14 de março de Dep. de Mecânica Aplicada e Computacional MECÂNICA - MAC Prof a Michèle Farage. Princípios Gerais.

Transcrição

1 MECÂNICA - 14 de março de 2011

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4 Vetor posição Uma outra forma de representar as forças é através do vetor posição. Vetor posição r: é um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro ponto.

5 Vetor posição O vetor posição orientado de A para B, denominado r AB, é definido como: r AB = (X B X A )i + (Y B Y A )j + (Z B Z A )k

6 Vetor posição Vetor de força orientado ao longo de uma reta: Uma força pode ser representada através do vetor unitário - que indica a orientação da força - e da intensidade da força.

7 Vetor posição Para tanto, é necessário: a) Determinar o vetor posição r AB a partir de dois pontos da linha; b) Determinar o vetor unitário que descreve a direção da linha: u AB = r AB /r AB ; c) Multiplicar o vetor unitário pela intensidade da força: F = F u AB ;

8 Exemplo 1 Sabendo que a força que age no cabo DA é de 4kN, pede-se determiná-la na forma vetorial cartesiana.

9 Exemplo 2 Determinar a força resultante no sistema representado na forma escalar (intensidade e ângulos coordenados).

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11 Produto escalar Às vezes, em Estática, é preciso calcular o ângulo entre duas retas ou os componentes de uma força paralela ou perpendicular a uma reta.

12 Produto escalar Às vezes, em Estática, é preciso calcular o ângulo entre duas retas ou os componentes de uma força paralela ou perpendicular a uma reta. em duas dimensões: emprega-se a trigonometria em três dimensões: são necessários métodos.

13 Produto escalar Às vezes, em Estática, é preciso calcular o ângulo entre duas retas ou os componentes de uma força paralela ou perpendicular a uma reta. em duas dimensões: emprega-se a trigonometria em três dimensões: são necessários métodos. Produto escalar: é um método particular para multiplicar dois vetores, e pode ser usado para resolver os problemas acima.

14 Produto escalar Às vezes, em Estática, é preciso calcular o ângulo entre duas retas ou os componentes de uma força paralela ou perpendicular a uma reta. em duas dimensões: emprega-se a trigonometria em três dimensões: são necessários métodos. Produto escalar: é um método particular para multiplicar dois vetores, e pode ser usado para resolver os problemas acima. Definição: A.B é o produto das intensidades de A e B e do cosseno do ângulo formado por eles. A.B = ABcosθ onde 0 o θ 180 o.

15 Propriedades do Produto escalar comutativa: A.B=B.A

16 Propriedades do Produto escalar comutativa: A.B=B.A multiplicação por escalar: αa.b= (αa).b=a.(αb) = A.Bα

17 Propriedades do Produto escalar comutativa: A.B=B.A multiplicação por escalar: αa.b= (αa).b=a.(αb) = A.Bα distributiva: A.(B+D)= (A.B)+(A.D)

18 Exercício proposto Provar que o produto escalar entre dois vetores obedece à lei distributiva.

19 Produto escalar dos vetores unitários de direção Os vetores unitários de direção dos eixos cartesianos são denominados i, j, k. Produto escalar entre os vetores unitários das direções cartesianas: i.i = i.i. cos 0 o = 1 i.j = i.j. cos 90 o = 0 j.j = j.j. cos 0 o = 1 i.k = i.k. cos 90 o = 0 k.k = k.k. cos 0 o = 1 j.k = j.k. cos 90 o = 0

20 Produto escalar de vetores cartesianos A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k A.B = (A x i + A y j + A z k).(b x i + B y j + B z k) = A x B x i.i + A y B y j.j + A z B z k.k = A x B x + A y B y + A z B z

21 Aplicações do Produto escalar ( ) A.B Ângulo entre dois vetores: θ = cos 1 AB Componentes paralelo e perpendicular de uma reta a um vetor:

22 Aplicações do Produto escalar ( ) A.B Ângulo entre dois vetores: θ = cos 1 AB Projeções de um vetor sobre uma reta.

23 Aplicações do Produto escalar Quais são os ângulos entre a barra AO e os cabos AB e AC?

24 Aplicações do Produto escalar Qual é a intensidade da força que age ao longo do tubo OA? Qual é a intensidade da força perpendicular ao tubo OA?

25 Aplicações do Produto escalar Projeções de um vetor sobre uma reta A é a componente de A sobre a reta aa A é a componente de A perpendicular à reta aa

26 Componente paralelo Aplicações do Produto escalar A = A cos θ = A.u

27 Componente paralelo Aplicações do Produto escalar A = A cos θ = A.u A = A cos θu = (A.u)u

28 Componente paralelo Aplicações do Produto escalar A = A cos θ = A.u Componente perpendicular A = A cos θu = (A.u)u A + A = A = A = A A A = A sin θ A = A 2 A 2

29 Exemplo 1 Dada a força que age no tubo OA, determinar o ângulo entre o vetor de força e o tubo, e a intensidade da projeção da força sobre o tubo OA.

30 Exemplo 2 Dada a força que age sobre o tubo, determinar o ângulo entre o vetor de força e o tubo e a magnitude da projeção da força sobre o tubo A0.