Fundamentos Matemáticos de Computação Gráfica

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1 Fundamentos Matemáticos de Computação Gráfica

2 Fundamentos Matemáticos de CG Vetores e Pontos Matrizes Transformações Geométricas Referências: Mathematics for Computer Graphics Applications. M. E. Mortenson. Second Edition. Computer Graphics using OpenGL. F.S. Hill.

3 Vetores Um vetor v é uma entidade geométrica com magnitude (comprimento) e direção, representado graficamente por um segmento de linha orientado Aplicações em CG? representação de direção (onde está o inimigo, onde está a luz, ou direção perpendicular a um plano) Calcular a incidencia da luz na superficie do objeto

4 Operações sobre Vetores Adição: w = u + v Q v u+v P u R

5 Operações sobre Vetores Adição: w = u + v Subtração: w = u - v Q v u-v u+v P u R

6 Propriedades da Adição de Vetores v + w = w + v (comutativa) u + (v+w) = (u+v) + w (associativa) v + 0 = v (identidade aditiva) Para cada vetor v, existe v tal que v + (-v) = 0 (inverso aditivo)

7 Multiplicação por Escalar v v*2

8 Propriedades da Multiplicação por Escalar (ab) v = a(bv) associativa (a+b)v = av + bv distributiva a(v+w) = av + aw distributiva 1.v = v identidade multiplicativa

9 Espaços Vetoriais Reais Representação de vetores graficamente não é conveniente para uso no computador Necessidade de um formalismo que contém os conceitos básicos de vetores Espaços Vetoriais: Elementos: conjunto não vazio de vetores R 2 = {(x, y) x, y Є R} R 3 = {(x, y, z) x, y, z Є R} R 4 = {(w, x, y, z) w, x, y, z Є R}... R n = {(x 0,...,x n-1 ) x 0,...,x n-1 Є R}

10 Espaços Vetoriais Reais Operações fundamentais: Adição entre vetores Multiplicação de escalares por vetores Propriedades necessárias: fechamento na multiplicação e adição associatividade e comutatividade da adição existência de identidade aditiva existência de inverso aditivo distributividade da multiplicação pela adição distributividade da adição pela multiplicação associatividade da multiplicação identidade da multiplicação

11 Espaços Vetoriais Reais Adição no R 2 (x 0, y 0 ) + (x 1, y 1 ) = (x 0 + x 1, y 0 + y 1 ) Multiplicação por escalar a (x 0, y 0 ) = (ax 0, ay 0 ) Provar que R 2 é um espaço vetorial!

12 Combinações Lineares e Base Vetorial Assuma que temos um conjunto S de n vetores, onde S = {v 0,..., v n-1 } Podemos usar estes vetores para criar um novo vetor v usando a seguinte função: v = a 0 v 0 + a 1 v a n-1 v n-1 onde a 0,..., a n-1 são reais escalares combinação linear Se conseguimos gerar todos os vetores de S a partir de um dado conjunto de vetores, então o conjunto de vetores é chamado de gerador de S

13 Combinações Lineares e Base Vetorial Se um dos vetores do conjunto inicial S é expresso como uma combinação linear dos demais membros de S v i = a 0 v a i-1 v i-1 + a i+1 v i a n-1 v n-1 v i é linearmente dependente Se nenhum dos vetores em S é linearmente dependente dos demais... v o,..., v n-1 são linearmente independentes

14 Conjunto Linearmente Dependente v 0 v 2 v 1 v0 = -1. v v2

15 Base Para um dado espaço vetorial V, podemos achar o conjunto β de vetores linearmente independentes em V que gera V (Base) Mais de uma base pode ser encontrada Todas as bases possuem o mesmo número de elementos dimensão do espaço vetorial Para o R 3, base é composta de 3 elementos Espaço tri-dimensional

16 Base Padrão {e 0, e 1,..., e n-1 } e 0 = (1, 0,..., 0) e 1 = (0, 1,..., 0)... e n-1 = (0, 0,..., 1) Propriedade Fundamental da Base: Para cada vetor v no espaço vetorial V, existe somente uma combinação linear de vetores de β que é igual a v v = a 0 v 0 + a 1 v a n-1 v n-1

17 Abreviatura na representação v = a 0 v 0 + a 1 v a n-1 v n-1 por (a 0, a 1,..., a n-1 ) Exemplo em 3D: Base (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) i j k j v v = xi + yj + zk k i

18 Operações sobre Vetores Adição: v 0 + v 1 = x 0 i + y 0 j + z 0 k + x 1 i + y 1 j + z 1 k = (x 0 + x 1 )i + (y 0 + y 1 )j + (z 0 + z 1 )k Multiplicação por Escalar: av = a(xi + yj + zk) = (ax)i + (ay)k + (az)k

19 Comprimentos de Vetores Norma consiste numa função que associa cada vetor de um espaço vetorial em um número real não negativo. O conceito de norma é estreitamente ligado ao de comprimento do vetor. Norma de um vetor: função com as seguintes propriedades: 1. v 0, e v = 0, se e somente se, v = 0 2. av = a v 3. v + w v + w

