Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Transcrição

1 de Carvalho

2 - Eletrostática Potencial de distribuições de cargas e campos conservativos (Capítulo 4 - Páginas 86 a 95) Potencial Elétrico de distribuições contínuas de cargas Gradiente do Campo Elétrico Campos conservativos

3 - Eletrostática Potencial de uma carga pontual A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste. z O potencial elétrico gerado no ponto r por uma carga pontual no ponto r é: V (r ) = 4πε 0 r r V (r ) = + 2 4πε 0 r r 4πε 0 r r2 2 y r2 Se adicionarmos uma carga 2 no ponto r2, o potencial no ponto r fica: r r x 2

4 - Eletrostática Potencial de uma cargas discretas Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico em r devido a n cargas pontuais diferentes é a soma do potencial devido a cada uma das cargas isoladamente. n V (r ) = i i= 4πε 0 r ri z Se substituirmos as cargas pontuais por cargas com densidade ρi que ocupam um volume Δvi, cada, teremos: n ρ Δv V (r ) = i i i= 4πε 0 r ri r2 r Se Δvi tender a 0 e o número de elementos tender a infinito, teremos uma distribuição contínua de cargas. 2 3 n r rn y Origem x

5 - Eletrostática Potencial de distribuição contínua de cargas O Potencial Elétrico de uma distribuição contínua de cargas pode ser obtido tomando o limite de Δv à 0. O somatório se torna uma integral de volume. z dv' V (r ) = 4πε 0 ρv ( r ') dv' V r r ' r' V r y x 4

6 - Eletrostática Gradiente do potencial Se conhecemos a distribuição do potencial elétrico V uma dado ponto do espaço, podemos calcular o campo elétrico tomando o negativo do gradiente de V. E = V [V / m] Isto é o inverso de utilizar a integral de linha para calcular V a partir de E. VAB = A B E dl [V ] Ou no caso do potencial de referência ser adotado como o infinito: VA = A E dl 5 [V ]

7 - Eletrostática Gradiente do potencial O gradiente do potencial V em coordenadas cartesianas é V V V E = a x + a y + a z y z x O gradiente do potencial V em coordenadas cilíndricas é: V V V E = a ρ + a φ + a z ρ φ z ρ (cilíndricas) O gradiente do potencial V em coordenadas esféricas é: V V V E = a r + a θ + a z r θ rsenθ φ r 6 (esféricas)

8 - Eletrostática Campo uniforme O Potencial elétrico é um campo escalar cuja distribuição espacial pode ser descrita através de linhas equipotenciais (lugares geométricos onde V = constante). O gradiente de um campo escalar num ponto é um campo vetorial cuja magnitude é a taxa de variação espacial máxima do escalar no ponto. O vetor no ponto aponta na direção de máxima variação do campo escalar. Uma consequência disso é que as linhas equipotenciais são perpendiculares ao campo elétrico em cada ponto. O campo elétrico aponta na direção de potenciais decrescentes (sinal negativo) 7

9 - Eletrostática Potencial de uma carga pontual Vimos que o campo elétrico de uma carga pontual está na direção radial. No caso de cargas positivas, o campo aponta radialmente para fora. ( r r ') E(r ) = 2 a R = 4πε 0 r r ' 3 4πε 0 R As superfícies equipotenciais ao redor de uma carga pontual correspondem a superfícies esféricas: V (r ) = 4πε 0 r r ' O potencial elétrico diminui conforme nos afastamos da carga positiva. Note que as linhas equipotenciais são perpendiculares ao campo elétrico em todos os pontos. 8

10 - Eletrostática Campos Conservativos e irrotacionais O potencial eletrostático (gerado por cargas ou distribuições de carga) possui um valor único em cada ponto do espaço. Isto é equivalente a dizer que a integral de linha do campo elétrico ao longo de um caminho fechado é nula (por que?). " E dl = 0 ualquer campo escalar definido através do gradiente de um campo vetorial é conservativo. E Teorema de Stokes: S " E dl = C ( E ) ds S Mas o rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo " E dl = 0 ( V ) = 0 C 9

11 - Eletrostática Aplicação em Circuitos elétricos No caso dos circuitos elétricos, o campo elétrico fica confinado na superfície dos condutores. O condutor guia o campo elétrico, pois E = 0 longe dos condutores. Isto possibilita utilizar elementos de parâmetros concentrados o que simplifica a matemática e solução de problemas. Não é necessário calcular distribuições de campos. Para encontrar tensões usamos (indiretamente): " E dl = 0 R R3 R2 Segunda Lei de Kirchhoff (malhas): R4 FEM VR VR2 = 0 0