CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 04 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 0 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam e O os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados com origem O(0,0). Sejam O x e O os novos eixos coordenados com origem O (h,k), depois que o sistema primitivo foi transladado. Seja P(x,) um ponto qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x, ), em relação ao novo sistema. Pela figura abaixo temos que: = x =, chamadas de equações de translação no R. O O P(x,) (x, ) k O x O h x Observe que, fazer uma translação no R, é transladar o sistema antigo (primitivo), paralelamente aos eixos e O, para uma nova origem O (h,k). Exemplo (): Determine as coordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novo sistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O (-3,). Solução: Usando as equações de translação, teremos: O = 5 ( 3) = 8 O P(x,) = (8, 5) = 3 = 5 O (-3,) k= h=-3 O 8 5 = x h = k -5-3 P(5,-3) (8,-5)

2 05 Exemplo (): Determine a equação reduzida da elipse x + 3 8x = 0, depois que a origem foi transladada para o ponto O (,-). Solução: Fazendo: = x = = x + = na equação da elipse, teremos: (x + ) + 3( ) 8(x + ) + 6( ) 7 = 0 x = 0 x 3 8 x + = + =. Note que, a equação reduzida da elipse, antes da (x ) ( + ) translação era + =, cujo centro é o ponto C(,-), ou seja, foi feita 9 6 uma translação para o centro da elipse. O O C OS: Para eliminarmos os termos de primeiro grau (x e ) da equação de uma cônica, devemos fazer uma translação de eixos para o centro dela, ou seja, fazer a nova origem O (h,k) coincidir com o centro C(m,n) da cônica. Veja o exemplo (3). Exemplo (3): Determine a translação de eixos que transforme a equação da hipérbole 3x 4 + 6x = 0, na sua forma mais simples (sem os termos de primeiro grau). Solução (): Pela observação acima, devemos fazer uma translação para o centro da hipérbole. Passando para forma reduzida, teremos: 3(x + ) 4( 3) = 0 (x + ) 34 ( 3) + 5 =. Logo, o centro é C(-,3) que será a nova origem O (h,k). Fazendo = x = + 3 na equação geral, segue que: 3(x ) 4( + 3) + 6(x ) + 4( + 3) 35 = 0 3x 4 = 0. Solução (): Caso não soubéssemos da observação acima, outra forma de descobrir qual a translação para eliminar os termos de primeiro grau, seria aplicar as equações de translação na equação dada e impor as condições para que os coeficientes dos termos de primeiro grau sejam nulos.

3 06 Sabemos que: = x. Substituindo na equação 3x 4 + 6x = 0, = teremos: 3(x ) 4( ) + 6(x ) + 4( ) 35 = 0. Desenvolvendo 3x 4 + (6h + 6)x (8k 4) + (3h 4k + 6h + 4k 35) = 0. Impondo as condições para que os coeficientes dos termos de primeiro grau sejam nulos: 6h + 6 = 0 h =. Portanto, a translação dever ser feita para a nova origem 8k 4 = 0 k = 3 (h,k) O = (,3). ROTAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam e O os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados com origem O(0,0). Sejam e O os novos eixos coordenados depois que o sistema primitivo foi rotacionado de um ângulo θ em torno da origem O(0,0). Logo, θ é o ângulo formado entre os eixos e. Seja P(x,) um ponto qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x, ), em relação ao novo sistema. O P(x,) (x O, ) Q θ R x S O θ N x M x = OM NM Pela figura acima temos:. = NQ + QP No triângulo OMR: cos θ = OM x NQ OM = x cos θ e MR = NQ e sen θ = x NM NQ = x senθ. No triângulo PQR: QR = NM e senθ = NM = senθ e QP cos θ = QP = cos θ. Portanto, x = OM NM = NQ + QP x = x cos θ senθ, = xsenθ + cos θ chamadas de equações de rotação no R. Podemos escrever as equações de