20 Exemplo de Normas Distância de Manhattan (norma l 1 ) v l1 = Σ i v i (5,4) (2,2) (0,0) (5,4)-(2,2)=(3,2) (3,2) l1 = = 5

21 Exemplos de Normas Distância Euclideana (norma l 2 ) u = d = sqrt (x 2 + y 2 ) (5,4) (2,3) (0,0) (5,4)-(2,3)=(3,2) (3,2) = sqrt(9 + 4) =

22 Produtos Internos Produtos Internos: Abstração que considera as direções dos vetores Para v e w num Espaço Vetorial Real V, define-se <v,w> como uma função que retorna um real escalar satisfazendo as seguintes propriedades: <v,w> = <w,v> <u+v,w> = <u,v> + <v,w> a<v,w> = <av, w> <v,v> 0 <v,v> = 0 se se somente se v = 0

23 Produto Escalar Tipo particular de produto interno Referenciado por v. w Usa Norma Euclideana Definido como: v. w = v w cos θ Pergunta: Qual seria sua aplicação em CG? Dica:

24 Como calcular o Produto Escalar v-w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos θ w v-w θ v

25 Como calcular o Produto Escalar Lei dos Cossenos v-w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos θ w v-w θ v

26 Como calcular o Produto Escalar v-w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos θ -2 v w cos θ = v-w 2 - v 2 - w 2 w v-w -2 v w cos θ = (v x -w x ) 2 + (v y -w y ) 2 + (v z -w z ) 2 (v x2 +v y2 +v z2 ) (w x2 +w y2 +w z2 ) θ -2 v w cos θ = -2v x w x -2v y w y -2v z w z v w cos θ = v x w x + v y w y + v z w z v

27 Propriedades do Produto Escalar v. v = v. v. cos 0 = v 2 Se o ângulo entre v e w é de 90 o (vetores perpendiculares) o que podemos dizer sobre v. w? = 0

28 Aplicações do Produto Escalar Usar produto escalar como medida de ângulo entre dois vetores: verificar se dois vetores estão apontando na mesma direção verificar se um inimigo está olhando na direção do outro (em jogos) v w 0 w 0.v > 0 w 1 w 1.v = 0 w 2 w 2.v < 0

29 Produto Vetorial Encontrar um vetor ortogonal a outros dois v x w = (y v.z w y w.z v, z v.x w z w.x v, x v.y w x w.y v ) v x w v w

30 Produto Vetorial Encontrar um vetor ortogonal a outros dois v x w = (y v.z w y w.z v, z v.x w z w.x v, x v.y w x w.y v ) w x v v w

31 Produto Vetorial Encontrar um vetor ortogonal a outros dois v x w = (v y w z w y v z, v z w x w z v x, v x w y w x v y ) Área = v x w = v w sen(θ) v v x w θ w Regra da mão direita

32 Propriedades do Produto Vetorial 1. v x w = - w x v 2. u x (v + w) = (u x v) + (u x w) 3. (u + v) x w = (u x w) + (v x w) 4. a (v x w) = (av) x w = v x (aw) 5. v x 0 = 0 x v = 0 6. v x v = 0 i x j = k j x k = i k x i = j

33 Propriedades do Produto Vetorial O vetor unitário i, j e k para uma dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades: i j = k j k = i k i = j Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores pode ser calculado facilmente, sem a necessidade de determinar-se qualquer ângulo. Seja: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k = [a 1, a 2, a 3 ] e b = b 1 i + b 2 j + b 3 k = [b 1, b 2, b 3 ]. Então a b = [a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ]. A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz i x j = k j x k = i k x i = j

34 Encontrando a normal de um plano y x z

35 Exercícios Encontre o ângulo entre os vetores b=(3,4) e c=(5,2)

36 Exercícios Encontre o ângulo entre os vetores b=(3,4) e c=(5,2) b = sqrt ( ) = 5 c = sqrt ( ) = norm(b) = b / b = (3/5,4/5) norm(c) = c / c = (0.9285,.3714) dot (norm(b), norm(c)) = cos(θ) = θ = normalizando... produto escalar

37 Exercícios Quais pares dos seguintes vetores são ortogonais entre si: (2, 1, 1) (-3, 4, 1) (1, -2, 0) (4, 4, 4) (0, -1, 4) (2, 2, 1)

38 Exercícios Quais pares dos seguintes vetores possuem ângulos agudos entre si: (2, 1, 1) (-3, 4, 1) (1, -2, 0) (4, 4, 4) (0, -1, 4) (2, 2, 1)

39 Exercícios Calcule as normais das faces de um tetraedro unitário (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) e (0,0,1) y (0,1,0) (0,0,0) (1,0,0) x (0,0,1) z

40 Exercício pratico Implemente esse exercicio em OpenGL visualizando o tetraedro com os vetores normais y de cada face. (0,1,0) (0,0,0) (1,0,0) x (0,0,1) z Dica: