Ney Lemke. Departamento de Física e Biofísica

Transcrição

1 Revisão Matemática Ney Lemke Departamento de Física e Biofísica 2010

2 Vetores Sistemas de Coordenadas Outline 1 Vetores Escalares e Vetores Operações Fundamentais 2 Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilindricas Coordenadas Esféricas

3 Vetores Sistemas de Coordenadas Outline 1 Vetores Escalares e Vetores Operações Fundamentais 2 Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilindricas Coordenadas Esféricas

4 Vetores Sistemas de Coordenadas Escalares e Vetores Escalares Escalares São quantidades que não dependem do sistema de coordenadas usado para caracterizar um sistema físico. Example Temperatura T Massa m

5 Vetores Sistemas de Coordenadas Escalares e Vetores Vetores Vetores São quantidades que dependem do sistema de coordenadas usado para caracterizar um sistema físico. Intuitivamente eles podem ser imaginados como segmentos orientados de reta. Example Posição r ou r Velocidade v ou v Aceleração a ou a Força F ou F

6 Vetores Sistemas de Coordenadas Escalares e Vetores Tensores Tensores São quantidades que dependem do sistema de coordenadas usado para caracterizar um sistema físico. Estas quantidades são generalizações de vetores, caracterizados por dois índices. Example Momento de Inércia I ij Susceptibilidade Elétrica e Magnética ɛ ij e µ ij

7 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Vetores A física não depende das escolhas arbitrárias que fazemos do sistema de coordenadas e nem da origem, ou orientação de nosso referencial. Tanto na Mecânica como no Eletromagnetismo visamos construir teorias que utilizem a notação vetorial e que expressem relações contingentes entre as quantidades de interesse.

8 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Produto por Escalar

9 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Soma de Vetores

10 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Subtração

11 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Coordenadas de um vetor A = A x a x + A y a y

12 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Módulo de um vetor Módulo O módulo de um vetor A = A, é o tamanho do vetor. Notação: Vetor unitário a x = X X = ˆx

13 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Produto Escalar A B = AB cos θ

14 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Produto Escalar Propriedades A 2 = A A ( A + B) C = A C + B C A B = B A

15 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Produto Vetorial A B

16 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Produto Vetorial Propriedades A B = B A ( A + B) C = A C + B C A B C = ( A C) B ( A B) C

17 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Notação do Marion Propriedades x y = i x i y i AB ik = j A ij B jk δ ij = { 1 se i = j 0 se i j

18 Vetores Sistemas de Coordenadas Operações Fundamentais Notação do Marion Propriedades +1 permutação par ɛ ijk = 1 permutação impar 0 caso contrario ( A B) i = jk ɛ ijk A j B k

19 Vetores Sistemas de Coordenadas Outline 1 Vetores Escalares e Vetores Operações Fundamentais 2 Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilindricas Coordenadas Esféricas

20 Vetores Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cartesianas

21 Vetores Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cartesianas a x a y = a z a y a z = a x a x a z = a y r = x a x + y a y + z a z d r = dx a x + dy a y + dz a z dv = dxdydz

22 Vetores Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cilindricas Coordenadas Cilindricas

23 Vetores Sistemas de Coordenadas Coordenadas Cilindricas Coordenadas Cilindricas x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z a ρ a θ = a z a θ a z = a ρ a z a ρ = a θ r = ρ a ρ + z a z d r = dρ a ρ + ρdθ a θ + dz a z dv = ρdρdθdz

24 Vetores Sistemas de Coordenadas Coordenadas Esféricas Coordenadas Esféricas

25 Vetores Sistemas de Coordenadas Coordenadas Esféricas Coordenadas Esféricas x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ a r a θ = a φ a θ a φ = a r a φ a r = a θ r = r a r d r = dr a ρ + rdθ a θ + r sin θdφ a φ dv = r 2 sin θdrdθdφ

26 Vetores Sistemas de Coordenadas Coordenadas Esféricas Observações Importantes O uso de um determinado sistema de coordenados deve espalhar a simetria do problema. Os vetores unitários a r, a θ, a φ, a ρ, a θ dependem da posição r.