4 07 rotação na forma matricial: x cos θ = senθ senθ x cos θ senθ, onde cos θ [ M] θ = é senθ cos θ chamada de matriz de rotação de um ângulo θ. Exemplo (5): Determine as coordenadas do ponto P(-,6), após os eixos coordenados sofrerem uma rotação de 60 o. = x Solução: Usando as equações de rotação: cos60 sen60 6 = x sen60 + cos60 3 = x 3 6 = x + x 3 = 4. Resolvend sistema linear, teremos: 3x + = x = + 3 = Portanto, o ponto P terá novas coordenadas P ( + 3 3,3 + 3). Exemplo (6): Determine o ângulo, segund qual, os eixos devem ser rotacionados para eliminar o termo x na equação 7x 6 3x + 3 = 6. Solução: Substituindo as equações de rotação na equação dada, teremos: 7(x cos sen ) 6 3(x cos sen )(x sen cos ) 3(x sen cos ) θ θ θ θ θ + θ + θ + θ = 6 ( 7cos θ 6 3 senθcos θ + 3sen θ)x + [ senθcos θ 6 3(cos θ sen θ)]x + + (7sen θ sen θcos θ + 3cos θ) = 6 (*) Fazend coeficiente do termo x igual a zero, teremos: 6( cos θ senθ) 6 3(cos θ sen θ) = 0 6senθ 6 3 cosθ = 0 tgθ = 3 θ = 60 θ 30. Substituindo θ na equação (*), a equação se reduz a x = = 4 +. Esta é a equação reduzida de uma elipse de centro na origem e semi-eixos a= e b=. 3 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA No capítulo 8 estudamos as cônicas, cujos eixos eram de posição horizontal (paralelo ao eixo coordenado ) ou vertical (paralelo ao eixo coordenado O) e, conseqüentemente, suas equações eram características dessas situações. No entanto, a expressão geral de uma cônica, cujos eixos podem estar em qualquer posição em relação aos eixos coordenados é dada por: Ax + x + C + Dx + E + F = 0

5 08 Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para todas, uma forma de identificar a cônica através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação: se se se 4AC < 0 elipse 4AC = 0 parábola 4AC > 0 hipérbole Pode-se demonstrar (veja exemplo 6) que o ângulo θ, de que é necessário girar os eixos para eliminar o termo x (termo retângulo), é calculado por intermédio da fórmula: tgθ = A C Exemplo (7): Por meio de uma translação e rotação dos eixos coordenados, reduzir a equação da cônica 5x + 6x + 5 4x = 0 a sua forma mais simples. Fazer um esboço da cônica, representands três sistemas de eixos. Solução: Para reduzir a equação da cônica a sua forma mais simples, devemos eliminar os termos de primeiro grau x e, por meio de uma translação para o centro da cônica e, para eliminar o termo retângulo x, deve-se fazer uma rotação de um ângulo θ, usando a relação tgθ =. Como A = 5, = 6 e C = 5 A C 4AC = 64 < 0, ou seja, a cônica em questão é uma elipse. Vamos primeiro fazer a translação, substituindo = x = na equação dada: 5(x ) + 6(x )( ) + 5( ) 4(x ) + 4( ) 4 = 0 (*) 5x + 6x (0h + 6k 4)x + (6h + 0k + 4) + (5h + 6hk + 5k 4h + 4k 4) = 0 Para eliminar os termos de primeiro grau x e, façamos seus coeficientes iguais a 0h + 6k 4 = 0 h = zero:. Resolvend sistema teremos:. Então, a nova 6h + 0k + 4 = 0 k = origem será O (, ) que é o centro da cônica. Substituindo h= e k=- em (*), vamos obter: 5x + 6x = 0 (**), a equação transladada. De 6 6 tg θ = = = =? Isso mostra que A C θ = 90 θ = 45, ou seja, este é o ângulo de rotação para eliminar o termo x. Fazendo o θ = 45 nas equações de

6 09 rotação = x cos θ senθ = xsenθ + cos θ x = = x x. Substituindo em (**), vamos obter + 4x + 4 = 0, que é a forma mais simples da equação da elipse de equação reduzida x + =, que, em relação ao sistema transladado e rotacionado, tem 4 centro na origem e eixo maior vertical. O O O - Exercícios Propostos ) Qual a translação que devemos fazer para reduzir a equação da hipérbole 4x 5 + 6x = 0 na sua forma mais simples? Escrever a equação reduzida da hipérbole depois da translação. x Resp: translação para C(-,3); = 0 8 ) Determinar a equação da cônica x x + + x = 0, após uma rotação de 45 o nos eixos coordenados. Quem é a cônica? Resp: 3 x + 3 = 0; Parábola 3) Reduzir a expressão da cônica 4x 4x + 8 5x 6 5 = 0 a sua forma mais simples. Quem é a cônica? Resp: = x ; parábola (use: cos θ = e sen θ = ) ) Reduzir a expressão da cônica x 3x 4x = 0 a sua 5 forma mais simples. Quem é a cônica? x Resp: + = ; elipse (sugestão: faça primeiro a translação e depois a rotação) 0