MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT Suponha que uma força de 1 newtons é aplicada em um objeto ao longo do semi-eixo negativo dos x e que uma força de 5 newtons é aplicada ao longo do semi-eixo positivo dos y. Encontre a intensidade, a direção e o sentido da força resultante. Represente graficamente.. Suponha que um barco está atravessando um rio na direção leste a uma velocidade de quilômetros por hora, enquanto a corrente do rio está fluindo na direção sul a uma velocidade de quilômetros por hora. Encontre a velocidade resultante do barco e desenhe sua direção e sentido.. O vetor u = (0,0,80,10) dá o número de amplificadores, tocadores de CD, alto-falantes e toca-fitas em uma loja. O vetor v = (00,10,80,70) dá o preço (em reais) de cada amplificador, tocador de CD, alto-falante e toca-fitas, respectivamente. O que o produto escalar uv diz para o dono?. Sabendo que o ângulo entre os vetores u=(,1,-1) e v=(1,-1, m+) é π/, determine m. 5. Verifique que: n = <, >+, uv, R. u v u uv v 6. Sejam u e v vetores não-nulos no espaço bi ou tridimensional. a) Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo na figura ao lado, mostre que u v = u + v u v cosθ b) Utilize o item a) e o exercício 5 para mostrar que uv, u v cosθ < >= onde θ é o ângulo compreendido entre u e v. u -v u θ v 0 7. A figura abaixo, apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas, e 5. Encontre as coordenadas dos pontos A, B, C, D e E e determine as componentes dos vetores a) Mostre que o vetor b) Mostre que o vetor AC é combinação linear dos vetores BA e AC não é uma combinação linear dos vetores 8. Considere os vetores u = (1, 1,), v = (, 1,1) e w = (,6, ) : a) Calcule: a.1) u + v a.) u + v a.) 1 w w BC. BA e BE. a.5) ( uww ) AC, b) Encontre dois vetores z e t tais que u= z+ t, z é paralelo a (1,0,1) e t é ortogonal a este último. 9. Encontre o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas faces. 10. Prove que se u é ortogonal a v - w, e v é ortogonal a w - u, então w é ortogonal a u - v. BA e BE.

2 π 11. Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de, determine o ângulo formado pelos vetores: 6 a. u e v; b. u e v 1. Se u 0, é correto cancelar u de ambos os lados da equação u v = u w e concluir que v= w? Explique seu raciocínio. 1. Sejam u = (,1,), v = (,0, 8) e w = (6, 1, ). Encontre escalares c 1 tais que cu 1 + cv + cw = (,0,). 1. Encontre todos os escalares c 1 tais que c 1 (1,,0) + c (,1,1) + c (0,,1) = (0,0,0) 15. Nos itens a e b são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não foritar os axiomas que não se verificam. a. V = : ( a, b ) + (c, d ) = ( a + b, 0) e multiplicação escalar usual b. V = : ( a, b ) + (c, d ) = ( a + b + d) e α (a, b ) = (α a, α b) 16. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais (com a soma e o produto por escalar usuais): a) Matrizes quaisquer de ordem X; b) Polinômios de grau menor ou igual a ; c) Conjunto das funções contínuas de I R em I R. 17. Em cada item deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço do espaço vetorial V. V =, +,.,,, W = xyz R ; x+ y+ z = 0 ; a) ( ) b) V = (, +,., ) R R ( ) R R ( ) c) V = (, +,., ) d) = ( M + ) { } {,, R ; 1 } ; W = xyz x+ y+ z M R W = conjunto de todas as matrizes simétricas, isto é, as matrizes t V,,., R W = conjunto de todas as matrizes com determinante igual a zero; 18. Considere W = {( xyz,, ) R tal que ax+ by+ cz = d, onde a, bcd,, } abc,, A= A R. Para que valores de e d, W é um subespaço vetorial do espaço vetorial R? Interprete geometricamente sua conclusão. 19. Mostre que seguintes subconjuntos do são subespaços do a. {(x, y, z, t) :x-y-z = 0 } b. {(x, y, z, t) :x-y+z = 0 e t = 0 } 0. Sejam os vetores u = (,-, ) e v = (-1,, ) em. a. Escreva w = (7,-11, ) como combinação linear de u e v. b. O vetor (,-5,) pode ser escrito como combinação linear de u e v? Por que? c. Para que valor de k é w = (-8,1, k) uma combinação linear de u e v? d. Encontre condições sobre a, b, e c de modo que (a, b) seja uma combinação linear de u e v. 1. Quais dos subconjuntos seguintes são subespaços vetoriais de M? a b c a) W = ; d = a + b+ c ; 0 d 0 a b c b) W = 0 0 0,d < a + b + c ; 0 d 0

3 . Sejam os vetores u = (-1,, 1), v = (1,, 0) e w = (-,-1, 0). Expressar cada um dos vetores v 1 = (-8,, 1), v =(0,, ) e v = ( 0, 0, 0) como combinação linear de u, v, e w.. Escreva E como combinação linear, se possível, de A = B = C = , , 0 0, onde (i) E = (ii) E = 1 Que conjunto de vetores de M ( R ) que podem ser escritos como combinação linear de A, B e C?. Mostre que (1,1,1), (0,1,1), (0,1,-1) geram o. O que isto significa? 5. Determine condições sobre a, b de modo que (a, b) R pertença ao espaço gerado pelos vetores u = (, 1, 0), v = (1,-1, ) e w = (0,,-). 6. Para qual valor de k o vetor u ( 1,,k ) w = (, 1, 5)? 7. Determine que condições b dos vetores u = ( 1,,) e w = (, 11, ). = em R será uma combinação linear dos vetores v = (,0, ) e a, e c devem satisfazer para que o vetor v ( a, b, c) 8. Mostre que o plano yz, isto é W = {(0, b), b IR } em a. (0,1,1) e ( 0,,-1) b. (0,1,), (0,,) e (0,,1) R é gerado por: = seja combinação linear c. Por que um mesmo plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram W e um conjunto de dois vetores que geram W. 9. Verifique se o vetor u = (1,, ) pertence ao subespaço do R gerado pelos vetores v = (0, 1, ) e w = (1, 0, 1). 0. Verifique se o conjunto C = { ,,, } geram o espaço vet. M 1 ( R ). 1. Mostre que os conjuntos {(1,-1,), (,0,1)} e {(-1,-,), (,,-)} geram o mesmo subespaço vetorial do R.. Determine um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do a. U={(x,y,z) : x - y = 0} b. V={(x,y,z) : x + z = 0 e x - y = 0} c. U V. Encontre um vetor em vetores (1,,) e ( 1,-1,1). R. R que gere a interseção de V e W onde V é o plano xy e W é o espaço gerado pelos. Mostre que a interseção de subespaços é também um subespaço e verifique com um exemplo que a união de subespaços nem sempre é um subespaço. 5. Mostre com um exemplo que a união de dois subespaços de um espaço vetorial não precisa ser necessariamente um subespaço desse espaço.

4 6. Mostre que a união de subespaços de um espaço vetorial V é também um subespaço se, e somente se, um dos subespaços dados está contido no outro. 7. Seja S o subespaço do R definido por S = {(x, y, z, t) R / x + y - z = 0 e t = 0}.Pergunta-se: a. (-1,,, 0) pertence a S? b. (, 1,, 0) pertence a S? c. Determine dois vetores que geram S. Eles são os únicos? Se não, apresente outros! 8. Determine [S], onde S = {(1,,5,),(,,1, ),(,8,, 5) }. 9. Verifique se o vetor p = t t pertence ao subespaço de P gerado por { t 1, t + 1, t}. 0. Determine para que valores de k os vetores do R abaixo são l.i ou l.d. a) u = ( 1,1, ), v = ( 1,,) e w = ( k, 1,1) ; b) u = ( 1, 0, 7), v = (,5, k ), w = ( 0,, ) e ( k,,1) z = ; 1. Suponha que { u, v, w} é um conjunto l.i. Então { u + v u v, u v + w}, é l.i. ou l.d.? Justifique.. Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique (Faça contas somente quando for realmente necessário!) + + P ; a) { x x, x, 5x 7x, x 8, 6x} 5 b) {( 1,0,,0,1 ), ( 0,1,0,,1 ), (,,, 6,5) } c).{(,-1,)} R ; d) {(,-1,0), (-1,,0),(,5,0)} e) {(,1,), (0,0,0), (1,5,)}. Suponha que S = {v 1, v } seja LI mas {v 1, v,w} seja LD. Então w é combinação linear dos vetores de S.. Sejam v 1, v vetores LI de um espaço vetorial V. e suponha que u é uma combinação linear desses vetores, digamos u = α v + α v α v onde os α i são escalares. Mostre que a representação de u 1 1 n n acima é única. Dê um exemplo em mostrando que se o conjunto de vetores for LD então a representação não será única. 5. Prove que o subconjunto S = { v 1, v } de vetores de um espaço vetorial V e LD se, e somente se, existe k inteiro, 1 k n tal que v k é combinação linear dos demais vetores do subconjunto S. 6. Mostre que: a. Se u, v, w são LI então u + v, u + w e v + w são LI. b. Se um conjunto A V contém o vetor nulo então A é LD. c. Se uma parte de um conjunto A V é LD então A é LD. d. Se um conjunto A V é LI, qualquer parte de A é LI

