PROGRAMA DE NIVELAMENTO ITEC/PROEX - UFPA EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR CONTEÚDO: VETORES

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1 PROGRAMA DE NIVELAMENTO ITEC/PROEX - UFPA EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR CONTEÚDO: VETORES

2 DURANTE AS AULAS DE VETORES VOCÊ APRENDERÁ: Diferença entre grandezas escalares e vetoriais Somar e subtrair vetores graficamente; O significado de componentes de um vetor e sua utilização; O que são vetores unitários, características principais e como aplicá-los. A utilizar e compreender as formas de multiplicação de vetores.

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4 PERGUNTAS PRELIMINARES: O que é um vetor? O que um vetor representa? Quais as ferramentas necessárias eu preciso saber para trabalhar com um vetor? Qual a aplicação de vetores na engenharia?

5 GRANDEZA ESCALAR: São grandezas físicas em que apenas o seu valor numérico, com uma unidade correspondente, é o suficiente para fornecer uma informação completa. EXEMPLO DE GRANDEZA ESCALAR: Massa, Tempo, Energia,...

6 GRANDEZA VETORIAL: São as grandezas físicas que não podem ser descritas apenas por um único numero com unidade, porém são representadas de uma forma diferenciada, descrita por um módulo ( que indica a quantidade ou o tamanho ), juntamente com uma direção e sentido, no espaço. EXEMPLO DE GRANDEZAS VETORIAS: Deslocamento, Força, Torque,...

7 IMPORTANTE! Grandezas vetoriais necessitam de mais informação do que grandezas escalares. Essas informações são: direção, sentido e módulo. Grandezas vetoriais precisam de uma orientação espacial. Vetores se combinam com regras bem definidas.

8 Vetores paralelos: possuem mesma direção e sentido, possuindo ou não mesmo módulo. Vetores antiparalelos: possuem mesma direção, sentidos opostos possuindo ou não mesmo módulo.

9 SOMA VETORIAL: Propriedade comutativa: a + b = b + a Lei dos cossenos: a + b 2 = a 2 + b a. b. cos α α

10 SOMA VETORIAL Lei associativa: ( a + b) + c= a + (b + c) y c a b x

11 SOMA VETORIAL-CASOS PARTICULARES Soma de vetores paralelos a c = a + b b Soma de vetores antiparalelos a c = a + b b

12 SOMA VETORIAL- CASOS PARTICULARES a + b = a ² + b ²

13 VERIFICAR DIFERENTES TIPOS DE SOMA VETORIAL.

14 . Exemplo: De acordo com os vetores da figura 2.6, mostrar, num gráfico em escala, um representante do vetor a b, b a e b a.

15 (10º QUESTÃO DA APOSTILA) Uma pessoa caminha do seguinte modo: 3,1 km para o norte, depois 2,4 km para oeste e, finalmente, 5,2 km para o sul. a) Construa o diagrama vetorial que representa este movimento. b) Que distância um pássaro deveria voar, em linha reta, e em que direção, de modo a chegar ao mesmo ponto final?

16 Uma componente de um vetor é a projeção do vetor sobre um eixo! Qual eixo? Perceba que precisamos definir esse eixo! Vamos estabelecer um sistema de referência de eixos coordenados (sistema de coordenadas). Em um sistema cartesiano normalmente a abscissa (horizontal) é o eixo x(coordenada x) e a ordenada (vertical) é designada pelo eixo y (coordenada y). Essa escolha é a mais usual, porém não é uma regra obrigatória. IMPORTANTE! Só faz sentido falar em componentes de um vetor uma vez que o sistema de coordenadas em que o vetor será decomposto já tenha sido escolhido de maneira explícita.

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18 a x = a cosθ a y = a senθ ATENÇÃO Somente a projeção ortogonal ao eixo (ou seja, perpendicular ao eixo) corresponde à componente do vetor. a = a x ² + a y ² tanθ = a y a x

19 (QUESTÃO ADAPTADA) Quais são as componentes x e y do vetor a? Seja a = 7,1 m e o ângulo θ = 45.