27 Vetores Sistemas de Coordenadas Coordenadas Esféricas Notação Notação a r = ˆr a θ = ˆθ a φ = ˆφ

28 Outline 3 Diferenciação de Vetores Vetor Velocidade e Aceleração 4 Operadores Vetoriais Gradiente Divergente Rotacional Laplaciano 5 Integração Integral Volumétrica Integral de Superfície Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes 6 Relações Vetoriais 7 Equações Diferencias Ordinárias 8 Sumário

29 Outline 3 Diferenciação de Vetores Vetor Velocidade e Aceleração 4 Operadores Vetoriais Gradiente Divergente Rotacional Laplaciano 5 Integração Integral Volumétrica Integral de Superfície Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes 6 Relações Vetoriais 7 Equações Diferencias Ordinárias 8 Sumário

30 Diferenciação de Vetores da ds = lim A(s + s) A(s) s 0 s

31 Identidades d ds ( A + B) = d A ds + d B ds d ds ( A B) = A d B ds + B d A ds d ds ( A B) = A d B ds + B d A ds d ds (φ A) = φ d A ds + dφ ds A

32 Vetor Velocidade e Aceleração Velocidade e Aceleração v = d r dt a = d v dt Coordenadas Cartesianas v = i = r = r dx i dt e i a = i d 2 x i dt 2 e i

33 Vetor Velocidade e Aceleração Velocidade em Polares v = r = ṙ e r + r θ e θ

34 Vetor Velocidade e Aceleração Aceleração em Polares a = v = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ

35 Vetor Velocidade e Aceleração Velocidade e Aceleração em Cilindricas v = r = ṙ e r + r θ e θ + ż e z a = v = ( r r θ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ) e θ + z e z

36 Vetor Velocidade e Aceleração Velocidade e Aceleração em Esféricas v = r = ṙ e r + r θ e θ + r sin(θ) φ e φ a =?

37 Vetor Velocidade e Aceleração Velocidade Angular v = R dθ = r sin αω dt v = ω r

38 Vetor Velocidade e Aceleração Medindo distâncias r r Escreva os vetores usando o sistema de coordenadas de interesse, mas utilizando os vetores unitários a x, a y, a z. Usando a definição de produto interno calcule ( r r ).( r r ) eleve o resultado a 1/2.

39 Outline 3 Diferenciação de Vetores Vetor Velocidade e Aceleração 4 Operadores Vetoriais Gradiente Divergente Rotacional Laplaciano 5 Integração Integral Volumétrica Integral de Superfície Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes 6 Relações Vetoriais 7 Equações Diferencias Ordinárias 8 Sumário

40 Gradiente Gradiente em diferentes sistemas de Coordenadas Cartesianas V = V x a x + V y a y + V z a z Cilindricas Esféricas V = V a ρ ρ + 1 V a ρ θ θ + V a z z V = V a r r + 1 V a r θ θ + 1 V a r sin θ φ φ

41 Gradiente Gradiente

42 Gradiente Propriedades do Gradiente O vetor gradiente é senpre normal a superfície φ =cte. O vetor φ sempre aponta na direção de máxima variação de φ. A derivada na direção n é dada por: n. φ

43 Divergente Divergente em diferentes sistemas de Coordenadas Cartesianas Cilindricas Esféricas A = A x x + A y y + A z z A = 1 ρ (ρa ρ ) ρ + 1 ρ A θ θ + A z z A = 1 (r 2 A r ) r (sin θa θ ) + 1 A φ r r sin θ θ r sin θ φ

44 Rotacional Rotacional em diferentes sistemas de Coordenadas Cartesianas A = ( Az y A ) ( y Az a x + z x A ) ( x Ax a y + z y A ) y a z x

45 Rotacional Rotacional em diferentes sistemas de Coordenadas Cilindricas ( A 1 A z = ρ φ A ) φ z ( 1 ρa ρ + ρ θ 1 ) A ρ a z ρ ρ ( Aρ a ρ + z A z ρ ) a θ