5 5 7. Consideremos no espaço vetorial os vetores u = (1 - a, 1 + a) e v = (1 + a, 1 - a) onde a 0. Mostre que {u, v} é L.I. 8. Mostre que o conjunto {(1, 0, a), (1, 1, a), (1, 1, a )} de vetores do é L.I. se que a 0 e a Se u, v, e w são vetores de um espaço vetorial V tais que u [w] e v [w] mostrar que {u,v} é L.I. 50. Determine uma base e a dimensão do subespaço de 51. Determine uma base e a dimensão dos subespaços vetoriais a. a b c W = ; abc,, ; c b a M R b. W = {( xy, ) ; x y = 0 } R ; c. W = ( 1,, ), ( 0,0,, ) (,, ) ; d. W = {( xyzt,,, ) ; x y = 0 t+ x= z 5 } R e ; M formado por todas as matrizes diagonais. 5. Sendo v 1 = (1, ), determinar v tal que { v1, v} seja base do. 5. Quais dos seguintes conjuntos formam uma base do? Nos que formarem, escrever um vetor genérico do como combinação linear dos elementos desse conjunto. (a) {(1, 0, 1), (0, -1, ),(-, 1, -)} (b) {(, 1, -1), (-1, 0, 1), (0, 0, 1)} (c) {(,, -1), (-, 1, 1), (, 0, 1)} 5. Mostre que 1 1 7,,, é uma base de M ( ) 55. Mostre que os vetores v 1 = (1, 1, 1), v = (1,, ), v = (, 0, ), v = (, -1, 1) geram o e encontrar uma base dentre esses vetores. 56. Determinar o vetor coordenada de v = (6, ) em relação às seguintes bases: (a) {(, 0), (0, )} (b) {(1, ), (, 1)} (c) {(1, 0), (0, 1)} 57. Considere a seguinte base do espaço vetorial B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, -1, 1)}. Determine o vetor coordenada de v em relação à base B se: (a) v = (, -, ) (b) v = (, 5, 6) (c) v = (1,-, 1) 58. Determine uma base de que contenha os seguintes vetores (1, 1, 1, 0), (1, 1,, 1). 59. Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M ( ) a (a) c b ; c = a - b e d = 0 a (b) d c b ; a + d = b + c d

6 6 60. Seja W o subespaço do gerado pelos vetores (1,-, 5,-), (,,1,-) e (,8,-,-5). (i) Encontre uma base e a dimensão de W (ii) Estenda a base de W a uma base do espaço todo (iii) Faça agora o caminho inverso, encontre os vetores da base canônica do que geram W. Qualquer combinação de três vetores da base canônica do vai gerar W? 61. Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução do sistema linear 6. Achar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do : (a) U = {(x, y, z, t) : x - z = 0 e x + y + t = 0} (b) U = {(x, y, z, t) :x y + z = 0} x + y - z + 5t = 0 x - y + z - t = 0. 6x + y + t = 0 6. Em consideremos os seguintes subespaços os subespaços U e V, Em cada item abaixo, determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U + V e U V. (a) U={(x, y, z): x = 0}, V={(x, y, z): y-z = 0} (b) U={(x,y,z) : x + y = x-z = 0} e V=[(1,-1,), (,1,1)], 6. Sejam U e W os subespaços do R gerados por (a) Determine uma base para cada um dos espaços U e W. (b) Determine dim U, dim W, dim ( U W ) e dim (U+W). 65. Sejam U e W os subespaços do { at + bt + ct + d,d = a + b + c} W =. (a) Determine uma base para cada um dos espaços U e W. (b) Determine dim U, dim W, dim ( U W ) e dim (U+W). S R = {(1,1,0, 1),(1,,,0), (,,, 1)} e respectivamente. = {(1,,, ),(,,, ), (1,,, )} P dados por U { at + bt + ct + d,a = b c} = e 66. Quais as coordenadas do vetor v = (1,0,0) em relação à base β = {( 1,1,1),( 1,1,0),(1,0, 1)}? 67. Determine as coordenadas do vetor u=(,-5,) do em relação às seguintes bases: (a) canônica (b) {(1,1,1), (1,,0), (,1,0)} (c) {(1,,1),(0,,), (1,1,)} 68. Quais as coordenadas do vetor p = t t + 1 em relação à base β = { t + 1, t 1, t,}?