20 (QUESTÃO ADAPTADA) Quais são as componentes x e y do vetor a? Seja a = 8,0 m e o ângulo θ = 60.

21 Encontre as componentes a x e a y do vetor a na figura abaixo. a

24 Qual é a melhor maneira de resolver o problema? b y x a

25 Qual é a melhor maneira de resolver o problema? y y b b x x a a

26 Qual é a melhor maneira de resolver o problema? y y y b b b x x a a a

27 (QUESTÃO ADAPTADA)Quais os sinais das componentes x de a, b e c na Figura abaixo? (b) Quais são os sinais das componentes y de a, b e c? (c) Quais são os sinais das componentes x e y de a + b + c? Dados: a = 8 N, b = 7 N e c = 10 N.

28 Um VETOR UNITÁRIO também conhecido como VERSOR é um vetor que possui um módulo unitário e é adimensional. Notação: i é um vetor unitário adimensional de comprimento 1 que aponta no sentido positivo do eixo dos x. j é um vetor unitário adimensional de comprimento 1 que aponta no sentido positivo do eixo dos y.

29 IMPORTANTE! Para cada coordenada temos um e somente um versor associado. O versor serve para indicar o sentido positivo da coordenada a qual o versor está associado.

30 Uma forma de somar vetores é combinar suas componentes eixo por eixo. Depois de encontrar as componentes do vetor resultante temos as informações necessárias para determinar o vetor resultante. Esse método pode ser utilizado para soma envolvendo uma quantidade qualquer de vetores. Considere os vetores a e b e suas respectivas componentes a x, b x e a y,b y. Logo, podemos escrever os vetores em termos de seus versores da seguinte forma: a = a x i + a y j b = b x i + b y j a + b= (a x + b x )î+ (a y + b y )ĵ

31 ATENÇÃO! Para somarmos vetores pelas suas componentes, devemos somar ou subtrair vetores que estejam na mesma direção ou eixo coordenado! No nosso caso, analisando o eixo x notamos que sobre o eixo encontram-se as componentes a x e b x pois ambas estão orientadas pelo versor i! Devemos estender o mesmo raciocínio para o eixo y. a + b= (a x + b x )î+ (a y + b y )ĵ

32 APRESENTAR A SOMA VETORIAL A PARTIR DAS SUAS COMPONENTES.

33 (26º QUESTÃO DA APOSTILA) Determine a soma de a + b, em termos de vetores unitários para a = 4,0 m i + 3,0 m j e b = ( 13,0 m) i + (4,0 m) j juntamente com o seu módulo e a orientação de a + b relativa a j. Obs.: O símbolo m é expresso nos vetores para denotar que esses possuem dimensão de comprimento.

34 (13º QUESTÃO DA APOSTILA) Determine, utilizando os vetores unitários, a) a soma dos dois vetores a = 4 i + 3 j e b = 3 i + 4 j. b) Quais são o módulo e a direção do vetor a e b?

35 (18ª QUESTÃO DA APOSTILA) Uma força F 1, de módulo igual a 2 N forma um ângulo de 30 com o eixo O x no sentido antihorário. Uma força F 2, de módulo igual a 6 N forma um ângulo de 80 com o eixo O x no sentido anti-horário. Calcule: (a) o módulo F da força resultante; (b) o ângulo formado entre a resultante e o eixo O x.

36 Pode ser feita de três formas: Multiplicação de um vetor por um escalar = vetor Produto escalar: multiplicação de um vetor por um vetor = escalar Produto vetorial: multiplicação de um vetor por um vetor = vetor

37 VETOR MULTIPLICAÇÃO ESCALAR VETOR Existem alguns exemplos como: força e momento linear.

38 Considere um vetor a e um escalar w: a.w = r Características do vetor r: O módulo de r é o módulo que resulta da multiplicação de a e w. A direção de r é a mesma de a. O sentido de r dependerá do sinal de w. A dimensão do vetor r é igual a dimensão do vetor a multiplicada pela dimensão do escalar w.