46 Rotacional Rotacional em diferentes sistemas de Coordenadas Esféricas A = 1 ( (sin θaφ ) A ) θ a r + 1 r sin θ θ φ r + 1 ( (rar ) A ) r a φ r r θ ( 1 A r sin θ φ (ra ) φ) a θ r

47 Laplaciano Laplaciano em diferentes sistemas de Coordenadas Cartesianas Cilindricas Esféricas 2 V = 1 r 2 r 2 V = 1 ρ 2 V = 2 V x V y V z 2 ( ρ V ) V ρ ρ ρ 2 θ V z 2 ( r 2 V ) + 1 r r 2 sin θ θ ( ) (sin θv ) 1 + θ r 2 sin 2 θ 2 V φ 2

48 Outline 3 Diferenciação de Vetores Vetor Velocidade e Aceleração 4 Operadores Vetoriais Gradiente Divergente Rotacional Laplaciano 5 Integração Integral Volumétrica Integral de Superfície Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes 6 Relações Vetoriais 7 Equações Diferencias Ordinárias 8 Sumário

49 Integral Volumétrica Integral Volumétrica V f (x, y, z)dv

50 Integral de Superfície Integral de Superfície Integral Fechada A ds S A ds S

51 Integral de Linha Integral de Linha Integral Fechada A d s C A d s C

52 Integral de Linha Exemplos Calcule o volume de um parabolóide de revolução z = x 2 + y 2 entre z = 0 e z = 1. Use coordenadas cilindricas e cartesianas. Suponha agora que o parabolóide possua uma densidade que dependa com a altura com a expressão ρ = e z. Determine a massa. Considere uma casca cilíndrica de raio unitário localizada ao longo do eixo z. E considere o campo vetorial F = r a θ + 2 a r. Calcule o fluxo através da superfície. Represente o campo vetorial. Calcule a circulação do fluxo F = 2x a y + y a x através das linhas: iniciando em (0,0) até (2,4) através de uma linha reta. iniciando em (0,0) até (2,4) através da parábola y = x 2

53 Integral de Linha Exemplos F = r a θ + 2 a r

54 Teorema de Gauss Teorema de Gauss A d a = S V AdV

55 Teorema de Stokes Teorema de Stokes A d l = A ds C S

56 Outline 3 Diferenciação de Vetores Vetor Velocidade e Aceleração 4 Operadores Vetoriais Gradiente Divergente Rotacional Laplaciano 5 Integração Integral Volumétrica Integral de Superfície Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes 6 Relações Vetoriais 7 Equações Diferencias Ordinárias 8 Sumário

57 Relações Vetoriais ( A + B) = A + B (u A) = A u + u( A) ( A B) = B ( A) A B (u A) = A u + u( A)

58 Relações Vetoriais ( A B) = ( B) A ( A) B + ( B ) A ( A ) B ( A) = ( A) 2 A ( V ) = 0

59 Outline 3 Diferenciação de Vetores Vetor Velocidade e Aceleração 4 Operadores Vetoriais Gradiente Divergente Rotacional Laplaciano 5 Integração Integral Volumétrica Integral de Superfície Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes 6 Relações Vetoriais 7 Equações Diferencias Ordinárias 8 Sumário

60 Definição Formulação do problema: F(y (n), y (n 1),..., y; x) = 0 Solução: y = y(c 1, C 2,..., C n ; x)

61 Definição Para determinar C i : y(0) = D 1... y (n 1) (0) = D n Se F é linear este problema é equivalente a solução de um sistema de n equações lineares.

62 Outline 3 Diferenciação de Vetores Vetor Velocidade e Aceleração 4 Operadores Vetoriais Gradiente Divergente Rotacional Laplaciano 5 Integração Integral Volumétrica Integral de Superfície Integral de Linha Teorema de Gauss Teorema de Stokes 6 Relações Vetoriais 7 Equações Diferencias Ordinárias 8 Sumário

63 Sumário Cálculo vetorial é essencial para entender Eletromagnetismo. Cálculo vetorial é essencial para entender Mecânica Clássica.