raio do hemisfério: a; intensidade do campo elétrico: E. (II) (III)

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1 Calcule o fluxo elétrico através de um hemisfério de raio a imerso num campo elétrico de intensidade E. Dados do problema raio do hemisfério: a; intensidade do campo elétrico: E. Solução O fluxo elétrico é dado por E = E.d (I) dotamos um sistema de referência com o eixo z na direção e sentido do vetor campo elétrico e os eixos x e y na base do hemisfério, então o vetor campo elétrico pode ser escrito como E = E k (II) onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z respectivamente. O vetor elemento de área pode ser escrito como d = d n (III) onde n é o vetor unitário na direção perpendicular à superfície hemisférica. Observação: a base ijk foi desenhada com o vetor na direção y no sentido para baixo de modo que o sistema de eixos seja dextrogiro, ou seja obedeça à Regra da Mão Direita. figura Substituindo as expressões (II) e (III) em (I), temos E = E = E k.d n E d k. n Observação: como k e n são vetores unitário seus módulos são iguais a e o ângulo entre eles é θ. O vetor k é tem sua direção e sentido fixos no referencial, mas o vetor n é normal à superfície hemisférica em cada ponto, variando de θ =, no ponto central do hemisfério onde a direção e sentido de n e E coincidem, até θ = π, na borda da superfície onde n é perpendicular a E (figura )

2 figura O produto escalar entre eles será k.n = k n cosθ =..cosθ = cos θ. E = E cosθ d (IV) Em coordenadas esféricas as coordenadas x, y e z são dados por x = r senθ cos, y = r senθ sen, z = r cosθ (V) Para obter o elemento de área em coordenadas esféricas calculamos o Jacobiano dado pelo determinante = J x cálculo das derivadas parciais das funções x, y e z dadas em (V) x = r senθ cos : = r senθcos = senθ cos = senθcos. = senθ cos valores de θ e ϕ são constantes e o seno e cosseno saem da derivada., na derivada em r os r sen θcos = = r cos senθ = r cosθcos, na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada. = r senθcos = r senθ cos = r senθ sen = r senθ sen,na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada. y = r senθ sen : r = r senθsen = senθsen = senθsen. = senθsen valores de θ e ϕ são constantes e os termos em seno saem da derivada., na derivada em r os

3 = r senθsen = r sen senθ = r cos θsen, na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada. = r senθsen = r senθ sen = r senθcos, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada. z = r cosθ : = r cos θ = cos θ r = cos θ. = cosθ r r o termo em cosseno sai da derivada., na derivada em r o valor de θ é constante e = r cos θ = r cosθ = r senθ = r senθ, na derivada em θ o valor de r é constante e o termo em r sai da derivada. = r cosθ =,a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.. d = J d θ d Observação: não há variação d r pois o corpo é uma casca hemisférica de raio constante igual a a. = senθ cos r cosθcos r senθsen J senθ sen r cos θsen r senθcos cosθ r sen θ desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, temos J = sen θcos. r cosθsen. r cos θcos. r sen θcos. cosθ + + r sen θsen. sen θsen. r senθ r sen θsen. r cosθsen. cosθ - - sen θcos. r sen θcos. r sen θ r cosθcos. sen θsen. J = r cos θsen θcos r sen 3 θsen r cos θsenθ sen r sen 3 θcos J = r [ cos θsen θcos sen 3 θsen cos θsenθsen sen 3 θcos ] J = r [ cos θsen θ cos sen sen 3 θ cos sen ] J = r [ cos θsen θsen θsenθ ] J = r [ cos θsen θ sen θ ] J = r sen θ d = r senθ d θ d (VI) substituindo a expressão (VI) em (IV) E = E cos θ r sen θ d θ d 3

4 E = E r cosθ sen θ d θ d Como o campo elétrico é uniforme e a integral não depende do raio eles podem sair da integral e como não existem termos cruzados em θ e as integrais podem ser separadas E = E r cosθ senθ d θ d Os limites de integração serão de a π em d θ e de e π em d (uma volta completa na base do hemisfério) π π E = E r cosθ senθ d θ d figura 3 integração de π cosθ senθ d θ fazendo a mudança de variável u = sen θ d u = cosθ d θ d θ = d u cosθ fazendo a mudança dos extremos de integração para θ = para θ = π temos u = temos u = cosθ u d u cosθ u d u u integração de π d π d = π = π = π E = E r π para r = a, temos 4

5 E = π a E 5