaldo Medeiros-Junior TC0 - Mecânica Geral I - Estática.9 Produto Escalar Definição: O produto escalar define um método para multiplicar dois vetores. O produto escalar pode ser usado para encontrar o angulo entre dois vetores..9 * Propriedades da Operação Lei comutativa: A. B = B. A Multiplicação por escalar: a (A. B) = (a A). B = A. (a B) = (A. B)a Lei distributiva: A. (B + D) = (A. B) + (A. D) TC0 - Mecânica Geral I - Estática TC0 - Mecânica Geral I - Estática 4.9 * Operações com Vetores Cartesianos Vetores unitários i. i = ()()(cos0 ) = i. j = j. i = ()()(cos90 ) = 0 i. k = k. i = ()()(cos90 ) = 0 j. j = ()()(cos0 ) = j. k = k. j = ()()(cos90 ) = 0 k. k = ()()(cos0 ) =.9 * Operações com Vetores Cartesianos A. B = (A x i + A y j + A z k). (B x i + B y j + B z k) = A x B x (i.i) + A x B y (i.j) + A x B z (i.k) + A y B x (j.i) + A y B y (j.j) + A y B z (j.k) + A z B x (k.i) + A z B y (k.j) + A z B z (k.k) i. i = j. j = k. k = i. j = i. k = j. k = 0 TC0 - Mecânica Geral I - Estática 5 A. B = A x B x + A y B y + A z B z Portanto, para calcular o produto escalar de dois vetores cartesianos, multiplicam-se suas componentes x, y, z correspondentes e somamse esses produtos algebricamente. Observe que o resultado será um escalar negativo ou positivo. TC0 - Mecânica Geral I - Estática 6

2 . Ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam (concorrentes). Obtendo os componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha A projeção de A em aa (na direção de u) é A A projeção de A na linha a aa é A A. B = A x B x + A y B y + A z B z A.B AB - = cos TC0 - Mecânica Geral I - Estática 7 A partir de um vetor unitário u na direção aa, como determinar A, A e A? TC0 - Mecânica Geral I - Estática 8 Obtendo A : A = (A) (cos) A. u = (A) (u) (cos) = (A) () (cos) = (A) (cos) A = A. u Se A > 0 A tem a mesma direção de u Se A < 0 A tem direção oposta de u A = A u = (A.u)u Obtendo A : A = A + A A = A - A Existem dois métodos para calcular A () A () calcule ; = A sin A = A A = cos A.u A TC0 - Mecânica Geral I - Estática 9 TC0 - Mecânica Geral I - Estática 0 Exemplo.C Determine o ângulo entre os dois vetores. Exemplo.C - Solução Vetores Posição: { } { 3 4 } m r = (3 0) i + ( 4 0) j+ (0 0) k m r = i j r = 3 + ( 4) r = 5 m TC0 - Mecânica Geral I - Estática { } { 6 3 } m r = ( 0) i + (6 0) j + ( 3 0) k m r = i + j k r = ( 3) r = 7 m TC0 - Mecânica Geral I - Estática

3 Exemplo.C - Solução Pontos importantes = A x B x + A y B y + A z B z Ângulo entre dois vetores: r. r = (3i 4 j).(i + 6j 3 k) r. r = (3)() + ( 4)(6) + (0)( 3) r. r = 8m r. r = cos r r 8 = (5)(7) = cos TC0 - Mecânica Geral I - Estática 3 TC0 - Mecânica Geral I - Estática 4 Problema.D Problema.D Se F = {6i +0j 4k} N, determine o módulo da projeção de F ao longo do eixo do poste e da perpendicular a ele. Diagrama F F F = F. u F = {6 i + 0j 4 k}n F F TC0 - Mecânica Geral I - Estática 5 TC0 - Mecânica Geral I - Estática 6 u Problema.D - Solução ( ) r = i + 4j+ 4 + tan 60 k r = i + 4j+ 7, 7460k r r = r 4 7, , 94 = + + = 43 m r u = u = 0, 36i + 0, 447j + 0,86603k r TC0 - Mecânica Geral I - Estática 7 Problema.D - Solução F = {6 i + 0j 4 k}n u = 0, 36i + 0, 447j+ 0,86603k Módulo da projeção de F ao longo do eixo do poste é: F = F. u F = {6 i + 0j 4 k}.{ 0, 36i + 0, 447j + 0,86603k} F = (6)( 0, 36) + (0)( 0, 447) + ( 4)( 0,86603) F = 4,07456 F = 4,07 N TC0 - Mecânica Geral I - Estática 8 3

4 Problema.D - Solução Projeção de F perpendicular ao eixo do poste é F F = F F F = {6 i + 0j 4 k}n F = ( 4) = F = 3,5 N F = 4,0746 N 55 Problema.E As duas forças F e F atuam no gancho. Determine o módulo e a direção da menor força F 3 tal que a força resultante das três forças tenha um módulo de 0 lb. F = 55 4, 0746 F = 3, N TC0 - Mecânica Geral I - Estática 9 TC0 - Mecânica Geral I - Estática 0 Problema.E - Solução F 3 =? (menor força) =? F = 0lb Força mínima Determinar a direção para que o módulo da força F seja mínimo. F = F + F + F = ( F + F ) + F = F + F 3 3, 3 F F F ϴ F F 3 é mínimo quando F, e F 3 tem a mesma direção = ϴ TC0 - Mecânica Geral I - Estática TC0 - Mecânica Geral I - Estática Força mínima Problema.E - Solução Determinar a direção para que o módulo da força F seja mínimo. F F ϴ < F ϴ > F = ϴ F F 0lb F =F +F 5 4 F lb F = F, + F 3 = 0 lb TC0 - Mecânica Geral I - Estática 3 F 3min = 0 - F, TC0 - Mecânica Geral I - Estática 4 4

5 Problema.E - Solução F, = F + F F = 5i 3 4 F = 0 i + 0 j 5 5 F = 6i + 8j ( ) ( ) F = F + F = i + 8 j = i + 8j TC0 - Mecânica Geral I - Estática 5 Problema.E - Solução F = + 8 = 3, 60 lb = tan = 36-8 ( ) ( ) F = F + F = i + 8 j = i + 8j F 3min = 0 - F, ( F ) = 0 3,60 3 min ( F ) = 6, 40 lb 3 min F, = i + 8J 8 ϴ x TC0 - Mecânica Geral I - Estática 6 y 5

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