39 VETOR MULTIPLICAÇÃO VETOR ESCALAR Na física, um exemplo mais conhecido é a grandeza trabalho.

40 O produto entre os vetores a e b tem como resultado um escalar. O produto escalar é escrito como a. b e descrito pela equação: a.b= a b cosθ Propriedades: a.b = b.a comutativa a. b = a x. b x + a y. b y + a z. b z distributiva

41 O conceito de Trabalho é um dos mais importantes da Física. Mede o efeito produzido por uma força F que atua sobre um corpo ao longo de um deslocamento d. O trabalho realizado por essa força é dado pelo produto escalar de F e d. A unidade de trabalho no Sistema Internacional de unidades é 1 Joule = (1 Newton).(metro). Sendo θ o ângulo entre Fe d. W F. d F. d cos

42 Três situações de forças aplicadas sobre um corpo ao longo de um deslocamento retilíneo.

43 (15ª QUESTÃO DA APOSTILA) Um vetor a de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b de módulo igual a 6 unidades apontam para direções que fazem um ângulo de 60 entre si. Determine o produto escalar entre os dois vetores. (27º QUESTÃO DA APOSTILA) O módulo do vetor a é 6,00 unidades, o módulo do vetor b é 7,00 unidades e a. b=14. Qual o ângulo entre a e b?

44 VETOR MULTIPLICAÇÃO VETOR VETOR Na física, um exemplo mais conhecido é a grandeza torque.

45 O produto entre os vetores a e b tem como resultado um vetor. O produto vetorial é escrito como a b e descrito pela equação: c = a b a vetor b Características do vetor c: Módulo determinado pela equação: c = a b senθ

46 A direção do vetor resultante c é perpendicular ao plano definido por a e b. O seu sentido pode ser determinado pela Regra da Mão Direita. Vá de apara bpelo menor percurso angular entre os dois vetores. Quatro dedos da sua mão direita fazem o menor percurso angular de a para b e o dedo polegar estendido indica o sentido do vetor resultante.

47 Módulo : c = a b senθ Propriedade: a b b a não comutativa

48 (24º QUESTÃO DA APOSTILA) Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento, deveria ter caminhado 5,6 km para o norte, em seguida 3,4 km na direção 30 a nordeste medido do norte e por fim 2,3 km fazendo um ângulo de 85 em relação a oeste no sentido anti-horário. Quantos metros e em que direção o explorador deverá seguir em linha reta para chegar ao acampamento?

49 (23º QUESTÃO DA APOSTILA) Um engenheiro eletricista desorientado em uma grande hidrelétrica dirige 3,25 km para o norte, depois 4,75 km para o oeste, por seguinte 1,50 km para o sul e por fim 2,50 km para o leste. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante feito pelo engenheiro eletricista em sua obra.

50 Ache a resultante dos três vetores deslocamentos do desenho por meio do método das componentes. Os módulos dos vetores são A= 5,0 m, B= 5,0 m e C=4,0 m.

51 Se F1 = 300 N e Ɵ = 20, determine a intensidade e a direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo x, da força resultante das três forças que atuam sobre o suporte.

52 (25º QUESTÃO DA APOSTILA) Uma pesquisadora está indo fazer uma pesquisa em uma caverna e para isso ela deve percorrer 180 m para oeste, depois 210 m fazendo um ângulo de 45 em relação a oeste no sentido horário e por fim 280 m fazendo um ângulo de 30 em relação a leste no sentido anti-horário. Depois um quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida, pois esqueceu seu material de pesquisa. Determine o módulo, a direção e o sentido desse quarto deslocamento.

53 Três forças são aplicadas a um objeto, como indicado no desenho. A força F1 possui módulo igual a 21 N e está apontando numa direção 30 à esquerda do eixo positivo de y. A força F2 possui um módulo igual a 15 N e aponta no sentido positivo do eixo x. Qual deve ser o módulo, a direção e o sentido(especificados pelo ângulo Ɵ mostrado no desenho) da terceira força F3, de tal forma que a soma vetorial das três forças seja igual zero? F 1 30 y θ F 2 x F 3